Multipolentwicklung: Unterschied zwischen den Versionen

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Als '''Multipolentwicklung''' versteht man die [[Reihenentwicklung]] eines [[Potential (Physik)|Potentials]], bei der verschiedene [[Multipol]]-Momente auftreten. Man unterscheidet zwischen kartesischer und sphärischer Multipolentwicklung. Multipolentwicklungen spielen insbesondere in der [[Elektrostatik]] und der [[Magnetostatik]] eine große Rolle, können aber auch auf andere [[Feld (Physik)|Felder]] – z. B. bei der Inversion des [[Schwerefeld]]es – angewandt werden.
Die '''Multipolentwicklung''' ist in der Physik ein Verfahren zur Lösung der [[Poisson-Gleichung]] in drei [[Raumdimension]]en, bei der die Lösungsfunktion als [[Laurent-Reihe]] entwickelt wird. Die Entwicklungskoeffizienten dieser Laurent-Reihe heißen '''Multipolmomente'''. Sie wird hauptsächlich in der [[Elektrostatik]] und der [[Magnetostatik]] verwendet, kann aber auf jedes andere Gebiet der Physik, in dem die Poisson-Gleichung auftritt, verallgemeinert werden.


== Kartesische Multipolentwicklung ==
Die Motivation der Multipolentwicklung liegt darin, das Verhalten von [[Elektrisches Potential|elektrischem Potential]] und [[Vektorpotential|magnetischem Vektorpotential]] (oder beliebigen anderen [[Potential (Physik)|Potentialen]] wie dem [[Gravitationspotential]]) in großer Entfernung von Ladungen oder Strömen zu betrachten. Dazu wird angenommen, dass diese das Potential induzierenden Ladungen oder Ströme nur auf einen kleinen Bereich des Raumes beschränkt sind, und die [[Greensche Funktion]] des [[Laplace-Operator]]s, der in der Poisson-Gleichung auftritt, als [[Taylor-Reihe]] entwickelt.
Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird <math>1/|{\mathbf r - \mathbf r'}|</math> in eine [[Taylorreihe]] von <math>\mathbf r'</math> um <math>\mathbf r'=\mathbf 0</math> entwickelt.  
Die Multipolentwicklung trennt bei den einzelnen Summanden der Entwicklung den Ort <math>\mathbf r</math> und die von der Ladungsverteilung <math>\rho(\mathbf{r}')</math> abhängigen Größen (Momente) voneinander.  


:<math>\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\mathbf{r}'\cdot\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}\right)^{n}\left.\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}\right|}\right|_{\bar{\mathbf{r}}=0}</math>
== Grundlagen ==
Die Poisson-Gleichung lässt sich allgemein als
:<math>\Delta \phi(\vec r) = -f(\vec r)</math>
schreiben, wobei <math>\Delta</math> der Laplace-Operator, <math>f</math> eine Dichte und <math>\phi</math> ein Potential ist (das Minus ist Konvention). Die formale Lösung dieser Gleichung ist:
:<math>\phi(\vec r) =  \frac{1}{4\pi} \int \mathrm d^3 \vec r' \frac{f(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|}</math>
Ist <math>f(\vec r)</math> in einem Volumen lokalisiert, kann für Orte <math>\vec r</math>, die weit außerhalb dieses Volumens liegen, <math>r \gg r'</math>, der Bruch in einer Taylor-Reihe in <math>\vec r'</math> um <math>\vec r' = 0</math> entwickelt werden:
:<math>\frac{1}{\left|\vec r-\vec r'\right|}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\vec r '\cdot \vec \nabla'\right)^{n}\left.\frac{1}{\left|\vec r-\vec r'\right|}\right|_{\vec r' =0}</math>
Dabei bedeutet <math>\vec \nabla'</math>, dass der [[Nablaoperator]] <math>\vec \nabla</math> nur auf die gestrichenen Koordinaten <math>\vec r'</math> und nicht auf <math>\vec r</math> wirkt. Nach Bilden der Ableitungen wird diese an der Stelle <math>\vec r' = 0</math> ausgewertet. Durch Umformen erhält man:
:<math>\frac{1}{\left|\vec {r}-\vec {r}'\right|} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-\vec {r}'\cdot\vec \nabla\right)^{n}\frac{1}{r}</math>


Dabei bedeutet <math>\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}</math>, dass der [[Nablaoperator]] nur auf <math>\bar{\mathbf{r}}</math> und nicht auf <math>\mathbf{r}</math> wirkt. Nach Bilden der Ableitung <math>\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}^{n}(1/\left|\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}\right|)</math> wird diese an der Stelle <math>\bar{\mathbf{r}}=0</math> ausgewertet. Die Taylorentwicklung lässt sich umformen mittels Substitution <math>\mathbf{u}=\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}</math> und damit <math>\nabla_{\mathbf{u}}=-\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}</math>:
Aus dimensionalen Überlegungen ergibt sich, dass jeder Term in der Taylor-Reihe in <math>\vec r'</math> zu einem Term <math>r^{-1}</math> im Hauptteil der Laurent-Reihe in <math>r</math> führt. Mit anderen Worten, mit zunehmendem Abstand vom betrachteten Volumen, werden die höheren Ordnungen der Multipolmomente immer vernachlässigbarer, da sie immer stärker abfallen.  


