Telegraphengleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Telegraphengleichung ist eine [[partielle Differentialgleichung]] (bei <math>a > 0</math> hyperbolisch, bei <math>a < 0</math> elliptisch und bei <math>a = 0</math> parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form | Die Telegraphengleichung ist eine [[partielle Differentialgleichung]] (bei <math>a > 0</math> hyperbolisch, bei <math>a < 0</math> elliptisch und bei <math>a = 0</math> parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form: | ||
:<math>\Delta \vec F = a \cdot \frac{\partial^2 \vec F}{\partial t^2}+b \cdot \frac{\partial \vec F}{\partial t} + c \cdot \frac{\partial \vec F}{\partial x}+d \cdot \vec F</math>. | :<math>\Delta \vec F = a \cdot \frac{\partial^2 \vec F}{\partial t^2}+b \cdot \frac{\partial \vec F}{\partial t} + c \cdot \frac{\partial \vec F}{\partial x}+d \cdot \vec F</math>. | ||
Dabei ist <math>\Delta \vec F</math> der [[Laplace-Operator]], in einer Orts-Dimension also <math>\Delta \vec F = \frac{\partial^2 \vec F}{\partial x^2}</math>. Die Ableitung nach x steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt | Dabei ist <math>\Delta \vec F</math> der [[Laplace-Operator]], in einer Orts-Dimension also <math>\Delta \vec F = \frac{\partial^2 \vec F}{\partial x^2}</math>. Die Ableitung nach <math>x</math> steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar <math>F</math> stehen. | ||
In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält ([[Wellengleichung]], [[Diffusionsgleichung]], [[Helmholtz-Gleichung]], [[Potentialgleichung]]). | In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält ([[Wellengleichung]], [[Diffusionsgleichung]], [[Helmholtz-Gleichung]], [[Potentialgleichung]]). | ||
==Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0== | == Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0 == | ||
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Zum Beispiel kann man mit den [[Materialgleichungen der Elektrodynamik]] die [[Maxwellgleichungen]] in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu | Zum Beispiel kann man mit den [[Materialgleichungen der Elektrodynamik]] die [[Maxwellgleichungen]] in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu | ||
:<math> \Delta \vec E = \frac{ \mu \ | :<math> \Delta \vec E = \frac{ \mu \varepsilon}{c^2} \frac{ \partial ^2 \vec E}{\partial t^2} + \sigma \mu_0 \mu \frac{\partial \vec E}{\partial t} </math> | ||
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:<math> \Delta \vec H = \frac{ \mu \ | :<math> \Delta \vec H = \frac{ \mu \varepsilon}{c^2} \frac{ \partial ^2 \vec H}{\partial t^2} + \sigma \mu_0 \mu\frac{\partial \vec H}{\partial t} </math>. | ||
wobei <math>c^2=\frac {1}{\mu_0 \, \ | wobei <math>c^2=\frac {1}{\mu_0 \, \varepsilon_0}</math> (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde. | ||
Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist <math> \sigma = 0 </math> und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung. | Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist <math> \sigma = 0 </math> und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung. | ||
==Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0== | == Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0 == | ||
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung: | Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung: | ||
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Insbesondere erhält man die ursprünglich von [[Oliver Heaviside]] eingeführten [[Leitungsgleichung|Telegraphengleichung]]en für die Spannung U und dem Strom I in einer Doppelleitung mit Induktivität L und Kapazität C ( | Insbesondere erhält man die ursprünglich von [[Oliver Heaviside]] eingeführten [[Leitungsgleichung|Telegraphengleichung]]en für die Spannung <math>U</math> und dem Strom <math>I</math> in einer Doppelleitung mit Induktivität <math>L</math> und Kapazität <math>C</math> (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig): | ||
:<math> \frac {\partial^2 U} {\partial x^2} = L\,C \frac {\partial^2 U} {\partial t^2}</math> | :<math> \frac {\partial^2 U} {\partial x^2} = L\,C \frac {\partial^2 U} {\partial t^2}</math> | ||
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Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste (<math> \sigma = 0 </math> wie im freien Raum). | Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste (<math> \sigma = 0 </math> wie im freien Raum). | ||
==Literatur== | == Literatur == | ||
* [[Adolf J. Schwab]]: ''Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren.'' 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5. | * [[Adolf J. Schwab]]: ''Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren.'' 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5. | ||
==Weblinks== | == Weblinks == | ||
*[ | * [https://www.spektrum.de/lexikon/physik/telegraphengleichung/14363 Telegraphengleichung, Lexikon der Physik, Spektrum Verlag] | ||
[[Kategorie:Elektrodynamik]] | [[Kategorie:Elektrodynamik]] | ||
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]] | [[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]] | ||
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Aktuelle Version vom 16. Februar 2021, 20:01 Uhr
Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.
Allgemeines
Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a > 0 hyperbolisch, bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a < 0 elliptisch und bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a = 0 parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \vec F = a \cdot \frac{\partial^2 \vec F}{\partial t^2}+b \cdot \frac{\partial \vec F}{\partial t} + c \cdot \frac{\partial \vec F}{\partial x}+d \cdot \vec F .
Dabei ist $ \Delta {\vec {F}} $ der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \vec F = \frac{\partial^2 \vec F}{\partial x^2} . Die Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F stehen.
In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).
Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \vec F = a \frac {\partial^2 \vec F} {\partial t^2} + b \frac {\partial \vec F} {\partial t}
Der Vorfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.
Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \vec E = \frac{ \mu \varepsilon}{c^2} \frac{ \partial ^2 \vec E}{\partial t^2} + \sigma \mu_0 \mu \frac{\partial \vec E}{\partial t}
und
- $ \Delta {\vec {H}}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}+\sigma \mu _{0}\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}} $.
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c^2=\frac {1}{\mu_0 \, \varepsilon_0} (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.
Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma = 0 und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.
Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta F = a \frac {\partial^2 F} {\partial t^2}
Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U und dem Strom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I in einer Doppelleitung mit Induktivität $ L $ und Kapazität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\partial^2 U} {\partial x^2} = L\,C \frac {\partial^2 U} {\partial t^2}
bzw.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\partial^2 I} {\partial x^2} = L\,C \frac {\partial ^2 I} {\partial t^2}
wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a= L\,C breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {1}{\sqrt {(L \, C)}} aus.
Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma = 0 wie im freien Raum).
Literatur
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.