Version vom 16. Mai 2016, 10:41 Uhr von imported>부고
Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.
Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung:
- $ (1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,y}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\left(\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0 $
Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall $ [-1,1] $ nur dann, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell\,
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m\,
ganzzahlig sind mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0 \le m \le \ell
.
Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.
Definition
Die zugeordneten Legendrepolynome werden als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x)
bezeichnet.
Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen Legendrepolynomen definieren:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_\ell(x)
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell(x)
das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell
-te Legendrepolynom ist
- $ P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{\ell }}{\mathrm {d} x^{\ell }}}\left(x^{2}-1\right)^{\ell } $.
Daraus ergibt sich
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \, \ell!} \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^{\ell+m}}{\mathrm{d}x^{\ell+m}} \left(x^2-1\right)^\ell.
Zusammenhang mit Legendrepolynomen
Die verallgemeinerte Legendregleichung geht für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m = 0
in die Legendregleichung über, sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(0)}(x) = P_{\ell}(x)
gilt.
Orthogonalität
Für die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall I = [-1,1] zwei Orthogonalitätsrelationen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_k^{(m)}(x) \, \mathrm{d}x = \frac{2}{2\,\ell+1} \, \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \, \delta_{\ell k}.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_\ell^{(n)}(x) \cdot \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{(\ell+m)!}{m(\ell-m)!} \, \delta_{mn}.
Das zweite Integral ist allerdings nur definiert, wenn entweder m oder n ungleich 0 ist.
Zusammenhang mit der Einheitskugel
Am wichtigsten ist der Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x = \cos \vartheta
. Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann
- $ {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \vartheta }}+\left[\ell \,(\ell +1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}\right]y=0. $
Da nach der Substitutionsregel
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_0^\pi f(\cos \vartheta) \sin \vartheta \, \mathrm{d} \vartheta = \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x
gilt, übertragen sich obige Orthogonalitätsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel.
Über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta)
werden die sog. Kugelflächenfunktionen definiert als
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Y_\ell^{(m)}(\varphi,\vartheta) = \sqrt{\frac{2\,\ell + 1}{4\,\pi} \, \frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} \, P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \, \mathrm{e}^{i\,m\,\varphi},
welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.
Die ersten zugeordneten Legendrepolynome
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:
Die ersten zugeordneten Legendrepolynome
Für die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\ell-m) \, P_\ell^{(m)}(x) = x\,(2\,\ell-1) \, P_{\ell-1}^{(m)}(x) - (\ell+m-1)\,P_{\ell-2}^{(m)}(x).
Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_0^{(0)}(x) = 1\!\,
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_1^{(0)}(x) = x\!\,
- $ P_{1}^{(1)}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}} $
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(0)}(x) = \frac{1}{2}\,(3\,x^2 - 1)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(1)}(x) = -3\,x\sqrt{1-x^2}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(2)}(x) = 3\,(1-x^2)
Und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos\vartheta
als Argument
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_0^{(0)}(\cos\vartheta) = 1
- $ P_{1}^{(0)}(\cos \vartheta )=\cos \vartheta $
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_1^{(1)}(\cos\vartheta) = -\sin\vartheta
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(0)}(\cos\vartheta) = \frac{1}{2}\,(3\,\cos^2\vartheta - 1)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(1)}(\cos\vartheta) = -3\,\sin\vartheta\,\cos\vartheta
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(2)}(\cos\vartheta) = 3\,\sin^2\vartheta
Zugeordnete Legendrefunktionen 2. Art
Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x)
nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendrefunktionen 2. Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_\ell^{(m)}(x)
stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt $ Q_{\ell }^{(0)}=Q_{\ell } $ mit den Legendrefunktionen 2. Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_\ell(x)
.
Weblinks
Literatur
- Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, 2 Bde., Springer Verlag, 1968
- Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (Freie Online-Version)