:<math>\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}^{n}\left.\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}\right|}\right|_{\bar{\mathbf{r}}=0}=(-\nabla_{\mathbf{u}})^{n}\left.\frac{1}{\left|\mathbf{u}\right|}\right|_{\mathbf{u}=\mathbf{r}}=(-\nabla_{\mathbf{r}})^{n}\frac{1}{\left|\mathbf{r}\right|}=(-\nabla)^{n}\frac{1}{r}</math>
Die genaue Form der Entwicklung und der Multipole hängt davon ab, in welchem [[Koordinatensystem]] sie betrachtet werden.
 
Somit vereinfacht sich die Entwicklung zu:
 
:<math>\begin{align}
\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|} & =\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-\mathbf{r}'\cdot\nabla\right)^{n}\frac{1}{r}\\
& =\frac{1}{r}-\mathbf{r}'\cdot\nabla\frac{1}{r}+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\cdot\nabla\nabla\frac{1}{r}\cdot\mathbf{r}'+O(r'^{3})\end{align}</math>
 
In Komponentenschreibweise lauten die ersten Glieder der Entwicklung (es wird [[Summenkonvention]] verwendet):


=== Kartesische Multipolentwicklung ===
Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird die Entwicklung in [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] durchgeführt. Dort ist
:<math>\vec r' \cdot \vec \nabla = r'_i \partial_i</math>,
wobei [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet wird. Dann muss bei einem Summanden <math>n</math>-ter Ordnung ein Tensor <math>n</math>-ter Stufe, nämlich <math>\textstyle \prod_{k=1}^n \partial_{i_k} \frac{1}{r}</math> berechnet werden:
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}
\frac{1}{\left|\vec {r}-\vec {r}'\right|}  
&= \frac{1}{\sqrt{(x_{k}-x_{k}^{\prime})(x_{k}-x_{k}^{\prime})}} \\
&= \frac{1}{r} - r'_i \partial_i \frac{1}{r} + \frac{1}{2} r'_i r'_j \partial_i \partial_j \frac{1}{r} + \mathcal O(r'^3) \\
&= \frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}-x_{i}^{\prime}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}+\frac{1}{2}x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}+O(x_{i}^{\prime3})
&= \frac{1}{r} + r'_i \frac{r_i}{r^3}+\frac{1}{2} r'_i r'_j \frac{3r_i r_j - r^2\delta_{ij}}{r^{5}} + \mathcal O(r'^3)
\end{align}</math>
\end{align}</math>


Bei der zugrundeliegenden Taylorentwicklung muss beim Summanden n-ter Ordnung ein Tensor n-ter Stufe, nämlich <math>\nabla^n (1/r)</math>, berechnet werden. Hierbei ist in erster Ordnung
Das Symbol <math>\delta_{ij}</math> repräsentiert das sogenannte [[Kronecker-Delta]].
 
:<math>\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}=-\frac{1}{2}\frac{2x_{i}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}=-\frac{x_{i}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}=-\frac{x_{i}}{r^{3}}</math>
 
:<math>\nabla \frac{1}{r} =  - \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }}</math>
 
und in zweiter Ordnung
 
:<math>\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}=-\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}x_{j})=-(-\frac{3}{2})\frac{2x_{i}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{5}}x_{j}-\frac{\delta_{ij}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}=\frac{3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta_{ij}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{5}}=\frac{3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta_{ij}}{r^{5}}</math>
 
:<math> \nabla \nabla \frac{1}{r} =  - \nabla \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} =  - \left( \mathbf r{\nabla \frac{1}{{r^3 }}}  + \frac{1}{{r^3 }}\nabla \mathbf r \right) = - \left( {-3 \frac{\mathbf r}{{r^5 }}} \right)\mathbf r - \frac{1}{{r^3 }}E = 3\frac{{\mathbf r\mathbf r}}{{r^5 }} - \frac{{r^2 }}{{r^5 }}E </math>,
 
wobei <math>E</math> die [[Einheitsmatrix]] und <math>\mathbf r\mathbf r</math> ein [[dyadisches Produkt]] ist.
 
Damit lassen sich die ersten drei Glieder der Entwicklung schreiben als
 
:<math>\frac{1}{r}+x_{i}^{\prime}\frac{x_{i}}{r^{3}}+\frac{1}{2}x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}\frac{3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta_{ij}}{r^{5}}=\frac{1}{r}+\frac{x_{i}}{r^{3}}x_{i}^{\prime}+\frac{1}{2}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}(3x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}-x_{l}^{\prime}x_{l}^{\prime}\delta_{ij})</math>
 
