Fraktionelle Koordinaten

In der Kristallographie bilden fraktionelle Koordinaten ein Koordinatensystem, bei dem die Kanten einer Einheitszelle als Basisvektoren verwendet werden, um die Position von Atomen darzustellen. Eine Einheitszelle ist ein Parallelepiped, welches das Kristallgitter erzeugt und über die Längen der drei Kanten a, b, c und die Winkel α, β, γ zwischen je zwei Kanten (siehe Bild) beschrieben werden kann. ^[1]

Definition der Einheitszelle über die Länge der Kanten a, b, c und die Winkel α, β, γ^[2]

Umwandlung von fraktionellen in kartesische Koordinaten

Für die Umwandlung von fraktionellen in kartesische Koordinaten, nimmt man an, dass das kartesische Koordinatensystem bezüglich der Einheitszelle, bzw. die Einheitszelle bezüglich des kartesischen Koordinatensystems wie folgt positioniert ist: Die Koordinatenursprünge stimmen überein. Der Vektor $ {\vec {a}} $ ist parallel zur x-Achse angeordnet, der Vektor $ {\vec {b}} $ liegt in der x-y-Ebene. Die Lage des Vektors $ {\vec {c}} $ ergibt sich dann aus den beiden Winkeln α und β, vgl. Bild. Bezeichnen $ (x',y',z') $ die fraktionellen Koordinaten eines Punkts, so berechnen sich die kartesischen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x,y,z) wie folgt:^[3][4]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\cos(\gamma) & c\cos(\beta) \\ 0 & b\sin(\gamma) & c\frac {\cos(\alpha)-\cos(\beta)\cos(\gamma)} {\sin(\gamma)} \\ 0 & 0 & c\frac {\sqrt{1-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)}} {\sin(\gamma)} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ \end{pmatrix}

Dabei lassen sich die Elemente der Matrix wie folgt herleiten:

Die erste Spalte entspricht der Definition des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a . Da dieser parallel zur x-Achse ausgerichtet ist, entspricht seine Länge dem Werte des ersten Elements, die anderen beiden sind Null.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a= \begin{pmatrix} |\vec a| \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}

Für die zweite Spalte ergeben sich über das Skalarprodukt zwischen den Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a und $ {\vec {b}} $:

$ {\begin{aligned}|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})&={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\\&=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\\&=a_{1}|{\vec {b}}|\cos(\gamma )\\\end{aligned}} $

und damit:

$ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}|{\vec {b}}|\cos(\gamma )\\|{\vec {b}}|\sin(\gamma )\\0\\\end{pmatrix}} $

Die ersten beiden Elemente der dritten Spalte ergeben sich über die Skalarprodukte zwischen den Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a und $ {\vec {c}} $ beziehungsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec b und $ {\vec {c}} $, das dritte über die Länge des Vektors mittels Pythagoras:

$ c_{1}=|{\vec {c}}|\cos(\beta ) $

$ c_{2}=|{\vec {c}}|{\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\gamma )}{\sin(\gamma )}} $

$ c_{3}=|{\vec {c}}|{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )}}{\sin(\gamma )}} $

und damit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec c= \begin{pmatrix} |\vec c| \cos(\beta)\\ |\vec c| \frac{\cos(\alpha)-\cos(\beta)\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)} \\ |\vec c| \frac{\sqrt{1-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)}}{\sin(\gamma)} \\ \end{pmatrix}

Einzelnachweise