Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:
und die ungeraden durch
wobei $ m $ und $ n $ nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: $ n\geq m $. $ \phi $ ist der azimutale Winkel und $ \rho $ ist der normierte radiale Abstand.
Die Radialpolynome $ R_{n}^{m} $ sind definiert gemäß
wenn $ n-m $ gerade ist und $ R_{n}^{m}(\rho )=0 $, wenn $ n-m $ ungerade ist.
Häufig werden sie zu $ R_{n}^{m}(1)=1 $ normiert.
Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils $ R_{n}^{m} $ und eines winkelabhängigen Teils $ G^{m} $:
[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf Zernike-Funktionen zu bewirken.]
Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel $ \alpha =2\pi /m $ ändert den Wert des Polynoms nicht:
Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über $ \rho $ vom Grad $ n $, welches keine Potenz kleiner $ m $ enthält. $ R_{n}^{m} $ ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn $ m $ gerade (ungerade) ist.
Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome $ P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z) $ dar.
Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit
Allgemein ist $ R_{n}^{n}(\rho )=\rho ^{n}. $
In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.
Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.