:<math> \frac{1}{r} + \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} \cdot \mathbf r' + \frac{1}{2} \mathbf r' \cdot \left( {3\frac{{\mathbf r\mathbf r}}{{r^5 }} - \frac{{r^2 }}{{r^5 }}E} \right) \cdot \mathbf r' = \frac{1}{r} + \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} \cdot \mathbf r' + \frac{1}{2} \frac{{\mathbf r\mathbf r}}{{r^5 }}:\left( {3\mathbf r'\mathbf r' - r'^2 E} \right) </math>,


wobei <math>:</math> ein doppeltes inneres Produkt bezeichnet. Zudem wurde <math>x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}x_{l}x_{l}\delta_{ij}=x_{i}^{\prime}x_{i}^{\prime}x_{l}x_{l}=x_{l}^{\prime}x_{l}^{\prime}x_{i}x_{i}=x_{l}^{\prime}x_{l}^{\prime}x_{i}x_{j}\delta_{ij}=r^{\prime2}x_{i}x_{j}\delta_{ij}</math> verwendet.
Die formale Lösung <math>\phi(\vec{r})</math> der Poisson-Gleichung, ist unter Verwendung der Identität <math>r'_i r'_j r^2 \delta_{ij} = r'^2 r_i r_j \delta_{ij}</math> wie folgt darstellbar:
 
Einsetzen liefert das Potential (hier das elektrische Potential), wo die Momente direkt abgelesen werden können.


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\Phi\left(\mathbf{r}\right) & =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigg[\frac{1}{r}\underbrace{\int\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}_{{\rm \text{Monopol-}}}+\frac{x_{i}}{r^{3}}\underbrace{\int x_{i}'\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}_{\text{Dipol-}}+\frac{1}{2}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}\underbrace{\int\left(3x_{i}'x_{j}'-r'^{2}\delta_{ij}\right)\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}_{\text{Quadrupolmoment}}+ \dots \bigg]\\
\phi (\vec r) &= \frac{1}{4\pi} \bigg[\frac{1}{r}\underbrace{\int f(\vec r')\, \mathrm d^3 \vec r'}_{\text{Monopol-}}+\frac{r_i}{r^3}\underbrace{\int \mathrm d^3 \vec r' \, r'_i f(\vec {r}')}_{\text{Dipol-}}+\frac{1}{2}\frac{r_{i}r_{j}}{r^{5}}\underbrace{\int\mathrm d^3 \vec r' \, \left(3r'_{i} r'_{j} - r'^{2}\delta_{ij}\right) f(\vec r') }_{\text{Quadrupolmoment}} + \dots \bigg] \\
& =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigg[\frac{1}{r}\overbrace{\int\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}+\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\cdot\overbrace{\int\mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}+\frac{1}{2}\frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^{5}}\overbrace{\int\left(3\mathbf{r}'\mathbf{r}'-r'^{2}E\right)\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}+ \dots \bigg]\end{align}
&= \frac{1}{4\pi} \left[\frac{1}{r} q + \frac{r_i}{r^3} p_i + \frac{1}{2} \frac{r_i r_j}{r^5} Q_{ij} + \dots\right]\end{align}
</math>
</math>


=== Elektrostatik ===
=== Sphärische Multipolentwicklung ===
Das [[Elektrostatik#Potential_und_Spannung|Elektrostatische Potential]] lässt sich mit der [[Raumladungsdichte|Ladungsverteilung]] <math>\rho(\vec r)</math> an jedem Ort <math>\vec r</math> über folgende Formel beschreiben:
In der sphärischen Multipolentwicklung wird nicht in den einzelnen Koordinaten entwickelt, sondern im Abstand. Dazu wird der Term in [[Kugelkoordinaten]] umgeschrieben. Es ist
 
:<math>\vec r' \cdot \vec \nabla' = r' \partial_{r'}</math>
:<math>\Phi(\mathbf r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \int \frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|} \, d^3r',</math>
und
 
:<math>\frac{1}{|\vec r - \vec r'|} = \frac{1}{r} \frac{1}\sqrt{1 + \frac{r'^2}{r^2} - 2 \frac{r'}{r} \cos(\theta - \theta')}</math>.
für ''n'' einzelne [[Punktladung]]en auch durch die Summe der Beiträge der einzelnen Punktladungen:
Da dies die [[erzeugende Funktion]] der [[Legendre-Polynome]] <math>P_l</math> ist, kann die Entwicklung damit geschlossen angegeben werden:
 
:<math>\frac{1}{|\vec r - \vec r'|} = \sum_{l = 0}^\infty P_l(\cos(\theta - \theta')) \frac{r'^l}{r^{l+1}}= \frac{1}{r} + \cos(\theta - \theta') \frac{r'}{r^2} + \frac 12 (3 \cos^2(\theta - \theta') - 1) \frac{r'^2}{r^3} + \mathcal O(r'^3)</math>
:<math>\Phi(\mathbf r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \sum_i \frac{q_i}{\left| \mathbf r - \mathbf r_i \right|},</math>
 
jeweils mit der [[elektrische Feldkonstante|elektrischen Feldkonstante]] <math>\varepsilon_0.</math>
 
Anstatt das Potential durch ''n'' einzelne Ladungen <math>q_i</math> und Koordinaten <math>\vec{r}</math> zu beschreiben, kann man die ''Multipolentwicklung'' durchführen:
 
:<math>\Phi(\mathbf r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q}{r} + \frac{\mathbf r \cdot \mathbf p}{r^3} + \frac{1}{2} \sum_{k,l} Q_{kl} \frac{r_k \cdot r_l}{r^5}+ \dots \right).</math>
 
Aus mathematischer Sicht ist diese eine [[Taylorentwicklung]] des Faktors <math>1/|{\mathbf r - \mathbf r'}|</math> um <math>\mathbf r' = \mathbf 0</math> nach [[kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]]&nbsp;(x,y,z).
 
