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Die '''Zernike-Polynome''' sind nach [[Frits Zernike]] benannte [[ | Die '''Zernike-Polynome''' sind nach [[Frits Zernike]] benannte [[orthogonale Polynome]] und spielen insbesondere in der [[Wellenoptik]] eine wichtige Rolle. Es gibt [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade und ungerade]] Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch: | ||
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wobei <math>m</math> und <math>n</math> nichtnegative ganze Zahlen sind für die gilt: <math>n\geq m</math>. <math>\phi</math> ist der [[azimut]]ale [[Winkel]] und <math>\rho</math> ist der normierte radiale Abstand. | wobei <math>m</math> und <math>n</math> nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: <math>n\geq m</math>. <math>\phi</math> ist der [[azimut]]ale [[Winkel]] und <math>\rho</math> ist der normierte radiale Abstand. | ||
Die Radialpolynome <math>R^m_n</math> sind | Die Radialpolynome <math>R^m_n</math> sind definiert gemäß | ||
:<math>R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k} | :<math>R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k}</math>, | ||
wenn <math>n-m</math> gerade ist und <math>R^m_n(\rho)=0</math>, wenn <math>n-m</math> ungerade ist. | |||
und <math>R^m_n(\rho)=0</math>, wenn <math>n-m</math> ungerade ist | |||
Häufig werden sie zu <math>R^m_n(1)=1</math> normiert. | Häufig werden sie zu <math>R^m_n(1)=1</math> normiert. | ||
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:<math>Z^{\pm m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\cdot G^m(\phi) \!.</math> | :<math>Z^{\pm m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\cdot G^m(\phi) \!.</math> | ||
[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf ''Zernike-Funktionen'' zu bewirken.] | |||
Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel <math>\alpha =2 \pi /m</math> ändert den Wert des Polynoms nicht: | Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel <math>\alpha =2 \pi /m</math> ändert den Wert des Polynoms nicht: | ||
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:<math>R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 -1 </math> | :<math>R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 -1 </math> | ||
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In der [[Optik]] werden Zernike-Polynome benutzt um [[Wellenfront]]en zu repräsentieren, die wiederum die [[ | In der [[Optik]] werden Zernike-Polynome benutzt um [[Wellenfront]]en zu repräsentieren, die wiederum die [[Abbildungsfehler]] optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der [[Adaptive Optik|adaptiven Optik]] Anwendung. | ||
Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der [[Optometrie]] und [[Augenheilkunde]] üblich. Hier führen Abweichungen der [[Hornhaut|Cornea]] beziehungsweise der [[Linse (Optik)|Linse]] von der idealen Form zu Abbildungsfehlern. | Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der [[Optometrie]] und [[Augenheilkunde]] üblich. Hier führen Abweichungen der [[Hornhaut|Cornea]] beziehungsweise der [[Linse (Optik)|Linse]] von der idealen Form zu Abbildungsfehlern. | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
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* Born and Wolf: ''Principles of Optics''. Oxford: Pergamon, 1970. | * Born and Wolf: ''Principles of Optics''. Oxford: Pergamon, 1970. |
Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:
und die ungeraden durch
wobei $ m $ und $ n $ nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: $ n\geq m $. $ \phi $ ist der azimutale Winkel und $ \rho $ ist der normierte radiale Abstand.
Die Radialpolynome $ R_{n}^{m} $ sind definiert gemäß
wenn $ n-m $ gerade ist und $ R_{n}^{m}(\rho )=0 $, wenn $ n-m $ ungerade ist.
Häufig werden sie zu $ R_{n}^{m}(1)=1 $ normiert.
Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils $ R_{n}^{m} $ und eines winkelabhängigen Teils $ G^{m} $:
[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf Zernike-Funktionen zu bewirken.]
Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel $ \alpha =2\pi /m $ ändert den Wert des Polynoms nicht:
Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über $ \rho $ vom Grad $ n $, welches keine Potenz kleiner $ m $ enthält. $ R_{n}^{m} $ ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn $ m $ gerade (ungerade) ist.
Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome $ P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z) $ dar.
Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit
Allgemein ist $ R_{n}^{n}(\rho )=\rho ^{n}. $
In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.
Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.