Fourieroptik

Die Fourieroptik (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) ist ein Teilbereich der Optik, in dem die Ausbreitung von Licht mit Hilfe der Fourier-Analyse untersucht wird. Die Fourieroptik berücksichtigt die Wellennatur des Lichtes, vernachlässigt aber z. B. die Polarisation.

Hintergrund

Die Grundlage der Fourieroptik ist die Feststellung, dass das Fraunhofer-Beugungsmuster der Fouriertransformierten des beugenden Objekts entspricht.

Fällt kohärentes Licht mit der räumlichen Amplitudenverteilung $ E_{e} $ auf eine Struktur mit der räumlichen Transmissionsverteilung $ \tau $, so ist die Feldverteilung unmittelbar hinter der beugenden Struktur:

$ E_{t}=E_{e}\cdot \tau . $

Im Fernfeld der Struktur gilt für die Amplitudenverteilung:

$ E(x,y)=A(x,y,z_{0})\cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }E_{t}(x',y')\cdot \operatorname {e} ^{-i2\pi (xx'+yy')/(\lambda z_{0})}\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'. $

Dabei ist

• $ z_{0} $ der Abstand von der beugenden Struktur
• $ x,y $ die transversalen Koordinaten
• $ A $ ein Phasenfaktor.
• $ \lambda $ die Wellenlänge

Analog zur Frequenz bei der zeitlichen Fouriertransformation definiert man die Raumfrequenzen:

$ {\begin{aligned}\nu _{x}&:={\frac {x}{\lambda \cdot z_{0}}}\\\nu _{y}&:={\frac {y}{\lambda \cdot z_{0}}},\end{aligned}} $

es folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow E(x,y) = A(x,y,z_0)\cdot \int \limits_{-\infty}^{\infty} E_t(x',y')\operatorname{e}^{-i2\pi(\nu_x x'+\nu_y y')}\mathrm{d}x'\mathrm{d}y'.

Das Fernfeld ist also gegeben durch die zweidimensionale Fouriertransformierte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{F} des Felds Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_t unmittelbar hinter der beugenden Struktur:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = A \cdot \mathcal{F} \left[E_t \right] \left(\nu_x,\nu_y\right).

Bedeutung der Raumfrequenzen

Ein Strahl vom Punkt $ (x,y,z_{0}) $ in der Beobachtungsebene bis zum Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (0,0,0) in der Ebene der beugenden Struktur schließt mit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Achse folgende Winkel ein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tan(\alpha) = \frac{x}{z_0} = \lambda \cdot \nu_x \qquad \tan(\beta) = \frac{y}{z_0} = \lambda \cdot \nu_y.

Für nicht zu große Winkel (also für nicht zu große Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x,y ) folgt hieraus (Kleinwinkelnäherung):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha \approx \frac{x}{z_0} = \lambda \cdot \nu_x \qquad \beta \approx \frac{y}{z_0} = \lambda \cdot \nu_y.

Licht, das im Fernfeld nah der optischen Achse liegt, entspricht also niedrigen Raumfrequenzen, während weiter außen liegendes Licht zu hohen Raumfrequenzen gehört.

Feine Strukturen im Objekt, also solche, die sich räumlich schnell ändern, gehören zu hohen Raumfrequenzen; entsprechend stellen gröbere Strukturen kleinere Raumfrequenzen dar.

Literatur

• Joseph W. Goodman: Introduction to Fourier optics. 3rd edition. Roberts & Co., Englewood CO 2005, ISBN 0-9747077-2-4.
• Wolfgang Stößel: Fourieroptik. Eine Einführung. Mit 47 Übungsaufgaben und Lösungen. Springer, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-53287-0.

Siehe auch

• Beugungsintegral