Ihre Entwicklungskoeffizienten, die ''Multipolmomente'' Q,&nbsp;p und <math>Q_{kl}</math>, lassen sich auch physikalisch deuten:
* Das [[Monopol (Physik)|Monopol]]<nowiki/>moment <math>Q = \sum_{i=1}^{n} q_i</math> bzw. <math>= \int \rho(\mathbf r') \cdot d^3r'</math> für kontinuierliche Ladungsverteilungen
:ist ein [[Skalar (Mathematik)|Skalar]] und entspricht der [[Gesamtladung]] der Ladungsverteilung. Sein Potential
::<math>\Phi_\text{Monopol} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}</math> fällt über dem Abstand am schwächsten (linear) ab und ist daher für große Abstände <math>\vec{r} \gg \vec r_i</math> dominierend.
* Das [[Elektrisches_Dipolmoment|Dipolmoment]] <math>\mathbf p = \sum_{i=1}^{n} q_i \mathbf r_i</math> bzw. <math>= \int \rho(\mathbf r') \cdot \mathbf r' \cdot d^3r'</math> für kontinuierliche Ladungsverteilungen
:ist ein [[Vektor]] und tritt auf, wenn Ladungsschwerpunkte nicht mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen (eindrückliches Beispiel: zwei getrennte Ladungen&nbsp;+q und&nbsp;-q). Das Dipolpotential
::<math>\Phi_\text{Dipol} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\mathbf p \cdot \mathbf r}{r^3}</math> ist schwächer als das Monopolpotential, da es mit dem Abstand quadratisch abfällt.
*Das [[Quadrupol]]<nowiki/>moment <math>Q_{kl} = \sum_{i=1}^{n} q_i(3r_{ik} \, r_{il} - (r_i)^2 \, \delta_{kl})</math> bzw. <math>Q_{kl} = \int \rho(\mathbf r') \cdot (3r'_k \, r'_l - (r')^2 \, \delta_{kl}) \cdot d^3r'</math> für kontinuierliche Ladungsverteilungen
:ist ein [[spurfrei]]er symmetrischer [[Tensor]] zweiter Stufe (eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]), wobei
:* <math>r_{ik} = \vec r(i) \cdot \vec e_k</math> mit dem [[Einheitsvektor]] <math>\vec e_k</math>
:* <math>\delta_{kl}</math> das [[Kronecker-Delta]] ist.
* und höhere Multipolmomente (''Oktupol''momente usw.).
 
== Sphärische Multipolentwicklung ==
Das elektrostatische Potential lautet
 
:<math>\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int d^3r'\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}</math>.
 
Der Abstand lässt sich mittels [[Skalarprodukt]] im Nenner umformen zu:
 
:<math> \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{\sqrt{\mathbf{r}^{2}+\mathbf{r}^{\prime2}-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+{r^{\prime}}^{2}-2r\, r^{\prime}\cos\alpha}}=\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{2}-2\frac{r^{\prime}}{r}\cos\alpha}}=\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2y\,x}} </math>
 
Es wurden die Abkürzungen <math>x = \frac{r^\prime}{r}</math> und <math>y = \cos \alpha</math> eingeführt. Nun entwickelt man obige Gleichung in eine Taylorreihe um <math>x = 0</math>:
 
:<math> \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2y\,x}}=\frac{1}{r}\bigg[\underbrace{1}_{P_0(y)}+\underbrace{y}_{P_1(y)}\,x +\underbrace{\left(\frac{3}{2}y^2-\frac{1}{2}\right)}_{P_2(y)}x^2+\underbrace{\left(\frac{5}{2}y^3-\frac{3}{2}y\right)}_{P_3(y)}x^3+\ldots \bigg]=\frac{1}{r}\sum_{l=0}^\infty P_l(y)x^l </math>
 
Dabei wurden die [[Legendre-Polynom]]e <math>P_l(y)=P_l(\cos\alpha)</math> benutzt. Diese sind für <math>|x|<1</math> definiert als die Entwicklungskoeffizienten der Taylorreihe von <math>(1+x^2-2yx)^{-1/2}</math> um <math>x=0</math>:
 
:<math>\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2y\,x}}=\sum_{l=0}^\infty P_l(y)x^l </math>
 
Die Entwicklung lautet also:
 
:<math>\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}\,'|}=\sum_{l=0}^\infty P_l(\cos\alpha)\frac{r^{\,\prime\,l}}{r^{l+1}}</math>
 
Da <math>\alpha</math> der Winkel zwischen <math>\mathbf r=\mathbf r(r,\theta,\varphi)</math> und <math>\mathbf r^\prime=\mathbf r^\prime(r^\prime,\theta^\prime,\varphi^\prime)</math> ist, kann man nun das [[Kugelflächenfunktionen#Additionstheorem|Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen]] benutzen, welches durch
 
:<math> P_l(\cos\alpha)=\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^l Y_{lm}^*(\theta^\prime,\varphi^\prime)Y_{lm}(\theta,\varphi) </math>
 
gegeben ist. Eingesetzt ergibt sich für das elektrostatische Potential
 
:<math>\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}Y_{lm}(\theta,\varphi)\frac{1}{r^{l+1}} \int d^3r^\prime\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\rho(\mathbf r^\prime){r^\prime}^l Y_{lm}^*(\theta^\prime,\varphi^\prime) </math>.


