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Die systematische Untersuchung von Gruppen begann im 19. Jahrhundert und wurde durch konkrete Probleme ausgelöst, zunächst durch die Frage nach der Lösbarkeit von [[Algebraische Gleichung|algebraischen Gleichungen]], später durch die Untersuchung [[Symmetrie (Geometrie)|geometrischer Symmetrien]]. Dementsprechend stand zunächst die Untersuchung konkreter Gruppen im Vordergrund; erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden verstärkt abstrakte Fragestellungen untersucht. Wichtige Beiträge stammen unter anderem von [[Évariste Galois]] und [[Niels Henrik Abel]] in der Algebra sowie [[Felix Klein]] und [[Sophus Lie]] in der Geometrie. Eine der herausragenden mathematischen Leistungen des 20. Jahrhunderts ist die Klassifikation aller [[Endliche einfache Gruppe|endlichen einfachen Gruppen]], also der unzerlegbaren Bausteine aller endlichen Gruppen. | Die systematische Untersuchung von Gruppen begann im 19. Jahrhundert und wurde durch konkrete Probleme ausgelöst, zunächst durch die Frage nach der Lösbarkeit von [[Algebraische Gleichung|algebraischen Gleichungen]], später durch die Untersuchung [[Symmetrie (Geometrie)|geometrischer Symmetrien]]. Dementsprechend stand zunächst die Untersuchung konkreter Gruppen im Vordergrund; erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden verstärkt abstrakte Fragestellungen untersucht. Wichtige Beiträge stammen unter anderem von [[Évariste Galois]] und [[Niels Henrik Abel]] in der Algebra sowie [[Felix Klein]] und [[Sophus Lie]] in der Geometrie. Eine der herausragenden mathematischen Leistungen des 20. Jahrhunderts ist die Klassifikation aller [[Endliche einfache Gruppe|endlichen einfachen Gruppen]], also der unzerlegbaren Bausteine aller endlichen Gruppen. | ||
Die große Bedeutung der Gruppentheorie für viele Gebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen resultiert aus ihrer Allgemeinheit, denn sie umfasst in einer einheitlichen Sprache sowohl geometrische Sachverhalte (Bewegungen des Raumes, Symmetrien etc.) als auch arithmetische Regeln (Rechnen mit Zahlen, Matrizen etc.). Vor allem in der [[Algebra]] ist der Begriff der Gruppe von grundlegender Bedeutung: [[Ring (Algebra)|Ringe]], [[Körper (Algebra)|Körper]], [[Modul (Mathematik)|Moduln]] und [[Vektorraum|Vektorräume]] sind Gruppen mit zusätzlichen [[Mathematische Struktur|Strukturen]] und Eigenschaften. Methoden und Sprechweise der Gruppentheorie durchziehen daher viele Gebiete der Mathematik. In Physik und Chemie treten Gruppen überall dort auf, wo Symmetrien eine Rolle spielen (z. B. Invarianz physikalischer Gesetze, Symmetrie von Molekülen und Kristallen). Zur Untersuchung solcher Phänomene liefern die Gruppentheorie und die eng verwandte [[ | Die große Bedeutung der Gruppentheorie für viele Gebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen resultiert aus ihrer Allgemeinheit, denn sie umfasst in einer einheitlichen Sprache sowohl geometrische Sachverhalte (Bewegungen des Raumes, Symmetrien etc.) als auch arithmetische Regeln (Rechnen mit Zahlen, Matrizen etc.). Vor allem in der [[Algebra]] ist der Begriff der Gruppe von grundlegender Bedeutung: [[Ring (Algebra)|Ringe]], [[Körper (Algebra)|Körper]], [[Modul (Mathematik)|Moduln]] und [[Vektorraum|Vektorräume]] sind Gruppen mit zusätzlichen [[Mathematische Struktur|Strukturen]] und Eigenschaften. Methoden und Sprechweise der Gruppentheorie durchziehen daher viele Gebiete der Mathematik. In Physik und Chemie treten Gruppen überall dort auf, wo Symmetrien eine Rolle spielen (z. B. Invarianz physikalischer Gesetze, Symmetrie von Molekülen und Kristallen). Zur Untersuchung solcher Phänomene liefern die Gruppentheorie und die eng verwandte [[Darstellungstheorie]] die theoretischen Grundlagen und eröffnen wichtige Anwendungen. | ||
== Zugang ohne mathematische Voraussetzungen == | == Zugang ohne mathematische Voraussetzungen == | ||
Gruppen werden in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu verallgemeinern. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] von Dingen (z. B. Zahlen, Symbolen, Objekten, Bewegungen) und einer Rechenvorschrift (eine Verknüpfung, in diesem | Gruppen werden in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu verallgemeinern. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] von Dingen (z. B. Zahlen, Symbolen, Objekten, Bewegungen) und einer Rechenvorschrift (eine Verknüpfung, in diesem Artikel als <math>*</math> dargestellt), die angibt, wie mit diesen Dingen umzugehen ist. Diese Rechenvorschrift muss dabei bestimmten Regeln genügen, den sogenannten Gruppenaxiomen, die im Folgenden erklärt werden. | ||
