Split-Operator-Methode

Die Split-Operator-Methode (SOP) ist ein numerisches Verfahren mit dem die zeitabhängige Schrödingergleichung gelöst werden kann. Bei der Methode wird der Hamiltonoperator $ {\hat {H}} $ in einen kinetischen Teil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{T} (Impulsteil) und in einen Potentialteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{V} gespalten und einzeln angewendet. Dabei wird von der schnellen Fourier-Transformation (FFT) Gebrauch gemacht, um zwischen Impulsraum und Ortsraum zu unterscheiden.

Die Schrödingergleichung

Die Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x) auf einem äquidistanten Gitter dargestellt (Ortsraum)

Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}(t)\psi(x,t),

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \hat{H}(t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(t) der Hamiltonoperator ist.

Die Wellenfunktion $ \psi (x,t) $ wird im Ortsraum auf einem äquidistanten Gitter dargestellt. Als Startwerte werden die Werte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x,t_0) zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_0 an den Gitterpunkten vorgegeben. Durch das Verfahren wird die Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t=t_0+\Delta t berechnet.

Die Wirkung des Hamiltonoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \hat{H}(t)=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+\hat{V}(t) auf eine Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}\psi=\hat{T}\psi+\hat{V}\psi wird mit der schnellen Fourier-Transformation berechnet. Dazu wird neben dem Gitter im Ortsraum auch ein Gitter im Impulsraum benötigt. Die Auflösung im Impulsraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta k=\tfrac{2\pi}{L} ist durch die Länge $ L $ des Gitters im Ortsraum festgelegt. Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta k\Delta x =\tfrac{2\pi}{N} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N die Anzahl der Gitterpunkte ist.

Anwendung der diskreten Fourier-Transformation

Der Potentialoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{V} besitzt im Ortsraum eine diagonale Matrixdarstellung und wirkt daher lokal auf jeden Gitterpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_i :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\hat{V}(t)\psi\right)(x_i)=V(x_i,t)\cdot\psi(x_i).

Genauso wird der kinetische Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{T} mit seiner diagonalen Darstellung im Impulsraum berechnet. Für jeden Gitterpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_i gilt:

$ \left({\hat {T}}{\tilde {\psi }}\right)(k_{i}))={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{k_{i}}^{2}{\tilde {\psi }}(k_{i}). $

Dabei ist die diskrete Darstellung der Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{\psi}(k_i) im Impulsraum durch die diskrete Fourier-Transformation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{Z}^\dagger gegeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{\psi}(k_i)=\langle k_i|\psi\rangle=\sum_{x_j}\langle k_i|x_j\rangle\langle x_j|\psi\rangle =\frac{\Delta x}{\sqrt{2\pi}}\sum_{x_j}e^{-ik_ix_j}\psi(x_j)

In Vektorschreibweise lautet diese Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\tilde{\psi}}=c^{-1}\hat{Z}^\dagger\vec{\psi}

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\tilde{\psi}}:=(\tilde{\psi}(k_0),\dotsm ,\tilde{\psi}(k_{N-1}))^T

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\psi} := (\psi(x_0),\dotsm ,\psi(x_{N-1}))^T

$ Z_{ij}:=N^{-{\frac {1}{2}}}e^{+ik_{i}x_{j}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c:=\tfrac{\sqrt{2\pi N}}{L}.

Entsprechend erhält man für die Rücktransformation in den Ortsraum

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x_j)=\frac{\Delta k}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k_i}e^{+ik_ix_j}\tilde{\psi}(k_i)

beziehungsweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\psi}=c\hat{Z}\vec{\tilde{\psi}}

mit den Gitterschrittweiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta x=\tfrac{L}{N} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta k=\tfrac{2\pi}{L} . Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L die Länge des Gitters im Ortsraum und $ N $ die Zahl der Punkte im Orts- und Impulsraum. Die Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c wird nur benötigt, wenn die richtige Normierung der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{\psi} gewünscht wird. Die Fourier-Transformation erhält die Norm der Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\tilde{\psi}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\psi} .

Split-Operator-Methode

Die Berechnung der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e -Funktion eines Operators wird in der Diagonaldarstellung des Operators besonders einfach. Die Split-Operator-Methode verwendet eine Zerlegung des Hamiltonoperators in die Operatoren für kinetische Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{T} und für potentielle Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{V} , welche im Impuls- bzw. Ortsraum Diagonalform annehmen.