Nun wird das '''sphärische Multipolmoment''' <math>q_{lm}</math> definiert als
Mithilfe des [[Kugelflächenfunktionen#Additionstheorem|Additionstheorems für Kugelflächenfunktionen]] lässt sich das Legendre-Polynom in <math>\cos(\theta - \theta')</math> als Summe über [[Kugelflächenfunktionen]] <math>Y_{lm}</math> schreiben und damit in <math>\theta</math> und <math>\theta'</math> entkoppeln:
:<math>P_l(\cos(\theta - \theta')) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y_{lm}^*(\theta',\varphi') Y_{lm}(\theta,\varphi) </math>


:<math>q_{lm}=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}^{l}\, Y_{lm}^{*}(\theta^{\prime},\varphi^{\prime})=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\,\int_{0}^{\infty}dr'\int_{0}^{\pi}d\theta'\int_{0}^{2\pi}d\varphi'\,\rho(r',\theta',\varphi')\,\sin(\theta')\,{r^{\prime}}^{l+2}\, Y_{lm}^{*}(\theta^{\prime},\varphi^{\prime})</math>.
Das Einsetzen in die Gleichung für <math>\phi</math> führt zu:
:<math>\phi = \frac{1}{4\pi} \sum_{l= 0}^\infty \sum_{m= -l}^l \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}} Y_{lm}(\theta,\varphi) \frac{1}{r^{l+1}} \int \mathrm d^3 \vec r' \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}} Y_{lm}^*(\theta',\varphi') f(\vec r') r'^l</math>


Damit ergibt sich für das elektrostatische Potential die sphärische Multipolentwicklung
Das sphärische Multipolmoment <math>q_{lm}</math> ist dann definiert als
:<math>q_{lm}=\int \mathrm d^3 \vec r' \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}} Y_{lm}^*(\theta',\varphi') f(\vec r') r'^l</math>.
Durch [[Koeffizientenvergleich]] sieht man, dass der Term <math>l = 0</math> zum Monopolmoment korrespondiert, der Term <math>l= 1</math> zum Dipolmoment et cetera.


:<math>\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{l=0}^\infty \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}} \sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\theta,\varphi)\frac{q_{lm}}{r^{l+1}}</math>.
=== Umrechnung ===
Die Umrechnung zwischen kartesischen und sphärischen Multipolmomenten erfolgt, indem die Kugelflächenfunktionen in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden. Für das Monopolmoment erhält man
:<math>q_{00} = q</math>
und für die drei Dipolmomente
:<math>q_{10} = p_3 \quad q_{1 \pm 1} = \frac{\mp p_1 + \mathrm i p_2}{\sqrt 2}</math>.
Für höhere Momente ist die Umrechnung nichttrivial, da in der sphärischen Multipolentwicklung <math>2l+1</math> Terme auftreten, der korrespondierende Tensor jedoch <math>3^l</math> Komponenten hat. Da die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e unabhängig vom Koordinatensystem sein muss, sieht man dadurch, dass nicht alle kartesischen Multipolmomente unabhängig voneinander sind. Unter anderem ist der Quadrupoltensor [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] und [[Spur (Mathematik)|spurfrei]], was die Freiheitsgrade einschränkt. Da die Anzahl der sphärischen Multipolmomente nur linear anwächst und die der kartesischen exponentiell, ist für höhere Momente die Angabe der kartesischen Multipolmomente nicht zweckdienlich.


== Anwendungen ==
=== Elektrostatik ===
=== Elektrostatik ===
Für die nullte und erste Ordnung der sphärischen Multipolmomente der Elektrostatik werden explizit angegeben (<math>p_{x,y,z}</math> bezeichnet die Komponenten des Dipolmoments, siehe dafür weiter oben, und <math>Q</math> die Gesamtladung der Ladungsverteilung):
In der [[Elektrostatik]] lässt sich die Poisson-Gleichung für das Potential aus der ersten [[Maxwell-Gleichung]] ableiten. In der [[Coulomb-Eichung]] lautet sie
 
:<math>\Delta \phi = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
:<math>q_{0,0}=\sqrt{\frac{4\pi}{1}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,\sqrt{\frac{1}{4\pi}}=\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})=Q</math>
mit dem [[Elektrisches Potential|elektrischen Potential]] <math>\phi</math>, der (elektrischen) [[Ladungsdichte]] <math>\rho</math> und der [[Elektrische Feldkonstante|elektrischen Feldkonstante]] <math>\varepsilon_0</math>. Die ersten drei Momente des elektrostatischen Potentials sind die [[Gesamtladung]] <math>Q</math>, das [[Elektrisches Dipolmoment|elektrische Dipolmoment]] <math>\vec p</math> und die [[Quadrupolmoment#Elektrischer Quadrupol|Quadruplmomente]] <math>Q_{ij}</math>.  
 