Von einer Gruppe spricht man, falls für eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] zusammen mit einer [[Zweistellige Verknüpfung|Verknüpfung je zweier Elemente]] dieser Menge, hier geschrieben als <math>a | Von einer Gruppe spricht man, falls für eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] zusammen mit einer [[Zweistellige Verknüpfung|Verknüpfung je zweier Elemente]] dieser Menge, hier geschrieben als <math>a * b</math>, die folgenden Anforderungen erfüllt sind: | ||
# Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge ergibt wiederum ein Element derselben Menge. (Abgeschlossenheit) | # Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge ergibt wiederum ein Element derselben Menge. (Abgeschlossenheit) | ||
# Für die Verknüpfung ist die Klammerung unerheblich, das heißt, es gilt <math>(a | # Für die Verknüpfung ist die Klammerung unerheblich, das heißt, es gilt <math>(a * b) * c = a * (b * c)</math> für alle <math>a,b,c</math>. ([[Assoziativgesetz]]) | ||
# Es gibt ein Element <math>e</math> in der Menge, das bezüglich der Verknüpfung nichts bewirkt, also ein <math> | # Es gibt ein Element <math>e</math> in der Menge, das bezüglich der Verknüpfung nichts bewirkt, also ein <math>*</math>-[[neutrales Element]]: <math>a * e = e * a = a</math> für alle <math>a</math>. | ||
# Zu jedem Element <math>a</math> gibt es bezüglich der Verknüpfung ein Umkehr-Element, also ein <math> | # Zu jedem Element <math>a</math> gibt es bezüglich der Verknüpfung ein Umkehr-Element, also ein <math>*</math>-[[inverses Element]] <math>a^*</math>. Dieses hat die Eigenschaft, beim Verknüpfen mit <math>a</math> das neutrale Element zu ergeben: <math>a^* * a = a * a^* = e</math>. | ||
Man beachte: Falls auf der Menge von mehreren Verknüpfungen die Rede ist, etwa <math> | Man beachte: Falls auf der Menge von mehreren Verknüpfungen die Rede ist, etwa <math>*</math> und <math>\circ</math>, dann gibt es mehrere neutrale und inverse Elemente, jeweils passend zur Verknüpfung. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass nur eine bestimmte Verknüpfung gemeint ist, dann spricht man kurz von ''dem'' neutralen Element <math>e</math> und ''dem'' inversen Element <math>a^*</math> zu <math>a</math> ohne die Verknüpfung nochmals explizit zu erwähnen. | ||
* Wenn man zudem noch die Operanden vertauschen darf, wenn also stets <math>a | * Wenn man zudem noch die Operanden vertauschen darf, wenn also stets <math>a * b = b * a</math> gilt, dann liegt eine [[abelsche Gruppe]] vor, auch kommutative Gruppe genannt. ([[Kommutativgesetz]]) | ||
Beispiele für abelsche Gruppen sind | Beispiele für abelsche Gruppen sind | ||
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* [[Quaternionengruppe]] (nicht-abelsch) | * [[Quaternionengruppe]] (nicht-abelsch) | ||
* [[Triviale Gruppe]] (abelsch): Besteht nur aus dem neutralen Element | * [[Triviale Gruppe]] (abelsch): Besteht nur aus dem neutralen Element | ||
Eine ausführlichere Aufzählung | Eine ausführlichere Aufzählung befindet sich in der [[Liste kleiner Gruppen]]. | ||
== Grundkonzepte der Gruppentheorie == | == Grundkonzepte der Gruppentheorie == | ||
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{{Hauptartikel|Ordnung eines Gruppenelementes}} | {{Hauptartikel|Ordnung eines Gruppenelementes}} | ||
Ergibt ein Element <math>a</math> der Gruppe, endlich viele Male (<math>n</math>-mal) mit sich selbst verknüpft, das neutrale Element | Ergibt ein Element <math>a</math> der Gruppe, endlich viele Male (<math>n</math>-mal) mit sich selbst verknüpft, das neutrale Element <math>e</math>, d. h., gibt es ein <math>n\in\N</math> mit <math>\underbrace{a*a*\ldots *a}_{n\text{-mal}} = e</math>, so nennt man das kleinste derartige <math>n > 0</math> die ''Ordnung'' des Elements <math>a</math>. In diesem Fall spricht man von einem Element endlicher Ordnung oder ''Torsionselement''. Falls kein solches <math>n</math> existiert, sagt man, dass <math>a</math> ''unendliche Ordnung'' hat. In beiden Fällen entspricht die Ordnung des Elements der Ordnung der von ihm [[Erzeuger einer Gruppe|erzeugten Untergruppe]]. | ||
Aus dem Satz von Lagrange folgt daher: In einer [[Endliche Gruppe|endlichen Gruppe]] ist die Ordnung jedes Elements endlich, und ein Teiler der Gruppenordnung. | |||
Die kleinste positive Zahl <math>n</math>, mit der <math>a | Die kleinste positive Zahl <math>n</math>, mit der <math>\underbrace{a*a*\ldots *a}_{n\text{-mal}} = e</math> für '''jedes''' Gruppenelement <math>a</math> gilt, wird [[Gruppenexponent]] genannt. | ||
=== Unterschiedliche Schreibweisen für das Verknüpfungszeichen === | |||
Steht das Zeichen »*« für das [[Malzeichen|Mal-Zeichen]] »·«, dann spricht man von einer ''multiplikativ geschriebenen'' Gruppe. Diese kann kommutativ sein oder auch nicht, und das Zeichen »·« kann weggelassen, d. h. die zwei Operanden direkt nebeneinander geschrieben werden. Das neutrale Element ist dann <math>e = 1 ,</math> und das Inverse wird <math>a^{-1} </math> oder im kommutativen Fall auch <math>1/a </math> geschrieben. | |||
