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| Der '''generalisierte Impuls''' (auch '''verallgemeinerter''', '''kanonischer''', '''kanonisch konjugierter''' oder '''konjugierter Impuls''') tritt sowohl in der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik]] als auch in der [[Lagrange-Formalismus|Lagrange-Mechanik]] auf. Zusammen mit dem Ort kennzeichnet er den jeweiligen [[Zustand (Physik)|Zustand]] des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den [[Kanonische Gleichungen|Hamiltonschen Bewegungsgleichungen]] ändert. | | Der '''generalisierte Impuls''', auch '''verallgemeinerter''', '''kanonischer''', '''kanonisch konjugierter''', oder '''konjugierter Impuls''', tritt sowohl in der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik]] als auch in der [[Lagrange-Formalismus|Lagrange-Mechanik]] auf. Zusammen mit dem [[Generalisierte Koordinate|konjugierten Ort]] kennzeichnet er den jeweiligen [[Zustand (Physik)|Zustand]] des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den [[Kanonische Gleichungen|Hamiltonschen Bewegungsgleichungen]] ändert. |
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| Als Funktion des Ortes <math>q</math> und der Geschwindigkeit <math>\dot q</math> ist der generalisierte Impuls die [[partielle Ableitung]] der [[Lagrange-Funktion]] <math>L</math> nach der Geschwindigkeit: | | Als Funktion des Ortes <math>q</math> und der Geschwindigkeit <math>\dot q</math> ist der generalisierte Impuls die [[partielle Ableitung]] der [[Lagrange-Funktion]] <math>L</math> nach der Geschwindigkeit: |
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| === Relativistische Bewegung === | | === Relativistische Bewegung === |
| * Bei der [[relativistisch]]en Bewegung eines Teilchens der Ruhemasse <math>m_0</math> in einem Potential <math>V(\mathbf{x},t)</math> ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten | | * Bei der [[relativistisch]]en Bewegung eines Teilchens der Masse <math>m_0</math> in einem Potential <math>V(\mathbf{x},t)</math> ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten |
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| :::<math>L = -m_0 \cdot c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - V(\mathbf{x},t)</math> | | :::<math>L = -m_0 \, c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - V(\mathbf{x},t)</math> |
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| :ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls: | | :ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls: |
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| ::<math>\mathbf{p} = \frac{m_0 \cdot \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}}</math> | | ::<math>\mathbf{p} = \frac{m_0 \, \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}}</math> |
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| * Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung <math>q</math> mit Ruhemasse <math>m_0</math> im elektromagnetischen Feld | | * Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung <math>q</math> mit der Masse <math>m_0</math> im elektromagnetischen Feld |
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| :::<math> L = -m_0 \cdot c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)</math> | | :::<math> L = -m_0 \, c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)</math> |
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| :hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes: | | :hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes: |
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| ::<math>\mathbf{p} = \frac{m_0 \cdot \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}} + q \, \mathbf{A}(\mathbf{x},t)</math> | | ::<math>\mathbf{p} = \frac{m_0 \, \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}} + q \, \mathbf{A}(\mathbf{x},t)</math> |
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| == Literatur == | | == Literatur == |
Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.
Als Funktion des Ortes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q
und der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q
ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L
nach der Geschwindigkeit:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{j} = {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q_j }}} \, , \ j = 1 .... n
Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat p
ersetzt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_j\rightarrow \hat p_j = -\hbar i \frac{\partial}{\partial x_j}
Beispiele
Klassische Bewegung
- Bei Bewegung eines Teilchens der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m
in einem Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(\mathbf{x},t)
ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t)
- ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf p = m \dot{\mathbf x}
- Bei Bewegung eines Teilchens der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m
in einem Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(r,\varphi,z,t)
in Zylinderkoordinaten
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = \frac 1 2\, m \bigl(\dot r^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2 \bigr) - V(r,\varphi,z,t)
- ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{\dot{\varphi}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m \, r^2 \dot{\varphi}
- Bei Bewegung einer Punktladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q
mit Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m
im elektromagnetischen Feld (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi
ist das elektrische Potential)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf x}^2 - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)
- hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf A
des Feldes:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf p = m \, \dot{\mathbf x} + q \, \mathbf A(t,\mathbf x)
Relativistische Bewegung
- Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_0
in einem Potential $ V(\mathbf {x} ,t) $ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = -m_0 \, c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - V(\mathbf{x},t)
- ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{p} = \frac{m_0 \, \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}}
- Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q
mit der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_0
im elektromagnetischen Feld
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = -m_0 \, c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)
- hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:
- $ \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t) $
Literatur
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.