Helmholtz-Gleichung

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Helmholtz-Gleichung

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Die Helmholtz-Gleichung (nach Hermann von Helmholtz) ist eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \varphi= \lambda \cdot \varphi

in einem Gebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega mit geeigneten Randbedingungen auf dem Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \Omega . Dabei ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.

der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten.

Die Helmholtz-Gleichung ist dementsprechend eine partielle Differentialgleichung (PDGL) zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL. Sie ergibt sich auch z. B. aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen und Annahme harmonischer Zeitabhängigkeit.

Setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda=0 , so erhält man die Laplace-Gleichung.

Beispiel: Partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen mit Strömen und Ladungen). Aus diesen folgen in Gaußschen Einheiten mit der Lorenz-Eichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t}=0

die inhomogenen Wellengleichungen für das elektrische Skalarpotential

$ \Phi $ sowie für das magnetische Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\Phi(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi(\vec{r},t)}{\partial t^2}=-4\pi\varrho(\vec{r},t)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta A_i(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_i(\vec{r},t)}{\partial t^2}=-\frac{4\pi}{c} j_i(\vec{r},t)

(hier für die einzelnen Komponenten mit: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A}=\sum_{i=1}^3 A_i\hat{e}_i )

Exemplarisch wird nun die Lösung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi durchgeführt, die Herleitung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A} geht analog.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi = \Phi_\mathrm{hom.} + \Phi_\mathrm{part.}

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung.

Um die Wellengleichung auf die Helmholtz-Gleichung zurückzuführen betrachten wir die Fourier-Transformation von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varrho bezüglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varrho(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}

Einsetzen in die Wellengleichung liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\int d\omega\,\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial^2 t}\right)\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\int d\omega\,\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}

Beide Integranden müssen gleich sein, da sich die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d\omega -Integration über die gleichen Bereiche erstreckt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=-4\pi\varrho_\omega(\vec{r})

Für die homogene Wellengleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\varrho(\vec{r},t)=0\right) erkennen wir mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=0 die Helmholtz-Gleichung wieder.

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\varrho(\vec{r},t) \neq 0\right) kann eine Greensche Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(\vec{r},\vec{r}') verwendet werden, welche die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)G(\vec{r},\vec{r}')=-4\pi\delta(\vec{r}-\vec{r}')

erfüllt.

Diese lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(\vec{r},\vec{r}')=\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

Physikalisch beschreibt diese Funktion eine Kugelwelle.

Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_\omega(\vec{r})=\int d^3r'\,\varrho_\omega(\vec{r}')G(\vec{r},\vec{r}')=\int d^3r'\,\varrho_\omega(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fourierdarstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec{r},t) ein und erhalten

$ \Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\int d^{3}r'\,\varrho _{\omega }({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm i\omega |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}e^{-i\omega t}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\int d^{3}r'\,{\frac {\varrho _{\omega }({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\exp \left(-i\omega (\mp |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c+t)\right) $

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t':= t \mp |\vec{r}-\vec{r}'|/c folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \frac{\varrho_\omega(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\exp(-i\omega t') =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d^3r'\,\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}')e^{-i\omega t'}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\Phi(\vec{r},t)=\int d^3r'\,\frac{\varrho(\vec{r}',t')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_i folgt analog:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_i(\vec{r},t)=\frac{1}{c}\int d^3r'\,\frac{j_i(\vec{r}',t')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{1}{c}\int d^3r'\,\frac{\vec{j}(\vec{r}',t')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

Die physikalische Bedeutung ist, dass das zur Zeit t am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r} beobachtete Potential von Ladungen bzw. Strömen zur Zeit t' am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}' verursacht wurde.

Diskussion: Retardierte und avancierte Lösung

Noch steht das Vorzeichen im Argument Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c nicht fest. Physikalisch scheint aber plausibel, dass die zeitliche Änderung einer Ladungsverteilung bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}' erst zu einem späteren Zeitpunkt bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r} beobachtet werden kann, da sich elektromagnetische Wellen mit der (konstanten) Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten. Daher wählen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Lösung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec{r},t)_\mathrm{ret.} = \int d^3r'\,\frac{\varrho(\vec{r}',t-|\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

Man nennt das Potential bei Wahl des Minuszeichens auch retardiertes Potential. Wählt man das Pluszeichen, so spricht man vom avancierten Potential.

Siehe auch

Weblinks

Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/physik_137/index.php?title=Helmholtz-Gleichung&oldid=23794“