In Analogie zu den [[reelle Zahl|reellen Zahlen]] wird für das multiplikativ Iterierte die [[Potenz (Mathematik)|Potenzschreibweise]] <math>a^n := \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{-mal}} </math> verwendet. | |||
Wird andererseits das [[Pluszeichen|Plus-Zeichen]] »+« als Zeichen für die Verknüpfung verwendet, dann spricht man von einer ''additiv geschriebenen'' Gruppe, die dann auch allermeist kommutativ ist und <math>e = 0 </math> als neutrales Element hat. Das Vielfache wird <math>n a := n \cdot a := \underbrace{a+a+\ldots +a}_{n\text{-mal}} </math> und das Inverse <math>(-1) \cdot a := -a</math> geschrieben. | |||
Es gibt aber außer Multiplikation und Addition noch weitere Operationen, die eine Gruppenstruktur definieren. So gilt für die [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] stets das Assoziativgesetz. Werden dabei nur Funktionen betrachtet, die invertierbar sind, und zwar [[Bijektive Funktion|Bijektionen]] einer Menge auf sich selbst, dann definieren sie eine Gruppe (die im Allgemeinen nicht kommutativ ist). | |||
Häufig wird <math>\circ </math> als Zeichen für die Hintereinanderausführung und <math>\operatorname{id} </math> für das entsprechende neutrale Element verwendet. | |||
Ist bei Inversenbildung und Iteration gegenüber der Potenzschreibweise ein Unterschied zu machen, dann wird der [[Potenz (Mathematik)|Exponent]] auch in spitze Klammern gesetzt, z. B. <math>a^{\langle -1 \rangle} \circ a = \operatorname{id} </math> und <math>a^{\langle n \rangle} := \underbrace{a\circ a\circ \ldots \circ a}_{n\text{-mal}} \, . </math> | |||
=== Nebenklassen === | === Nebenklassen === | ||
==== Definition ==== | |||
Definiert man auf der Gruppe <math>(G,*)</math> mit einer Untergruppe <math>(H,*)</math> die Relation <math>\sim</math> durch | Definiert man auf der Gruppe <math>(G,*)</math> mit einer Untergruppe <math>(H,*)</math> die Relation <math>\sim</math> durch | ||
:<math> | :<math>b \sim a \; :\Longleftrightarrow \; \exists \, h \in H\colon \, b = a * h</math>, | ||
erhält man eine [[Äquivalenzrelation]] auf <math>G</math>. Die [[Äquivalenzklasse]] zu einem Element <math>a \in G</math> (d. h. die Menge aller Elemente <math>b</math>, die zu <math>a</math> in der Relation <math>\sim</math> stehen), ist die Menge | erhält man eine [[Äquivalenzrelation]]<ref>Für <math> a,b,c \in G</math> und <math> h,h^\prime\in H</math> ist: | ||
{| | |||
|- | |||
| Reflexivität: || <math> a = a * e</math> || ||<math>\Longrightarrow \; a \sim a </math>. | |||
|- | |||
| Symmetrie: || <math> b = a * h </math> || <math>\Longrightarrow \; a = b * h^{-1}</math> || <math>\Longrightarrow \; a \sim b</math>. | |||
|- | |||
| Transitivität: || <math> b = a * h \; \land \; c = b * h^\prime </math> || <math>\Longrightarrow \; c = a * h * h^\prime </math> || <math>\Longrightarrow \; c \sim a ,</math> da <math> h * h^\prime\in H .</math> | |||
|} | |||
</ref> auf <math>G ,</math> die die Menge <math>G </math> [[Partition (Mengenlehre)#Partitionen und Äquivalenzrelationen|partitioniert]]. Die [[Äquivalenzklasse]] (englisch: ''coset'') zu einem Element <math>a \in G</math> (d. h. die Menge aller Elemente <math>b</math>, die zu <math>a</math> in der Relation <math>b \sim a</math> stehen), ist die Menge | |||
:<math>\{a*h \mid h \in H\}</math>. | :<math>\{b\in G \mid b \sim a \} = \{a*h \mid h \in H\}</math>. | ||
Für diese Menge schreibt man <math>a*H</math> oder <math> | Für diese Menge schreibt man <math>a*H ,</math> <math>a H</math> oder auch kurz <math>\bar a ,</math> wenn klar ist, durch welchen Vorgang die Nebenklassen gebildet werden. Da diese Menge alle Elemente von <math>G</math> enthält, die dadurch entstehen, dass die Elemente aus <math>H</math> links mit dem Element <math>a</math> verknüpft werden, heißt sie (genauer) die '''Linksnebenklasse,'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Siegfried Bosch]] |Titel=Algebra |Verlag=Springer |Ort=Berlin |ISBN=978-3-642-39566-6 |Seiten=15}}</ref> Alternativbezeichnung '''Linksrestklasse,'''<ref>{{Literatur |Autor=Jürgen Wolfart |Titel=Einführung in die Zahlentheorie und Algebra |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |ISBN=978-3-8348-1461-6 |Seiten=36}}</ref> von <math>H</math> nach dem Element <math>a</math>. | ||
Wenn man andererseits eine Relation <math> | Wenn man andererseits eine Relation <math>\backsim </math> durch | ||
:<math> | :<math>b \backsim a \; :\Longleftrightarrow \; \exists \, h \in H\colon \, b = h * a</math> | ||
definiert, dann ist dies im Allgemeinen eine andere Äquivalenzrelation und die Menge der zu <math>a</math> äquivalenten Elemente in <math>G</math> jetzt | definiert, dann ist dies im Allgemeinen eine andere Äquivalenzrelation und die Menge der zu <math>a</math> äquivalenten Elemente in <math>G</math> jetzt | ||
