Schwingungsmembran

Stehende Welle einer rechteckigen eingespannten Membran

Steinitz Querstrommikrofon (1927)

Eine Schwingungsmembran oder Oszillationsmembran ist eine Membran, die dazu bestimmt ist, Schwingungen auszuführen.

Die Membran kann zur Erzeugung, Verstärkung, Detektierung oder Messung insbesondere von Schall dienen. Die Membran-Eigenschwingungen setzen eine Rückstellkraft voraus, die auch durch eine Randeinspannung gegeben sein kann.

Eigenresonanzen (Partialschwingungen) sind oft unerwünscht und werden daher teilweise gedämpft. Bei den zugehörigen charakteristischen Frequenzen können die Amplituden besonders hohe Werte erreichen und führen zu linearen Verzerrungen des Frequenzganges.

Bedeutung

Schwingende Membranen spielen unter anderem in der Akustik eine Rolle:

• Schallwandler
  • zur Umwandlung mechanischer Schallenergie in elektrische Energie (Mikrofon)
  • Wandlung elektrischer Energie in Schallenergie (Lautsprecher, Kopfhörer)
• im Ohr (Trommelfell)
• bei vielen Musikinstrumenten, z. B. Membranophon, Trommel, Pauke, Banjo, Becken, im weiteren Sinne auch bei der Zimbel.

Arten

Die Membran kann in einem starren Rahmen eingespannt sein wie bei einer Trommel oder ihr Rand kann frei schwingen.

Beide Varianten unterscheiden sich bezüglich möglicher Moden und Frequenzen.

Die Schwingungsanregung kann auf unterschiedliche Weise erfolgen, etwa

• durch Auftreffen von Luftschall, z. B. beim Trommelfell,
• durch Aufschlagen mit einem Schlägel, etwa bei Membranophonen
• elektrisch, zum Beispiel durch elektrostatische Kraft oder durch elektrodynamischen Antrieb.

Im Bruststück des Stethoskops ist eine Membran eingebaut.

Mathematische Beschreibung

Schwingung der ungedämpften Kreis-Membran

Die Schwingung der ungedämpften Kreismembran lässt sich mit der d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in Polarkoordinaten beschreiben. Dabei gilt, dass die Membran beim Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a eingespannt und somit die Auslenkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u gleich Null ist. Im Sinne der Theorie der partiellen Differentialgleichungen entspricht dies der homogenen Dirichlet-Randbedingung. Damit lässt sich diese Problemstellung wie folgt beschreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u }{\partial t^2} = 0 \quad \text{mit} \quad u(a,\varphi, t) = 0 \quad \text{und} \quad u(r, 0, t) = u(r, 2\pi, t)

Die Herangehensweise an ein solches Problem ist in der Regel ein Separationsansatz, welcher besagt, dass sich die gesuchte Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u(r, \varphi, t) aus separaten Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(r), g(\varphi), h(t) zusammensetzt. Da die Membran am Rand eingespannt ist, sind in erster Linie nur bestimmte Schwingungsformen möglich, die Eigenschwingungen (auch Moden genannt). Durch Superposition dieser Eigenschwingungen lassen sich jedoch auch andere Schwingungsformen darstellen.

Die Lösung setzt sich im Falle von Zylinder- bzw. Kreis-Geometrien zusammen einerseits aus komplexen Exponentialfunktionen (bzw. trigonometrischen Funktionen) und andererseits aus den Zylinderfunktionen (auch Bessel-Funktionen genannt). Im Folgenden ist eine mögliche Darstellung der Lösung abgebildet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u(r,\varphi, t) = \sum_{\nu = - \infty}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty}\left( \underline{A}_{\nu, n} \cdot J_\nu(k_n \cdot r) \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{j}(\omega_n t - \nu \varphi)}\right) \quad \text{mit} \quad k_n = \frac{\omega_n}{c} \quad \text{und} \quad J_\nu\left(\frac{\omega_n}{c}\cdot a\right) \stackrel{!}{=} 0

Hierbei ist das Nullstellenproblem die Bedingung dafür, dass eine Schwingungsform mit der Kreisfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_n eine mögliche Lösung ist. Gesucht sind also die Nullstellen der verwendeten Besselfunktion.

Schwingung der ungedämpften Rechteck-Membran

Bei der Beschreibung einer ungedämpften Rechteck-Membran verwendet man die d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in kartesischen Koordinaten. Als Randbedingung gilt auch hier die homogene Dirichlet-Randbedingung. Somit sieht die Differentialgleichung wie folgt aus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 \quad \text{mit} \quad u(a,y,t) = u(x,b,t) = u(0,y,t) = u(x,0,t) = 0

In diesem Fall besteht die Lösung ausschließlich aus Trigonometrischen Funktionen, welche wie folgt als Reihe darstellbar ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u(x,y,t)=\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{m = 0 }^{\infty} \left( A_{n,m} \cdot\sin\left(k_n x \right) \cdot \sin(k_m y) \cdot \cos(\omega_{nm} t- \phi) \right) \quad \text{mit} \quad k_n = \frac{\pi n}{a} \quad k_m = \frac{\pi m }{b} \quad \omega_{nm} = c \cdot \sqrt{k_n^2+k_m^2}

Die Teil-Funktionen für unterschiedliche n,m bezeichnet man als Moden bzw. Eigenschwingungen. Durch Festlegung der jeweiligen Amplitudenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{n,m} können alle möglichen Schwingungsformen dargestellt werden, welche z. B. nicht sinusförmig sind.