Die Konvektions-Diffusions-Gleichung[1] ist eine partielle Differentialgleichung aus dem Gebiet der statistischen Physik und der Transportphänomene. Sie beschreibt den Transport von Teilchen, Energie, Temperatur usw. durch eine Kombination von Diffusion und Fluss (Konvektion/Advektion).
Beschreibt eine Konvektions-Diffusions-Gleichung den Transport von Wahrscheinlichkeitsdichte, so wird sie üblicherweise als Fokker-Planck-Gleichung bezeichnet - bezieht sich die Wahrscheinlichkeitsdichte auf Teilchenpositionen, so spricht man von der Smoluchowski-Gleichung. Für den Transport von Temperatur ist sie eng mit der Wärmeleitungsgleichung verwandt. Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann als Erweiterung der Diffusionsgleichung bzw. der Reaktions-Diffusions-Gleichung aufgefasst werden.
Die allgemeine Form der Konvektions-Diffusions-Gleichung lautet:
Hierbei ist:
In vielen Fällen kann angenommen werden, dass die Diffusion ein isotroper Effekt ist, also unabhängig von der Richtung. Ohne den Reaktionsterm und mit konstantem Geschwindigkeitsfeld ergibt sich dann die folgende vereinfachte Form:
Hier ist $ {\vec {\nabla }}^{2} $ der Laplace-Operator.
Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung hergeleitet werden. Diese beschreibt die Erhaltung der Größe $ c $ (also etwa der Teilchenzahl) in einem Volumen und lautet:
Dabei ist $ {\vec {j}} $ eine Stromdichte, die den Fluss der Größe $ c $ (der Teilchen) durch Grenzflächen eines kleinen Volumens beschreibt. Die Menge an $ c $ ändert sich also nur durch zu- oder Abfluss durch die Oberfläche des betrachteten Volumens. Der Fluss $ {\vec {j}} $ kann nun durch zwei Terme beschrieben werden:
Die Summe $ {\vec {j}}={\vec {j}}_{\text{diffusion}}+{\vec {j}}_{\text{konvektion}} $ dieser Beiträge ergibt nach Einsetzen in die Kontinuitätsgleichung die Diffusions-Konvektions-Gleichung.