:<math>\{h*a \mid h \in H\}</math>, | :<math>H a := \{h*a \mid h \in H\}</math>, | ||
die durch ''Rechts''verknüpfung der Elemente aus <math>H</math> mit dem Element <math>a</math> entsteht. Sie wird mit <math>H*a</math> oder <math>Ha</math> bezeichnet und '''Rechtsnebenklasse''', Alternativbezeichnung '''Rechtsrestklasse,''' von <math>H</math> nach dem Element <math>a</math> genannt. | |||
Für die Menge aller Links- bzw. Rechtsnebenklassen wird die Notation | |||
: <math>G/H := \{gH \mid g\in G\}</math> | |||
bzw. | |||
: <math>H \backslash G := \{Hg \mid g\in G\}</math> | |||
verwendet. | |||
Nebenklassen werden benutzt, um den [[Satz von Lagrange]] zu beweisen, um die Begriffe ''[[Normalteiler]]'' und ''[[Faktorgruppe]]'' zu erklären und um Gruppenoperationen zu studieren. | |||
==== Nebenklassen als Bahnen einer Gruppenoperation ==== | |||
Nebenklassen | Man kann Nebenklassen auch als [[Gruppenoperation#Bahn|Bahnen]] einer [[Gruppenoperation]] verstehen. Die Untergruppe <math>H</math> operiert nämlich auf der Gruppe <math>G</math> von links | ||
:<math>H \times G \to G, \quad (h,g) \mapsto h * g</math> | |||
bzw. von rechts | |||
:<math>G \times H \to G, \quad (g,h) \mapsto g * h</math> | |||
durch Multiplikation. Für ein gegebenes <math>g \in G</math> ist dann die Rechtsnebenklasse | |||
:<math>Hg = \{ h*g \mid h \in H \}</math> | |||
gerade die Bahn von <math>g</math> der Linksoperation, entsprechend die Linksnebenklasse | |||
:<math>gH = \{ g*h \mid h \in H \}</math> | |||
die Bahn von <math>g</math> der Rechtsoperation. Die Notation <math>G/H</math> für die Menge der Linksnebenklassen bzw. <math>H \backslash G</math> für die Menge der Rechtsnebenklassen deckt sich mit der für Bahnen üblichen Notation für den Orbitraum. | |||
=== Doppelnebenklassen === | === Doppelnebenklassen === | ||
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== Beispiel == | == Beispiel == | ||
[[Datei:Rubik-Wuerfel.jpg| | [[Datei:Rubik-Wuerfel.jpg|mini|Rubiks Zauberwürfel als Beispiel einer endlichen nicht-abelschen Gruppe]] | ||
Manche Eigenschaften endlicher Gruppen lassen sich mit dem [[Zauberwürfel]] veranschaulichen, der seit seiner Erfindung vielfach im akademischen Unterricht eingesetzt wurde, weil die [[Permutation]]en der Ecken- und Kantenelemente des Würfels ein sichtbares und handgreifliches Beispiel einer Gruppe darstellen. | Manche Eigenschaften endlicher Gruppen lassen sich mit dem [[Zauberwürfel]] veranschaulichen, der seit seiner Erfindung vielfach im akademischen Unterricht eingesetzt wurde, weil die [[Permutation]]en der Ecken- und Kantenelemente des Würfels ein sichtbares und handgreifliches Beispiel einer Gruppe darstellen. | ||
== Anwendungen == | == Anwendungen == | ||
=== Chemie === | === Chemie === | ||
====Punktgruppen==== | ==== Punktgruppen ==== | ||
Die Menge der möglichen [[Koordinate|Positionen]] der [[Atom]]e der [[Molekül]]e in ihrer Gleichgewichts[[konformation]] lässt sich mit Hilfe von [[Symmetrie (Physik)|Symmetrieoperationen]] (Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen lassen sich zu Gruppen, den sogenannten [[Punktgruppe]]n zusammenfassen. | Die Menge der möglichen [[Koordinate|Positionen]] der [[Atom]]e der [[Molekül]]e in ihrer Gleichgewichts[[konformation]] lässt sich mit Hilfe von [[Symmetrie (Physik)|Symmetrieoperationen]] (Einheitselement, Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen lassen sich zu Gruppen, den sogenannten [[Punktgruppe]]n zusammenfassen. | ||
==== Beispielanwendungen ==== | ==== Beispielanwendungen ==== | ||
* [[Quantenchemie]] | * [[Quantenchemie]] | ||
** Der Rechenaufwand von quantenchemischen Rechnungen kann unter Benutzung der Gruppentheorie erheblich verringert werden, z. B. hat ein [[Hamiltonoperator]] die gleiche Symmetrie wie sein System. | ** Der Rechenaufwand von quantenchemischen Rechnungen kann unter Benutzung der Gruppentheorie erheblich verringert werden, z. B. hat ein [[Hamiltonoperator]] die gleiche Symmetrie wie sein System. | ||
** Weiterhin ist sie hilfreich zur Beschreibung von SALKs ([[Symmetrieadaptierte Linearkombination|symmetrieadaptierten Linearkombinationen]] aus Atomorbitalen), was in der [[MO-Theorie]] und [[Ligandenfeldtheorie]] Anwendung findet. | ** Weiterhin ist sie hilfreich zur Beschreibung von SALKs ([[Symmetrieadaptierte Linearkombination|symmetrieadaptierten Linearkombinationen]] aus Atomorbitalen, auch Liganden-Gruppen-Orbitale), was in der [[MO-Theorie]] und [[Ligandenfeldtheorie]] Anwendung findet. | ||
** Weiterhin findet die Gruppentheorie Anwendung bei der Theorie der Erhaltung der Orbitalsymmetrie (siehe: [[Woodward-Hoffmann-Regeln]]). | ** Weiterhin findet die Gruppentheorie Anwendung bei der Theorie der Erhaltung der Orbitalsymmetrie (siehe: [[Woodward-Hoffmann-Regeln]]). | ||
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* [[Physik]]alische Eigenschaften | * [[Physik]]alische Eigenschaften | ||