Der durch die Nicht-Vertauschbarkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{T} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{V} entstehende Fehler kann durch die symmetrische Aufspaltung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t}\approx e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{V}\Delta t}\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}

auf Terme der Größenordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\Delta t}^3 reduziert werden: Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{X}:= -\tfrac{i}{\hbar}\hat{T}\Delta t und $ {\hat {Y}}:=-{\tfrac {i}{\hbar }}{\hat {V}}\Delta t $ erhält man für die rechte Seite

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \exp\left(\frac{\hat{X}}{2}\right)\exp\left(\hat{Y}\right)\exp\left(\frac{\hat{X}}{2}\right)=\exp\left(\frac{\hat{X}}{2}+\hat{Y}+\frac{\hat{X}}{2}+\underbrace{\frac{1}{2}\left[\frac{\hat{X}}{2},\hat{Y}\right]+\frac{1}{2}\left[\hat{Y},\frac{\hat{X}}{2}\right]}_{0}+\frac{1}{12}\left[\left[\frac{\hat{X}}{2},\hat{Y}\right],\hat{X}+2\hat{Y}\right]+\dotsm\right).

Der führende Fehlerterm ist somit proportional zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\Delta t}^3\left[\left[\hat{T},\hat{V}\right],\hat{T}+2\hat{V}\right] .

Diagonalform

Eine Koordinatentransformation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{Z}^\dagger vom Orts- in den Impulsraum ermöglicht eine einfache Berechnung von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\psi=\hat{Z}e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\hat{Z}^\dagger\psi .

Mit der diagonalen Darstellung des Operators der kinetischen Energie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{T}=\hat{Z}^\dagger\hat{T}\hat{Z}=\begin{pmatrix} \frac{\hbar^2}{2m}{k_0}^2 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \frac{\hbar^2}{2m}k^2_{N-1}\\ \end{pmatrix}

erhält man

$ e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\hat {T}}{2}}\Delta t}={\begin{pmatrix}\ddots &0&\cdots &0\\0&e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{2}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}k_{i}^{2}}&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\ddots \\\end{pmatrix}}. $

Die Koordinatentransformation erfolgt auf dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N -Punkt-Gitter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0, \dotsm, x_{N-1} mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{\psi}(k_{i})=N^{-\frac{1}{2}}\sum_{j=0}^{N-1}\psi(x_j)e^{-ik_ix_j}     für   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i=0, \dotsm, N-1

oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\tilde{\psi}}=\hat{Z}^\dagger\vec{\psi} .

Numerischer Algorithmus

Durch Zusammenfassen der aufeinanderfolgenden Terme $ {\hat {Z}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\hat {T}}{2}}\Delta t}{\hat {Z}}^{\dagger } $ zweier Zeitschritte lässt sich die Zahl der Fourier-Transformationen, d. h. der numerische Aufwand, reduzieren: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{Z}^\dagger\hat{Z}=1 , und die beiden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e -Funktionen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\hat{T}}{2} ergeben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-\frac{i}{\hbar} \hat{T} \Delta t } .

Die Wellenfunktion nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Zeitschritten erhält man also durch:

• Fourier-Transformation von $ \psi _{0} $
• Multiplikation mit den Diagonalelementen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\Delta t}{2}\frac{\hbar^2}{2m}k^2_i} (halber Zeitschritt)
• Rücktransformation
• Multiplikation mit den Diagonalelementen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-\frac{i}{\hbar}V_i\Delta t}
• Fourier-Transformation
• Multiplikation mit den Diagonalelementen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta t\frac{\hbar^2}{2m}k^2_i} (ganzer Zeitschritt)
• usw., bis beim letzten Schritt noch einmal eine Multiplikation mit halben Zeitschritt wie in der zweiten Zeile notwendig wird.

Literatur

• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Muehlig: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch Harri GmbH, 2008.
• T. Fließbach: Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2008, ISBN 978-3-8274-2020-6.
• Herbert Sager: Fourier-Transformation. vdf Hochschulverlag, Zürich 2012, ISBN 978-3-7281-3393-9.
• A. Askar, A. S. Cakmak: Explicit integration method for the time‐dependent Schrodinger equation for collision problems. In: Journal of Chemical Physics. Band 68, Nr. 6, 1978, S. 2794–2798, doi:10.1063/1.436072. 
• J. B. Delos: Theory of Electronic Transitions in Slow Atomic Collisions. In: Physical Review. Band 176, Nr. 1, 1968, S. 141–150, doi:10.1103/PhysRev.176.141. 
• Juha Javanainen, Janne Ruostekoski: Symbolic calculation in development of algorithms: split-step methods for the Gross–Pitaevskii equation. In: Journal of Physics A. Band 39, 2006, S. L179–L184, doi:10.1088/0305-4470/39/12/L0. 
• Michael Hintenender: Propagation von Wellenpaketen. In: MPQ-Berichte. MPQ163. Garching 1992 (online).