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Die Fourieroptik (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) ist ein Teilbereich der Optik, in dem die Ausbreitung von Licht mit Hilfe der Fourier-Analyse untersucht wird. Die Fourieroptik berücksichtigt die Wellennatur des Lichtes, vernachlässigt aber z. B. die Polarisation.
Hintergrund
Die Grundlage der Fourieroptik ist die Feststellung, dass das Fraunhofer-Beugungsmuster der Fouriertransformierten des beugenden Objekts entspricht.
Fällt kohärentes Licht mit der räumlichen Amplitudenverteilung $ E_{e} $ auf eine Struktur mit der räumlichen Transmissionsverteilung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau
, so ist die Feldverteilung unmittelbar hinter der beugenden Struktur:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_t = E_e \cdot \tau.
Im Fernfeld der Struktur gilt für die Amplitudenverteilung:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E(x,y) = A(x,y,z_0)\cdot \int \limits_{-\infty}^{\infty} E_t(x',y')\cdot \operatorname{e}^{-i2\pi(xx'+yy')/(\lambda z_0)}\mathrm{d}x'\mathrm{d}y'.
Dabei ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z_0
der Abstand von der beugenden Struktur
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x,y
die transversalen Koordinaten
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A
ein Phasenfaktor.
Analog zur Frequenz bei der zeitlichen Fouriertransformation definiert man die Raumfrequenzen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \nu_x & := \frac{x}{\lambda \cdot z_0}\\ \nu_y & := \frac{y}{\lambda \cdot z_0}, \end{align}
es folgt
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow E(x,y) = A(x,y,z_0)\cdot \int \limits_{-\infty}^{\infty} E_t(x',y')\operatorname{e}^{-i2\pi(\nu_x x'+\nu_y y')}\mathrm{d}x'\mathrm{d}y'.
Das Fernfeld ist also gegeben durch die zweidimensionale Fouriertransformierte $ {\mathcal {F}} $ des Felds Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_t
unmittelbar hinter der beugenden Struktur:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = A \cdot \mathcal{F} \left[E_t \right] \left(\nu_x,\nu_y\right).
Bedeutung der Raumfrequenzen
Ein Strahl vom Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x,y,z_0)
in der Beobachtungsebene bis zum Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (0,0,0)
in der Ebene der beugenden Struktur schließt mit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z
-Achse folgende Winkel ein:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tan(\alpha) = \frac{x}{z_0} = \lambda \cdot \nu_x \qquad \tan(\beta) = \frac{y}{z_0} = \lambda \cdot \nu_y.
Für nicht zu große Winkel (also für nicht zu große $ x,y $) folgt hieraus (Kleinwinkelnäherung):
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha \approx \frac{x}{z_0} = \lambda \cdot \nu_x \qquad \beta \approx \frac{y}{z_0} = \lambda \cdot \nu_y.
Licht, das im Fernfeld nah der optischen Achse liegt, entspricht also niedrigen Raumfrequenzen, während weiter außen liegendes Licht zu hohen Raumfrequenzen gehört.
Feine Strukturen im Objekt, also solche, die sich räumlich schnell ändern, gehören zu hohen Raumfrequenzen; entsprechend stellen gröbere Strukturen kleinere Raumfrequenzen dar.
Literatur
- Joseph W. Goodman: Introduction to Fourier optics. 3rd ed. Englewood, Colo. : Roberts & Co., c2005. ISBN 0-9747077-2-4
- Wolfgang Stößel: Fourieroptik: eine Einführung. Berlin [u.a]: Springer, 1993. ISBN 3-540-53287-0
Siehe auch