Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.
Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei $ a>0 $ hyperbolisch, bei $ a<0 $ elliptisch und bei $ a=0 $ parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:
Dabei ist $ \Delta {\vec {F}} $ der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also $ \Delta {\vec {F}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial x^{2}}} $. Die Ableitung nach $ x $ steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar $ F $ stehen.
In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
Der Vorfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.
Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu
und
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c^2=\frac {1}{\mu_0 \, \varepsilon_0} (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.
Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist $ \sigma =0 $ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:
Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U und dem Strom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I in einer Doppelleitung mit Induktivität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L und Kapazität $ C $ (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):
bzw.
wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a= L\,C breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {1}{\sqrt {(L \, C)}} aus.
Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste ($ \sigma =0 $ wie im freien Raum).