:<math>q_{1,1}=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\left(-\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\right)\sin{\theta'}\, e^{-i\varphi'}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sin{\theta'}\, e^{-i\varphi'} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\,(p_x\,-\,i\,p_y)</math>
 
:<math>q_{1,0}=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos{\theta'}=\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\cos{\theta'} = p_z</math>
 
:<math>q_{1,-1}=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin{\theta'}\, e^{i\varphi'}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sin{\theta'}\, e^{i\varphi'} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(p_x\,+\,i\,p_y)</math>
 
== Umrechnung ==
Man sieht, dass für das '''kartesische Monopolmoment''' gilt:
 
:<math>Q = q_{0,0} \ .</math>  
 
Für das '''kartesische Dipolmoment''' <math>\mathbf p</math> gilt dann jedoch
 
:<math>p_z = q_{1,0} \ ,</math>
 
:<math>p_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -q_{1,+1}+q_{1,-1} \right) \ ,</math>
 
:<math>p_y = \frac{1}{\sqrt{2}i} \left( q_{1,+1}+q_{1,-1} \right) \ .</math>
 
== Magnetostatik ==
Das [[Vektorpotential]]


:<math>\mathbf A(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{\mathbf j(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|} \, d^3r'</math>
=== Magnetostatik ===
In der [[Magnetostatik]] führen die Maxwell-Gleichungen in Coulomb-Eichung zu Poisson-Gleichungen für das [[Vektorpotential]] <math>\vec A</math>
:<math>\Delta \vec A = - \mu_0 \vec j</math>
mit der [[Elektrische Stromdichte|elektrischen Stromdichte]] <math>\vec j</math> und der [[Permeabilität des Vakuums]] <math>\mu_0</math>. Der magnetische Monopol verschwindet, da in einer räumlich lokalisierten Stromverteilung immer genauso viel hinein wie hinaus fließt. Der Term führender Ordnung ist daher das [[Magnetisches Dipolmoment|magnetische Dipolmoment]]. Um die Tensorstruktur im Dipolmoment zu vereinfachen, kann die Identität
:<math> r_i \int \mathrm d^3 \vec r' \, r'_i j_n(\vec r') = - \frac 12 \varepsilon_{lkn} r_l \int \mathrm d^3 \vec r' \, \varepsilon_{ijk} r'_i j_j</math>
verwendet werden. Damit wird
:<math>\vec A = \mu_0 \frac{\vec \mu \times r}{r^3} + \mathcal O(r^{-3})</math>
mit dem magnetischen Dipolmoment
:<math>\vec \mu = \frac 12 \int \mathrm d^3 \vec r' \, \vec r' \times \vec j(\vec r')</math>.


mit der [[magnetische Feldkonstante|magnetischen Feldkonstante]] <math>\mu_0</math> hat kein Monopolmoment.
=== Gravitation ===
In der Gravitation ergibt es sich, dass keine negativen Massen als Ladungen existieren. Dennoch können formal gravitative Multipole definiert werden. Beginnend mit der Poisson-Gleichung aus dem [[Newtonsches Gravitationsgesetz|Newtonschen Gravitationsgesetz]]
:<math>\Delta \Phi = - 4 \pi G \rho</math>
mit der [[Gravitationskonstante]] <math>G</math> und der [[Massendichte]] <math>\rho</math> ist der gravitative Monopol die Gesamtmasse <math>M</math> und der gravitative Dipol der [[Massenmittelpunkt]] <math>\vec r_S</math>.  


== Literatur ==
== Literatur ==

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2020, 18:14 Uhr

Die Multipolentwicklung ist in der Physik ein Verfahren zur Lösung der Poisson-Gleichung in drei Raumdimensionen, bei der die Lösungsfunktion als Laurent-Reihe entwickelt wird. Die Entwicklungskoeffizienten dieser Laurent-Reihe heißen Multipolmomente. Sie wird hauptsächlich in der Elektrostatik und der Magnetostatik verwendet, kann aber auf jedes andere Gebiet der Physik, in dem die Poisson-Gleichung auftritt, verallgemeinert werden.

Die Motivation der Multipolentwicklung liegt darin, das Verhalten von elektrischem Potential und magnetischem Vektorpotential (oder beliebigen anderen Potentialen wie dem Gravitationspotential) in großer Entfernung von Ladungen oder Strömen zu betrachten. Dazu wird angenommen, dass diese das Potential induzierenden Ladungen oder Ströme nur auf einen kleinen Bereich des Raumes beschränkt sind, und die Greensche Funktion des Laplace-Operators, der in der Poisson-Gleichung auftritt, als Taylor-Reihe entwickelt.

