Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation
- $ (q,p)\rightarrow (q',p') $
zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:
- $ {\tilde {H}}(q',p',t)=0 $
Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten $ q' $, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten $ p' $ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:
- $ {\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}} $
Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden $ S $. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:
- $ {\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0. $
Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion $ S(q,p',t) $ gewählt, die von den alten Ortskoordinaten $ q $ und den neuen (konstanten) Impulsen $ p' $ abhängt, so dass
- $ p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}. $
Eingesetzt in $ {\tilde {H}}=0 $ ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $ S $:
- $ H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0 $
Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen $ q_{k} $ und $ t $ für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion $ S $ (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).
Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral
Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional
- $ S[q](t)=\int _{0}^{t}L(s,q(s),{\dot {q}}(s))ds $
mit der Lagrange-Funktion $ L $. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.
- $ {\frac {dS}{dt}}=L $.
Sieht man $ S $ jedoch als Funktion der Koordinaten $ q $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t
an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum \frac{\partial S}{\partial q_k}\frac{dq_k}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum \frac{\partial S}{\partial q_k}\dot{q_k}
.
Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial S}{\partial q_k}=\int_0^t \frac{\partial L}{\partial q_k}ds=\int_0^t \frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}ds=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}=p_k
mit den kanonischen Impulsen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_k
. Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S
erhält man somit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{dS}{dt}=L=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum p_k\dot{q_k}
,
woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.
Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion
Für konservative Systeme (d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H
nicht explizit zeitabhängig: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H(q, p) \neq H(t)
) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion $ S(q,p') $ konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H(q,p) \Rightarrow \tilde{H}(p')
Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot p' = -\frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial q'} = 0 \Leftrightarrow p' = \mathrm{const},
die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q' = \frac {\partial \tilde {H}(p')}{\partial p'} = C \Leftrightarrow q' = Ct + b
mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C, b = \mathrm{const}.
Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p')
muss gelten
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q},
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = \frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}
Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $ S(q,p') $ für konservative Systeme:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H(q,p) \Rightarrow H\left(q,\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}\right) = \tilde {H}(p').
Zur Veranschaulichung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S
wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \, S(q,p') & = \frac{\partial S}{\partial q} \dot q + \frac{\partial S}{\partial p'} \dot p'\\ & = p \dot q + q' \dot p'\\ & = p\dot q \quad \quad \quad \mathrm{wegen} \; \dot p' = 0. \end{align}
Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = T-V
, wobei $ T $ die kinetische Energie ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(q)
das Potential):
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p') = \frac {\partial L}{\partial \dot q}\dot q = \frac {\partial T}{\partial \dot q}\dot q = 2T
.
Die zeitliche Integration liefert
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S = \int_{t_1}^{t_2} 2T\ \mathrm{d}t = W,
also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p')
mit dem Wirkungsintegral identisch.
Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator
Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U = U(q)
ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H(p,q) = \frac {p^2}{2m} + U(q),
die Hamilton-Jacobi-Gleichung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {1}{2m} \left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + U(q) = \tilde H = E.
Beim eindimensionalen Oszillator ist $ {\tilde {H}} $ die einzige Konstante der Bewegung. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p'
ebenfalls konstant sein muss, setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p' = \tilde H = E
, was für alle konservativen Systeme möglich ist.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + 2mU(q) = 2mp'
Durch Integrieren folgt
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p') = \sqrt {2m} \int_{q_0}^q \sqrt {(p' - U(\tilde{q}))}\,\mathrm{d}\tilde q,
mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = \frac{\partial S(q,p')}{\partial p'}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = \frac {m}{\sqrt{2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d\tilde q}{\sqrt {p' - U(\tilde q)}}.
Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q' = \frac {\partial \tilde H(p')}{\partial p'} = \frac {\partial E}{\partial p'} = \frac {\partial p'}{\partial p'} = 1,
- $ \Rightarrow q'=t-{t_{0}}. $
Um die Bewegung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(t)
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q(t)
darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(t) = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q} = \sqrt {2m(p'-U(q))},
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d \tilde q}{\sqrt {E - U(\tilde q)}}.
Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U(q) = \frac {1}{2}aq^2
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(t) = \sqrt {2m \left( E-\frac {1}{2}aq^2 \right)},
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d \tilde q}{\sqrt {E - \frac {1}{2}a \tilde {q}^2}}.
Somit (für den Fall $ q_{0}=0 $)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t - {t_0} = \sqrt {\frac {m}{a}}\arcsin \sqrt {\frac {a}{2E}}q
und letztlich
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q(t) = \sqrt{\frac {2E}{a}}\sin \sqrt{\frac {a}{m}}(t-{t_0)},
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(t) = \sqrt {2mE}\cos \sqrt {\frac {a}{m}}(t-{t_0}).
Literatur
- Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.