** Ein permanentes [[elektrisches Dipolmoment]] können nur Moleküle der Punktgruppen <math>C_{nv}</math> und <math> | ** Ein permanentes [[elektrisches Dipolmoment]] können nur Moleküle ohne jegliche Symmetrie oder Symmetrien der Punktgruppen <math>C_{nv}</math> und <math>C_n</math> und <math>C_s</math> haben.<ref>siehe Atkins, de Paula, ''Physikalische Chemie'', Wiley-VCH (2006), S. 462, [https://books.google.de/books?id=Rp8tBAAAQBAJ&pg=PA462&lpg=PA462&dq=permanentes+elektrisches+dipolmoment+punktgruppe&source=bl&ots=W6lZfoc_e-&sig=ACfU3U1fYDja5oBy0A2CbKfo-PCUyVWMCw&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjAkcP4nI3kAhWMwqYKHXbzBQwQ6AEwBnoECAkQAQ#v=onepage&q=permanentes%20elektrisches%20dipolmoment%20punktgruppe&f=false Google-Lesevorschau]</ref> | ||
** [[Chiralität (Chemie)|Chiralität]] / [[optische Aktivität]] | ** [[Chiralität (Chemie)|Chiralität]] / [[optische Aktivität]] | ||
*** Moleküle, die keine Drehspiegelachse <math>S_n</math> aufweisen, sind chiral und daher optisch aktiv, z. B. Bromchloriodmethan. | *** Moleküle, die keine Drehspiegelachse <math>S_n</math> aufweisen, sind chiral und daher optisch aktiv, z. B. Bromchloriodmethan. | ||
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Eine abstrakte Definition von Gruppen findet sich erstmals 1854 bei [[Arthur Cayley]]: | Eine abstrakte Definition von Gruppen findet sich erstmals 1854 bei [[Arthur Cayley]]: | ||
{{Zitat|A set of symbols <math>1,\alpha,\beta,\ldots | {{Zitat|A set of symbols <math>1,\alpha,\beta,\ldots</math>, all of them different, and such that the product of any two of them (no matter in what order), or the product of any one of them into itself, belongs to the set, is said to be a group. These symbols are not in general convertible [commutative] but associative, it follows that if the entire group is multiplied by any one of the symbols, either as further or nearer factor [left or right], the effect is simply to reproduce the group.}} | ||
Erst ab 1878 erschienen die ersten Arbeiten zur abstrakten Gruppentheorie. Cayley bewies, dass jede endliche Gruppe isomorph zu einer Gruppe von [[Permutation]]en ist und bemerkte in derselben Arbeit, dass es einfacher sei, Gruppen als abstrakte Gruppen statt als Gruppen von Permutationen zu betrachten. 1882 definierte [[Walther von Dyck|Dyck]] erstmals Gruppen mittels [[Erzeugendensystem|Erzeugern]] und Relationen. | Erst ab 1878 erschienen die ersten Arbeiten zur abstrakten Gruppentheorie. Cayley bewies, dass jede endliche Gruppe isomorph zu einer Gruppe von [[Permutation]]en ist, und bemerkte in derselben Arbeit, dass es einfacher sei, Gruppen als abstrakte Gruppen statt als Gruppen von Permutationen zu betrachten. 1882 definierte [[Walther von Dyck|Dyck]] erstmals Gruppen mittels [[Erzeugendensystem|Erzeugern]] und Relationen. | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
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* Thorsten Camps u. a.: ''Einführung in die kombinatorische und die geometrische Gruppentheorie.'' Heldermann, Lemgo 2008, ISBN 978-3-88538-119-8. | * Thorsten Camps u. a.: ''Einführung in die kombinatorische und die geometrische Gruppentheorie.'' Heldermann, Lemgo 2008, ISBN 978-3-88538-119-8. | ||
* Oleg Bogopolski: ''Introduction to group theory.'' European Math. Soc., Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-041-8. | * Oleg Bogopolski: ''Introduction to group theory.'' European Math. Soc., Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-041-8. | ||
* | * Stephan Rosebrock: ''Anschauliche Gruppentheorie – Eine computerorientierte geometrische Einführung.'' Springer Spektrum, 2020, ISBN 978-3-662-60786-2. | ||
== Weblinks == | == Weblinks == | ||
* ''[http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=632 Gruppenzwang.]'' Eine Einführung in die Gruppentheorie auf Matroids Matheplanet. | {{Wiktionary}} | ||
* ''[http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=632 Gruppenzwang.]'' Eine Einführung in die Gruppentheorie auf ''[[Matroids Matheplanet]].'' | |||
* [http://hobbes.la.asu.edu/groups/groups.html Online-Werkzeug zur Erstellung von Gruppentafeln] (englisch). | * [http://hobbes.la.asu.edu/groups/groups.html Online-Werkzeug zur Erstellung von Gruppentafeln] (englisch). | ||
* Israel Kleiner: ''[http://www.jstor.org/stable/2690312?seq=1#page_scan_tab_contents The Evolution of Group Theory: A Brief Survey.]'' Mathematics Magazine, Vol. 59, No. 4 (Oktober 1986), S. 195–215. | * Israel Kleiner: ''[http://www.jstor.org/stable/2690312?seq=1#page_scan_tab_contents The Evolution of Group Theory: A Brief Survey.]'' Mathematics Magazine, Vol. 59, No. 4 (Oktober 1986), S. 195–215. | ||
Die Gruppentheorie als mathematische Disziplin untersucht die algebraische Struktur von Gruppen.
