Bessel-Verfahren

Als Bessel-Verfahren oder Bessel-Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite $ f $ einer Sammellinse bezeichnet. Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, der sie im Jahre 1840 publizierte.^[1]

Grundlagen

Wenn ein Gegenstand G mittels einer optischen Linse auf einem Schirm als Bild B abgebildet wird, dann erhält man in zwei Positionierungen der Linse ein scharfes Bild: In der Position $ P_{1} $ ist das Bild vergrößert, in der Position $ P_{2} $ ist es verkleinert. Dabei muss der Abstand $ a $ des Gegenstand zum Schirm größer sein als das Vierfache der Brennweite $ f $ zuzüglich der Distanz $ {\overline {HH'}} $ der beiden Hauptebenen der Linse:

$ a>4f+{\overline {HH'}} $

Praktisch wird die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her verschoben, und die jeweiligen Abstände $ x_{1} $ und $ x_{2} $ von einem Rand der Anordnung werden gemessen. Aus deren Differenz erhält man den Abstand $ e $ der beiden Linsenpositionen, aus dem die Brennweite mit den Gleichungen

$ f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}} $  für dünne Linsen,

$ f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}} $  für dicke Linsen

berechnet werden kann.

Gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen H und H′ nicht bekannt sein muss. Allerdings wird das Ergebnis für dicke Linsen um die Hälfte bis ein Viertel von $ {\overline {HH'}} $ zu groß, abhängig von $ a $.

Gegenüber dem aufwändigeren Abbe-Verfahren, mit dem zusätzlich die Lage der Hauptebenen ermittelt werden, hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass mit einem festen Aufbau (Lichtquelle, Gegenstand und Bildschirm in festem Abstand) viele Linsen schnell vermessen werden können.

Herleitung

Dünne Linsen

1. Herleitung:
Bei dünnen Linsen kann der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen vernachlässigt werden. Es gilt:

$ b+g=a $,

wobei $ b $ die Bildweite und $ g $ die Gegenstandsweite ist. Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten:

$ e=a-2b $

(das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden, deswegen kann der Abstand $ e $ der beiden Punkte, in denen es scharf abgebildet wird, nur durch diese Gleichung beschrieben werden).
Unter Benutzung der Linsengleichung

$ {\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}} $

und Einsetzen von $ g=a-b $ sowie

$ b={\frac {a-e}{2}} $

erhält man

$ {\frac {1}{f}}={\frac {1}{\frac {a-e}{2}}}+{\frac {1}{a-{\frac {a-e}{2}}}}={\frac {2}{a-e}}+{\frac {2}{a+e}}={\frac {4a}{a^{2}-e^{2}}} $.

Die Umformung ergibt

$ f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}} $.

2. Herleitung:
Unter Benutzung der Linsengleichung

$ {\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}} $

und Einsetzen von $ b=a-g $ (der Abstand der Hauptebenen einer dünnen Linse ist null) erhält man eine Gleichung für $ g $:

$ {\frac {1}{f}}={\frac {a}{ag-g^{2}}} $.

Wird diese quadratische Gleichung nach $ g $ auf gelöst, erhält man

$ e=\Delta g={\sqrt {a^{2}-4af}} $.

wobei $ e $ als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten $ g $ definiert ist. Die Umformung ergibt

$ f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}} $ .

Dicke Linsen

Der Abstand der Hauptebenen $ {\overline {HH'}} $ ist nicht vernachlässigbar. Es gilt

$ a=g+b+{\overline {HH'}} $ und

$ e=(a-{\overline {HH'}})-2b $ .

Man erhält mit obigen Überlegungen die Formel

$ f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}} $ .

Literatur

• Eugene Hecht: Optik, Oldenbourg Verlag, 4. Auflage 2005, ISBN 3-486-27359-0

Anmerkungen