Grundlagen

Die Poisson-Gleichung lässt sich allgemein als

$ \Delta \phi ({\vec {r}})=-f({\vec {r}}) $

schreiben, wobei $ \Delta $ der Laplace-Operator, $ f $ eine Dichte und $ \phi $ ein Potential ist (das Minus ist Konvention). Die formale Lösung dieser Gleichung ist:

$ \phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'{\frac {f({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}} $

Ist $ f({\vec {r}}) $ in einem Volumen lokalisiert, kann für Orte $ {\vec {r}} $, die weit außerhalb dieses Volumens liegen, $ r\gg r' $, der Bruch in einer Taylor-Reihe in $ {\vec {r}}' $ um $ {\vec {r}}'=0 $ entwickelt werden:

$ {\frac {1}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\vec {r}}'\cdot {\vec {\nabla }}'\right)^{n}\left.{\frac {1}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\right|_{{\vec {r}}'=0} $

Dabei bedeutet $ {\vec {\nabla }}' $, dass der Nablaoperator $ {\vec {\nabla }} $ nur auf die gestrichenen Koordinaten $ {\vec {r}}' $ und nicht auf $ {\vec {r}} $ wirkt. Nach Bilden der Ableitungen wird diese an der Stelle $ {\vec {r}}'=0 $ ausgewertet. Durch Umformen erhält man:

$ {\frac {1}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left(-{\vec {r}}'\cdot {\vec {\nabla }}\right)^{n}{\frac {1}{r}} $

Aus dimensionalen Überlegungen ergibt sich, dass jeder Term in der Taylor-Reihe in $ {\vec {r}}' $ zu einem Term $ r^{-1} $ im Hauptteil der Laurent-Reihe in $ r $ führt. Mit anderen Worten, mit zunehmendem Abstand vom betrachteten Volumen, werden die höheren Ordnungen der Multipolmomente immer vernachlässigbarer, da sie immer stärker abfallen.

Die genaue Form der Entwicklung und der Multipole hängt davon ab, in welchem Koordinatensystem sie betrachtet werden.

Kartesische Multipolentwicklung

Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird die Entwicklung in kartesischen Koordinaten durchgeführt. Dort ist

$ {\vec {r}}'\cdot {\vec {\nabla }}=r'_{i}\partial _{i} $,

wobei Einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Dann muss bei einem Summanden $ n $-ter Ordnung ein Tensor $ n $-ter Stufe, nämlich $ \textstyle \prod _{k=1}^{n}\partial _{i_{k}}{\frac {1}{r}} $ berechnet werden:

$ {\begin{aligned}{\frac {1}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}&={\frac {1}{r}}-r'_{i}\partial _{i}{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{2}}r'_{i}r'_{j}\partial _{i}\partial _{j}{\frac {1}{r}}+{\mathcal {O}}(r'^{3})\\&={\frac {1}{r}}+r'_{i}{\frac {r_{i}}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}r'_{i}r'_{j}{\frac {3r_{i}r_{j}-r^{2}\delta _{ij}}{r^{5}}}+{\mathcal {O}}(r'^{3})\end{aligned}} $

Das Symbol $ \delta _{ij} $ repräsentiert das sogenannte Kronecker-Delta.

Die formale Lösung $ \phi ({\vec {r}}) $ der Poisson-Gleichung, ist unter Verwendung der Identität $ r'_{i}r'_{j}r^{2}\delta _{ij}=r'^{2}r_{i}r_{j}\delta _{ij} $ wie folgt darstellbar:

$ {\begin{aligned}\phi ({\vec {r}})&={\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}{\frac {1}{r}}\underbrace {\int f({\vec {r}}')\,\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'} _{\text{Monopol-}}+{\frac {r_{i}}{r^{3}}}\underbrace {\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\,r'_{i}f({\vec {r}}')} _{\text{Dipol-}}+{\frac {1}{2}}{\frac {r_{i}r_{j}}{r^{5}}}\underbrace {\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\,\left(3r'_{i}r'_{j}-r'^{2}\delta _{ij}\right)f({\vec {r}}')} _{\text{Quadrupolmoment}}+\dots {\bigg ]}\\&={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {1}{r}}q+{\frac {r_{i}}{r^{3}}}p_{i}+{\frac {1}{2}}{\frac {r_{i}r_{j}}{r^{5}}}Q_{ij}+\dots \right]\end{aligned}} $

Sphärische Multipolentwicklung

In der sphärischen Multipolentwicklung wird nicht in den einzelnen Koordinaten entwickelt, sondern im Abstand. Dazu wird der Term in Kugelkoordinaten umgeschrieben. Es ist

$ {\vec {r}}'\cdot {\vec {\nabla }}'=r'\partial _{r'} $

und

$ {\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}={\frac {1}{r}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {r'^{2}}{r^{2}}}-2{\frac {r'}{r}}\cos(\theta -\theta ')}}} $.