Anschaulich besteht eine Gruppe aus den Symmetrien eines Objekts oder einer Konfiguration zusammen mit jener Verknüpfung, die durch das Hintereinanderausführen dieser Symmetrien gegeben ist. So bilden beispielsweise die Drehungen eines regelmäßigen $ n $-Ecks in der Ebene, mit denen die Figur auf sich selbst abgebildet werden kann, eine Gruppe mit $ n $ Elementen. Um dieses Konzept allgemein zu fassen, hat sich eine knappe und mächtige Definition herausgebildet: Demnach ist eine Gruppe eine Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung (durch die jedem geordneten Paar von Elementen eindeutig ein Element dieser Menge als Resultat zugeordnet wird), wenn diese Verknüpfung assoziativ ist und es ein neutrales Element gibt sowie zu jedem Element ein Inverses. So bildet zum Beispiel auch die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition eine Gruppe.
Die systematische Untersuchung von Gruppen begann im 19. Jahrhundert und wurde durch konkrete Probleme ausgelöst, zunächst durch die Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen, später durch die Untersuchung geometrischer Symmetrien. Dementsprechend stand zunächst die Untersuchung konkreter Gruppen im Vordergrund; erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden verstärkt abstrakte Fragestellungen untersucht. Wichtige Beiträge stammen unter anderem von Évariste Galois und Niels Henrik Abel in der Algebra sowie Felix Klein und Sophus Lie in der Geometrie. Eine der herausragenden mathematischen Leistungen des 20. Jahrhunderts ist die Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen, also der unzerlegbaren Bausteine aller endlichen Gruppen.
Die große Bedeutung der Gruppentheorie für viele Gebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen resultiert aus ihrer Allgemeinheit, denn sie umfasst in einer einheitlichen Sprache sowohl geometrische Sachverhalte (Bewegungen des Raumes, Symmetrien etc.) als auch arithmetische Regeln (Rechnen mit Zahlen, Matrizen etc.). Vor allem in der Algebra ist der Begriff der Gruppe von grundlegender Bedeutung: Ringe, Körper, Moduln und Vektorräume sind Gruppen mit zusätzlichen Strukturen und Eigenschaften. Methoden und Sprechweise der Gruppentheorie durchziehen daher viele Gebiete der Mathematik. In Physik und Chemie treten Gruppen überall dort auf, wo Symmetrien eine Rolle spielen (z. B. Invarianz physikalischer Gesetze, Symmetrie von Molekülen und Kristallen). Zur Untersuchung solcher Phänomene liefern die Gruppentheorie und die eng verwandte Darstellungstheorie die theoretischen Grundlagen und eröffnen wichtige Anwendungen.
Gruppen werden in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu verallgemeinern. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer Menge von Dingen (z. B. Zahlen, Symbolen, Objekten, Bewegungen) und einer Rechenvorschrift (eine Verknüpfung, in diesem Artikel als $ * $ dargestellt), die angibt, wie mit diesen Dingen umzugehen ist. Diese Rechenvorschrift muss dabei bestimmten Regeln genügen, den sogenannten Gruppenaxiomen, die im Folgenden erklärt werden.
Von einer Gruppe spricht man, falls für eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung je zweier Elemente dieser Menge, hier geschrieben als $ a*b $, die folgenden Anforderungen erfüllt sind:
Man beachte: Falls auf der Menge von mehreren Verknüpfungen die Rede ist, etwa $ * $ und $ \circ $, dann gibt es mehrere neutrale und inverse Elemente, jeweils passend zur Verknüpfung. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass nur eine bestimmte Verknüpfung gemeint ist, dann spricht man kurz von dem neutralen Element $ e $ und dem inversen Element $ a^{*} $ zu $ a $ ohne die Verknüpfung nochmals explizit zu erwähnen.
Beispiele für abelsche Gruppen sind
Die sehr allgemeine Definition von Gruppen ermöglicht es, nicht nur Mengen von Zahlen mit entsprechenden Operationen als Gruppen aufzufassen, sondern auch andere mathematische Objekte mit geeigneten Verknüpfungen, die die obigen Anforderungen erfüllen. Ein solches Beispiel ist die Menge der Drehungen und Spiegelungen (Symmetrietransformationen), durch die ein regelmäßiges n-Eck auf sich selbst abgebildet wird, mit der Hintereinanderausführung der Transformationen als Verknüpfung (Diedergruppe).
Eine Gruppe ist ein Paar $ (G,*) $. Dabei ist $ G $ eine Menge und $ * $ eine zweistellige Verknüpfung bezüglich $ G $. Das heißt, dadurch wird die Abbildung $ *\colon G\times G\to G,(a,b)\mapsto a*b $ beschrieben. Zudem müssen die folgenden Axiome für die Verknüpfung erfüllt sein, damit $ (G,*) $ als Gruppe bezeichnet werden kann:
Eine Gruppe $ (G,*) $ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:
Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente $ a,b\in G $ gibt, für die $ a*b\neq b*a $ ist, heißt die Gruppe $ (G,*) $ nichtabelsch.
Bekannte Beispiele für Gruppen sind:
Eine ausführlichere Aufzählung befindet sich in der Liste kleiner Gruppen.
Die Mächtigkeit (Kardinalität) $ |G| $ der Trägermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe oder kurz Gruppenordnung. Für endliche Mengen ist dies einfach die Anzahl der Elemente.
Ist $ H $ eine Teilmenge der Trägermenge $ G $ einer Gruppe $ (G,*) $ und ist $ (H,*) $ selbst eine Gruppe, so nennt man $ H $ eine Untergruppe von $ G $, Bezeichnung $ H\leq G $.
