Hamilton-Jacobi-Formalismus

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation

(q,p)\rightarrow (q',p')

zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:

{\tilde {H}}(q',p',t)=0

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten $$ q' $$ , als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten $$ p' $$ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}}

Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden $$ S $$ . Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:

{\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion $$ S(q,p',t) $$ gewählt, die von den alten Ortskoordinaten $$ q $$ und den neuen (konstanten) Impulsen $$ p' $$ abhängt, so dass

p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}.

Eingesetzt in ${\tilde {H}}=0$ ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $$ S $$ :

H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen $q_{k}$ und $$ t $$ für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion $$ S $$ (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral

Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional

S[q](t)=\int _{0}^{t}L(s,q(s),{\dot {q}}(s))ds

mit der Lagrange-Funktion $$ L $$ . Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.

{\frac {dS}{dt}}=L

.

Sieht man $$ S $$ jedoch als Funktion der Koordinaten $$ q $$ und $$ t $$ an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential

{\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\frac {dq_{k}}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\dot {q_{k}}}

.

Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen

{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}=\int _{0}^{t}{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}ds=\int _{0}^{t}{\frac {d}{ds}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}ds={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}=p_{k}

mit den kanonischen Impulsen $p_{k}$ . Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von $$ S $$ erhält man somit

{\frac {dS}{dt}}=L={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum p_{k}{\dot {q_{k}}}

,

woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.

Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

Für konservative Systeme (d. h. $$ H $$ nicht explizit zeitabhängig: $H(q,p)\neq H(t)$ ) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p') konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H(q,p) \Rightarrow \tilde{H}(p')

Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot p' = -\frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial q'} = 0 \Leftrightarrow p' = \mathrm{const},

die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q' = \frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial p'} = C \Leftrightarrow q' = Ct + b mit

C,b=\mathrm {const} .

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p') muss gelten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q},

q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p') für konservative Systeme:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H(q,p) \Rightarrow H\left(q,\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}\right) = \tilde {H}(p').

Zur Veranschaulichung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \, S(q,p') & = \frac{\partial S}{\partial q} \dot q + \frac{\partial S}{\partial p'} \dot p'\\ & = p \dot q + q' \dot p'\\ & = p\dot q \quad \quad \quad \mathrm{wegen} \; \dot p' = 0. \end{align}

Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = T-V , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T die kinetische Energie ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(q) das Potential):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p') = \frac {\partial L}{\partial \dot q}\dot q = \frac {\partial T}{\partial \dot q}\dot q = 2T .

Die zeitliche Integration liefert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S = \int_{t_1}^{t_2} 2T\ \mathrm{d}t = W,

also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p') mit dem Wirkungsintegral identisch.

Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U = U(q) ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H(p,q) = \frac {p^2}{2m} + U(q),

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {1}{2m} \left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + U(q) = \tilde H = E.

Beim eindimensionalen Oszillator ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde H die einzige Konstante der Bewegung. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p' ebenfalls konstant sein muss, setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p' = \tilde H = E , was für alle konservativen Systeme möglich ist.

\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+2mU(q)=2mp'

Durch Integrieren folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p') = \sqrt {2m} \int_{q_0}^q \sqrt {(p' - U(\tilde{q}))}\,\mathrm{d}\tilde q,

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = \frac{\partial S(q,p')}{\partial p'}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = \frac {m}{\sqrt{2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d\tilde q}{\sqrt {p' - U(\tilde q)}}.

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q' = \frac {\partial \tilde H(p')}{\partial p'} = \frac {\partial E}{\partial p'} = \frac {\partial p'}{\partial p'} = 1,

\Rightarrow q'=t-{t_{0}}.

Um die Bewegung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(t) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q(t) darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(t) = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q} = \sqrt {2m(p'-U(q))},

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d \tilde q}{\sqrt {E - U(\tilde q)}}.

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U(q) = \frac {1}{2}aq^2

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(t) = \sqrt {2m \left( E-\frac {1}{2}aq^2 \right)},

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d \tilde q}{\sqrt {E - \frac {1}{2}a \tilde {q}^2}}.

Somit (für den Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q_0 = 0 )

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t - {t_0} = \sqrt {\frac {m}{a}}\arcsin \sqrt {\frac {a}{2E}}q

und letztlich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q(t) = \sqrt{\frac {2E}{a}}\sin \sqrt{\frac {a}{m}}(t-{t_0)},

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(t) = \sqrt {2mE}\cos \sqrt {\frac {a}{m}}(t-{t_0}).

Literatur

Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.

Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.