Da dies die erzeugende Funktion der Legendre-Polynome $ P_{l} $ ist, kann die Entwicklung damit geschlossen angegeben werden:

$ {\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(\cos(\theta -\theta ')){\frac {r'^{l}}{r^{l+1}}}={\frac {1}{r}}+\cos(\theta -\theta '){\frac {r'}{r^{2}}}+{\frac {1}{2}}(3\cos ^{2}(\theta -\theta ')-1){\frac {r'^{2}}{r^{3}}}+{\mathcal {O}}(r'^{3}) $

Mithilfe des Additionstheorems für Kugelflächenfunktionen lässt sich das Legendre-Polynom in $ \cos(\theta -\theta ') $ als Summe über Kugelflächenfunktionen $ Y_{lm} $ schreiben und damit in $ \theta $ und $ \theta ' $ entkoppeln:

$ P_{l}(\cos(\theta -\theta '))={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\theta ',\varphi ')Y_{lm}(\theta ,\varphi ) $

Das Einsetzen in die Gleichung für $ \phi $ führt zu:

$ \phi ={\frac {1}{4\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}Y_{lm}(\theta ,\varphi ){\frac {1}{r^{l+1}}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}Y_{lm}^{*}(\theta ',\varphi ')f({\vec {r}}')r'^{l} $

Das sphärische Multipolmoment $ q_{lm} $ ist dann definiert als

$ q_{lm}=\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}Y_{lm}^{*}(\theta ',\varphi ')f({\vec {r}}')r'^{l} $.

Durch Koeffizientenvergleich sieht man, dass der Term $ l=0 $ zum Monopolmoment korrespondiert, der Term $ l=1 $ zum Dipolmoment et cetera.

Umrechnung

Die Umrechnung zwischen kartesischen und sphärischen Multipolmomenten erfolgt, indem die Kugelflächenfunktionen in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden. Für das Monopolmoment erhält man

$ q_{00}=q $

und für die drei Dipolmomente

$ q_{10}=p_{3}\quad q_{1\pm 1}={\frac {\mp p_{1}+\mathrm {i} p_{2}}{\sqrt {2}}} $.

Für höhere Momente ist die Umrechnung nichttrivial, da in der sphärischen Multipolentwicklung $ 2l+1 $ Terme auftreten, der korrespondierende Tensor jedoch $ 3^{l} $ Komponenten hat. Da die Anzahl der Freiheitsgrade unabhängig vom Koordinatensystem sein muss, sieht man dadurch, dass nicht alle kartesischen Multipolmomente unabhängig voneinander sind. Unter anderem ist der Quadrupoltensor symmetrisch und spurfrei, was die Freiheitsgrade einschränkt. Da die Anzahl der sphärischen Multipolmomente nur linear anwächst und die der kartesischen exponentiell, ist für höhere Momente die Angabe der kartesischen Multipolmomente nicht zweckdienlich.

Anwendungen

Elektrostatik

In der Elektrostatik lässt sich die Poisson-Gleichung für das Potential aus der ersten Maxwell-Gleichung ableiten. In der Coulomb-Eichung lautet sie

$ \Delta \phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}} $

mit dem elektrischen Potential $ \phi $, der (elektrischen) Ladungsdichte $ \rho $ und der elektrischen Feldkonstante $ \varepsilon _{0} $. Die ersten drei Momente des elektrostatischen Potentials sind die Gesamtladung $ Q $, das elektrische Dipolmoment $ {\vec {p}} $ und die Quadruplmomente $ Q_{ij} $.

Magnetostatik

In der Magnetostatik führen die Maxwell-Gleichungen in Coulomb-Eichung zu Poisson-Gleichungen für das Vektorpotential $ {\vec {A}} $

$ \Delta {\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}} $

mit der elektrischen Stromdichte $ {\vec {j}} $ und der Permeabilität des Vakuums $ \mu _{0} $. Der magnetische Monopol verschwindet, da in einer räumlich lokalisierten Stromverteilung immer genauso viel hinein wie hinaus fließt. Der Term führender Ordnung ist daher das magnetische Dipolmoment. Um die Tensorstruktur im Dipolmoment zu vereinfachen, kann die Identität

$ r_{i}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\,r'_{i}j_{n}({\vec {r}}')=-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{lkn}r_{l}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\,\varepsilon _{ijk}r'_{i}j_{j} $

verwendet werden. Damit wird

$ {\vec {A}}=\mu _{0}{\frac {{\vec {\mu }}\times r}{r^{3}}}+{\mathcal {O}}(r^{-3}) $

mit dem magnetischen Dipolmoment

$ {\vec {\mu }}={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\,{\vec {r}}'\times {\vec {j}}({\vec {r}}') $.

Gravitation

In der Gravitation ergibt es sich, dass keine negativen Massen als Ladungen existieren. Dennoch können formal gravitative Multipole definiert werden. Beginnend mit der Poisson-Gleichung aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz

$ \Delta \Phi =-4\pi G\rho $

mit der Gravitationskonstante $ G $ und der Massendichte $ \rho $ ist der gravitative Monopol die Gesamtmasse $ M $ und der gravitative Dipol der Massenmittelpunkt $ {\vec {r}}_{S} $.

Literatur

  • T. Fließbach: Elektrodynamik. Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-2021-0.
  • J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter Verlag, ISBN 3-11-018970-4.