Hierzu ein wichtiger Satz (Satz von Lagrange): Die Ordnung jeder Untergruppe $ H $ einer endlichen Gruppe $ G $ ist ein Teiler der Ordnung der Gruppe $ G $. Ist speziell $ |G| $ eine Primzahl, dann hat $ G $ nur die (trivialen) Untergruppen $ \{e\} $ (bestehend aus dem neutralen Element) und $ G $ selbst.
Gibt es in $ G $ ein Element $ a $ so, dass man jedes Element als Potenz $ a^{n} $ (mit einer ganzen Zahl $ n $, die auch negativ sein darf) schreiben kann, so nennt man $ G $ eine zyklische Gruppe und $ a $ erzeugendes Element.
Ergibt ein Element $ a $ der Gruppe, endlich viele Male ($ n $-mal) mit sich selbst verknüpft, das neutrale Element $ e $, d. h., gibt es ein $ n\in \mathbb {N} $ mit $ \underbrace {a*a*\ldots *a} _{n{\text{-mal}}}=e $, so nennt man das kleinste derartige $ n>0 $ die Ordnung des Elements $ a $. In diesem Fall spricht man von einem Element endlicher Ordnung oder Torsionselement. Falls kein solches $ n $ existiert, sagt man, dass $ a $ unendliche Ordnung hat. In beiden Fällen entspricht die Ordnung des Elements der Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe.
Aus dem Satz von Lagrange folgt daher: In einer endlichen Gruppe ist die Ordnung jedes Elements endlich, und ein Teiler der Gruppenordnung.
Die kleinste positive Zahl $ n $, mit der $ \underbrace {a*a*\ldots *a} _{n{\text{-mal}}}=e $ für jedes Gruppenelement $ a $ gilt, wird Gruppenexponent genannt.
Steht das Zeichen »*« für das Mal-Zeichen »·«, dann spricht man von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Diese kann kommutativ sein oder auch nicht, und das Zeichen »·« kann weggelassen, d. h. die zwei Operanden direkt nebeneinander geschrieben werden. Das neutrale Element ist dann $ e=1, $ und das Inverse wird $ a^{-1} $ oder im kommutativen Fall auch $ 1/a $ geschrieben. In Analogie zu den reellen Zahlen wird für das multiplikativ Iterierte die Potenzschreibweise $ a^{n}:=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\text{-mal}}} $ verwendet.
Wird andererseits das Plus-Zeichen »+« als Zeichen für die Verknüpfung verwendet, dann spricht man von einer additiv geschriebenen Gruppe, die dann auch allermeist kommutativ ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e = 0 als neutrales Element hat. Das Vielfache wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n a := n \cdot a := \underbrace{a+a+\ldots +a}_{n\text{-mal}} und das Inverse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (-1) \cdot a := -a geschrieben.
Es gibt aber außer Multiplikation und Addition noch weitere Operationen, die eine Gruppenstruktur definieren. So gilt für die Hintereinanderausführung von Funktionen stets das Assoziativgesetz. Werden dabei nur Funktionen betrachtet, die invertierbar sind, und zwar Bijektionen einer Menge auf sich selbst, dann definieren sie eine Gruppe (die im Allgemeinen nicht kommutativ ist). Häufig wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \circ als Zeichen für die Hintereinanderausführung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{id} für das entsprechende neutrale Element verwendet. Ist bei Inversenbildung und Iteration gegenüber der Potenzschreibweise ein Unterschied zu machen, dann wird der Exponent auch in spitze Klammern gesetzt, z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\langle -1 \rangle} \circ a = \operatorname{id} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a^{\langle n \rangle} := \underbrace{a\circ a\circ \ldots \circ a}_{n\text{-mal}} \, .
Definiert man auf der Gruppe $ (G,*) $ mit einer Untergruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (H,*) die Relation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sim durch
erhält man eine Äquivalenzrelation[1] auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G , die die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G partitioniert. Die Äquivalenzklasse (englisch: coset) zu einem Element $ a\in G $ (d. h. die Menge aller Elemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b , die zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a in der Relation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b \sim a stehen), ist die Menge
Für diese Menge schreibt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a*H , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a H oder auch kurz $ {\bar {a}}, $ wenn klar ist, durch welchen Vorgang die Nebenklassen gebildet werden. Da diese Menge alle Elemente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G enthält, die dadurch entstehen, dass die Elemente aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H links mit dem Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a verknüpft werden, heißt sie (genauer) die Linksnebenklasse,[2] Alternativbezeichnung Linksrestklasse,[3] von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H nach dem Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a .
Wenn man andererseits eine Relation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \backsim durch
definiert, dann ist dies im Allgemeinen eine andere Äquivalenzrelation und die Menge der zu $ a $ äquivalenten Elemente in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G jetzt
die durch Rechtsverknüpfung der Elemente aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H mit dem Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a entsteht. Sie wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H*a oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Ha bezeichnet und Rechtsnebenklasse, Alternativbezeichnung Rechtsrestklasse, von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H nach dem Element $ a $ genannt.
Für die Menge aller Links- bzw. Rechtsnebenklassen wird die Notation
bzw.
verwendet.
Nebenklassen werden benutzt, um den Satz von Lagrange zu beweisen, um die Begriffe Normalteiler und Faktorgruppe zu erklären und um Gruppenoperationen zu studieren.
Man kann Nebenklassen auch als Bahnen einer Gruppenoperation verstehen. Die Untergruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H operiert nämlich auf der Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G von links
bzw. von rechts
durch Multiplikation. Für ein gegebenes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g \in G ist dann die Rechtsnebenklasse
gerade die Bahn von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g der Linksoperation, entsprechend die Linksnebenklasse
die Bahn von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g der Rechtsoperation. Die Notation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G/H für die Menge der Linksnebenklassen bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H \backslash G für die Menge der Rechtsnebenklassen deckt sich mit der für Bahnen üblichen Notation für den Orbitraum.
