Lennard-Jones-Potential

Das Lennard-Jones-Potential $$ V $$ (nach John Lennard-Jones) beschreibt in der physikalischen Chemie und in der Atom- und Molekülphysik die Bindungsenergie in der Einheit Joule. Es nähert die Wechselwirkung zwischen ungeladenen, nicht chemisch aneinander gebundenen Atomen an.

Das Lennard-Jones-(12,6)-Potential

$ V $

, aufgetragen über dem Teilchenabstand

$ r $

.
Abstoßendes Potential zählt positiv, anziehendes negativ.

Beschreibung

Für große Entfernungen zwischen zwei Teilchen überwiegen die anziehenden Kräfte; bei ihnen handelt es sich vor allem um Van-der-Waals-Kräfte, aber auch um permanente Dipol-Dipol-Wechselwirkungen.

Nähert man die jeweiligen Teilchen an, so überwiegt unterhalb eines bestimmten Abstandes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma (s. Abbildung) der abstoßende Anteil, und die potentielle Energie steigt schnell an. Die abstoßenden Kräfte kommen dadurch zustande, dass die Elektronen bei Annäherung der Atomhüllen teilweise auf energetisch höhere Orbitale ausweichen müssen, weil sie nach dem Pauli-Prinzip nicht zu mehreren den gleichen Zustand besetzen können.

Der anziehende Anteil des Lennard-Jones-Potentials wird abgeleitet aus der London-Formel (Näherung):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V = - \frac{C}{r^6} ,

wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C ein relativ komplizierter Term ist, der stoffspezifische Konstanten wie die Ionisierungsenergie für beide betrachteten Teilchen enthält, und
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r der Abstand zwischen den Teilchen.

Der abstoßende Anteil wird durch eine ähnliche Gleichung beschrieben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V = \frac {C^n} {r^n}

Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n > 6 .

Im Lennard-Jones-(n,6)-Potential werden die beiden Anteile zusammengefasst:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(r) = \frac{C^n}{r^n} - \frac{C}{r^6}

Aus praktischen Gründen wird oft $$ n=12 $$ gewählt, weil dann bei der Berechnung der Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/r^6 nur quadriert werden muss. Es entsteht das Lennard-Jones-(12,6)-Potential, das typischerweise in einer der beiden folgenden Formen geschrieben wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{alignat}{2} V(r) & = 4 \varepsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^6 \right] && = 4 \varepsilon \cdot \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{6} \cdot \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^6 - 1 \right]\\ & = \varepsilon \left[ \left( \frac{r_m} {r} \right)^{12} - 2 \left( \frac{r_m} {r} \right)^6 \right] && = \varepsilon \cdot \left( \frac{r_m} {r} \right)^{6} \cdot \left[ \left( \frac{r_m} {r} \right)^6 - 2 \right] \end{alignat}

Hierbei ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon > 0 die „Tiefe“ der Potentialmulde in Einheiten Joule, die durch die beiden Einflüsse entsteht.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma der Teilchenabstand, an dem das Lennard-Jones-Potential eine Nullstelle besitzt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(r = \sigma) = 0 .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_m = \sqrt[6]{2} \cdot \sigma \approx 1,12 \cdot \sigma der Teilchenabstand, in dem das Lennard-Jones-Potential sein Minimum erreicht. In diesem Abstand sind anziehender und abstoßender Anteil des Potentials gleich groß und heben sich auf, so dass in diesem Abstand keine Kraft zwischen den Teilchen wirkt.

Das Lennard-Jones-Potential ist ein Spezialfall des Mie-Potentials

V={\frac {C_{n}}{r^{n}}}-{\frac {C_{m}}{r^{m}}}

das 1903 von Gustav Mie eingeführt wurde.^[1]

Sonstiges

Eine weitere Form des Lennard-Jones-Potentials ist das Lennard-Jones-(exp,6)-Potential, bei dem der abstoßende Term exponentiell ist.^[2] Es ist ein Spezialfall des Buckingham-Potentials:^[3]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(r) = \frac{\varepsilon}{1 - 6/\alpha} \cdot \left\langle \frac6{\alpha} \cdot \exp \left[ \alpha \left( 1 - \frac{r}{\sigma} \right) \right] - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^6 \right\rangle

mit

der „Steilheit“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha der abstoßenden Kraft.

Einzelnachweise

↑ Mie-Potential (Online)
↑ Edward A. Mason: Transport Properties of Gases Obeying a Modified Buckingham (Exp‐Six) Potential. In: Journal of Chemical Physics. Nr. 22, 1954, S. 169–186, doi:10.1063/1.1740026.
↑ R. A. Buckingham: The Classical Equation of State of Gaseous Helium, Neon and Argon. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Nr. 168, 1938, S. 264–283, doi:10.1098/rspa.1938.0173.

[1] Mie-Potential (Online)

[2] Edward A. Mason: Transport Properties of Gases Obeying a Modified Buckingham (Exp‐Six) Potential. In: Journal of Chemical Physics. Nr. 22, 1954, S. 169–186, doi:10.1063/1.1740026.

[3] R. A. Buckingham: The Classical Equation of State of Gaseous Helium, Neon and Argon. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Nr. 168, 1938, S. 264–283, doi:10.1098/rspa.1938.0173.

[1]

[2]

[3]