Sind zwei Untergruppen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H gegeben, so erhält man eine Äquivalenzrelation durch
Die Äquivalenzklasse zu $ a\in G $ ist
Für diese Menge schreibt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K*a*H oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): KaH und nennt sie die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (K,H) -Doppelnebenklasse zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a .
Ist für jedes Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a \in G die linke Nebenklasse von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H gleich der rechten, d. h. $ aH=Ha $, so nennt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H einen Normalteiler von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G , Bezeichnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H \trianglelefteq G .
In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Der Kern jedes Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler.
Die Linksnebenklassen (oder auch die Rechtsnebenklassen) bezüglich einer Untergruppe teilen die Gruppe (als Menge angesehen) in disjunkte Teilmengen auf. Ist die Untergruppe sogar ein Normalteiler, so ist jede Linksnebenklasse zugleich eine Rechtsnebenklasse und wird ab jetzt nur Nebenklasse genannt.
Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H ein Normalteiler von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G , dann kann man auf der Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G/H der Nebenklassen eine Verknüpfung definieren:
Die Verknüpfung ist wohldefiniert, d. h., sie ist nicht abhängig von der Wahl der Repräsentanten $ a_{1} $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_2 in ihrer Nebenklasse. (Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H kein Normalteiler, dann gibt es Nebenklassen mit Repräsentanten, die verschiedene Ergebnisse produzieren.)
Zusammen mit dieser induzierten Verknüpfung bildet die Menge der Nebenklassen eine Gruppe, die Faktorgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G/H . Die Faktorgruppe ist eine Art vergröbertes Abbild der originalen Gruppe.
Eine nicht-triviale Gruppe heißt einfach, wenn sie keine Normalteiler außer der trivialen Gruppe und sich selbst hat. Beispielsweise sind alle Gruppen von Primzahlordnung einfach. Die einfachen Gruppen spielen eine wichtige Rolle als „Grundbausteine“ von Gruppen. Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert. Jede gehört entweder zu einer der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen oder ist eine der 26 Ausnahmegruppen, die auch als sporadische Gruppen bezeichnet werden.
Manche Eigenschaften endlicher Gruppen lassen sich mit dem Zauberwürfel veranschaulichen, der seit seiner Erfindung vielfach im akademischen Unterricht eingesetzt wurde, weil die Permutationen der Ecken- und Kantenelemente des Würfels ein sichtbares und handgreifliches Beispiel einer Gruppe darstellen.
Die Menge der möglichen Positionen der Atome der Moleküle in ihrer Gleichgewichtskonformation lässt sich mit Hilfe von Symmetrieoperationen (Einheitselement, Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen lassen sich zu Gruppen, den sogenannten Punktgruppen zusammenfassen.
In der Quantenmechanik sind Symmetriegruppen als Gruppen von unitären oder antiunitären Operatoren realisiert. Die Eigenvektoren einer maximalen abelschen Untergruppe dieser Operatoren zeichnet eine physikalisch wichtige Basis aus, die zu Zuständen mit wohldefinierter Energie oder Impuls oder Drehimpuls oder Ladung gehört. Beispielsweise bilden in der Festkörperphysik die Zustände in einem Kristall mit einer fest gewählten Energie einen Darstellungsraum der Symmetriegruppe des Kristalls.
Die Entdeckung der Gruppentheorie wird Évariste Galois zugeschrieben, der die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale (in heutiger Terminologie) auf die Auflösbarkeit ihrer Galois-Gruppe zurückführte. Galois’ Arbeit wurde erst 1846 postum veröffentlicht. Implizit spielte das Konzept einer Gruppe aber bereits bei Lagrange (Réflexions sur la résolution algébrique, 1771) und Gauß (Disquisitiones Arithmeticae, 1801) eine Rolle.
Im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts wurde die Gruppentheorie vor allem durch Felix Kleins Erlanger Programm und die von Sophus Lie entwickelte Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen sowie auch Poincarés und Kleins Arbeiten über automorphe Funktionen zu einem zentralen Bestandteil der Mathematik. Aus dem Jahr 1881 stammt Poincarés bekanntes Zitat „Les mathématiques ne sont qu’une histoire des groupes.“ (Die Mathematik ist nur eine Geschichte der Gruppen.)
Eine abstrakte Definition von Gruppen findet sich erstmals 1854 bei Arthur Cayley:
„A set of symbols Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1,\alpha,\beta,\ldots , all of them different, and such that the product of any two of them (no matter in what order), or the product of any one of them into itself, belongs to the set, is said to be a group. These symbols are not in general convertible [commutative] but associative, it follows that if the entire group is multiplied by any one of the symbols, either as further or nearer factor [left or right], the effect is simply to reproduce the group.“
Erst ab 1878 erschienen die ersten Arbeiten zur abstrakten Gruppentheorie. Cayley bewies, dass jede endliche Gruppe isomorph zu einer Gruppe von Permutationen ist, und bemerkte in derselben Arbeit, dass es einfacher sei, Gruppen als abstrakte Gruppen statt als Gruppen von Permutationen zu betrachten. 1882 definierte Dyck erstmals Gruppen mittels Erzeugern und Relationen.
| Reflexivität: | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a = a * e | $ \Longrightarrow \;a\sim a $. | |
| Symmetrie: | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b = a * h | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Longrightarrow \; a = b * h^{-1} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Longrightarrow \; a \sim b . |
| Transitivität: | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b = a * h \; \land \; c = b * h^\prime | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Longrightarrow \; c = a * h * h^\prime | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Longrightarrow \; c \sim a , da $ h*h^{\prime }\in H. $ |
