Zernike-Polynom: Unterschied zwischen den Versionen

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Die '''Zernike-Polynome''' sind nach [[Frits Zernike]] benannte [[Orthogonale Polynome|orthogonale Polynome]], und spielen insbesondere in der [[Wellenoptik]] eine wichtige Rolle. Es gibt [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade und ungerade]] Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:
Die '''Zernike-Polynome''' sind nach [[Frits Zernike]] benannte [[orthogonale Polynome]] und spielen insbesondere in der [[Wellenoptik]] eine wichtige Rolle. Es gibt [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade und ungerade]] Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:


:<math>Z^{m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\phi)</math>
:<math>Z^{m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\phi)</math>
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:<math>Z^{-m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\phi),</math>
:<math>Z^{-m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\phi),</math>


wobei <math>m</math> und <math>n</math> nichtnegative ganze Zahlen sind für die gilt: <math>n\geq m</math>. <math>\phi</math> ist der [[azimut]]ale [[Winkel]] und <math>\rho</math> ist der normierte radiale Abstand.  
wobei <math>m</math> und <math>n</math> nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: <math>n\geq m</math>. <math>\phi</math> ist der [[azimut]]ale [[Winkel]] und <math>\rho</math> ist der normierte radiale Abstand.  


Die Radialpolynome <math>R^m_n</math> sind als
Die Radialpolynome <math>R^m_n</math> sind definiert gemäß


:<math>R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k} \quad\mbox{wenn } n-m \mbox{ gerade ist}</math>
:<math>R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k}</math>,
 
wenn <math>n-m</math> gerade ist und <math>R^m_n(\rho)=0</math>, wenn <math>n-m</math> ungerade ist.
und <math>R^m_n(\rho)=0</math>, wenn <math>n-m</math> ungerade ist, definiert.


Häufig werden sie zu <math>R^m_n(1)=1</math> normiert.
Häufig werden sie zu <math>R^m_n(1)=1</math> normiert.
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:<math>Z^{\pm m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\cdot G^m(\phi) \!.</math>
:<math>Z^{\pm m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\cdot G^m(\phi) \!.</math>
[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf ''Zernike-Funktionen'' zu bewirken.]


Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel <math>\alpha =2 \pi /m</math> ändert den Wert des Polynoms nicht:
Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel <math>\alpha =2 \pi /m</math> ändert den Wert des Polynoms nicht:
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:<math>R^4_4(\rho) = \rho^4 </math>
:<math>R^4_4(\rho) = \rho^4 </math>


:<math>R^1_5(\rho) = 10\rho^5 - 12\rho^3 + 3\rho </math>  
:<math>R^1_5(\rho) = 10\rho^5 - 12\rho^3 + 3\rho </math>
   
:<math>R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3 </math>
:<math>R^5_5(\rho) = \rho^5 </math>
   
   
:<math>R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3 </math>
:<math>R^5_5(\rho) = \rho^5 </math>
:<math>R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 -1 </math>
:<math>R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 -1 </math>


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== Anwendungen ==
== Anwendungen ==
In der [[Optik]] werden Zernike-Polynome benutzt um [[Wellenfront]]en zu repräsentieren, die wiederum die [[Abbildungsfehler|Abbildungsfehler]] optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der [[Adaptive Optik|adaptiven Optik]] Anwendung.
In der [[Optik]] werden Zernike-Polynome benutzt um [[Wellenfront]]en zu repräsentieren, die wiederum die [[Abbildungsfehler]] optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der [[Adaptive Optik|adaptiven Optik]] Anwendung.


Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der [[Optometrie]] und [[Augenheilkunde]] üblich. Hier führen Abweichungen der [[Hornhaut|Cornea]] beziehungsweise der [[Linse (Optik)|Linse]] von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.
Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der [[Optometrie]] und [[Augenheilkunde]] üblich. Hier führen Abweichungen der [[Hornhaut|Cornea]] beziehungsweise der [[Linse (Optik)|Linse]] von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.


== Literatur ==
== Literatur ==
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* Born and Wolf: ''Principles of Optics''. Oxford: Pergamon, 1970.
* Born and Wolf: ''Principles of Optics''. Oxford: Pergamon, 1970.

Aktuelle Version vom 15. Februar 2021, 07:03 Uhr

Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z^{m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\phi)

und die ungeraden durch

Znm(ρ,ϕ)=Rnm(ρ)sin(mϕ),

wobei m und n nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: nm. ϕ ist der azimutale Winkel und ρ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome Rnm sind definiert gemäß

Rnm(ρ)=k=0(nm)/2(1)k(nk)!k!((n+m)/2k)!((nm)/2k)!ρn2k,

wenn nm gerade ist und Rnm(ρ)=0, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n-m ungerade ist.

Häufig werden sie zu Rnm(1)=1 normiert.

Eigenschaften

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R^m_n und eines winkelabhängigen Teils Gm:

Zn±m(ρ,ϕ)=Rnm(ρ)Gm(ϕ).

[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf Zernike-Funktionen zu bewirken.]

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel α=2π/m ändert den Wert des Polynoms nicht:

Gm(ϕ+α)=Gm(ϕ).

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über ρ vom Grad n, welches keine Potenz kleiner m enthält. Rnm ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome Pn(α,β)(z) dar.

Rnm(ρ)=(1)(nm)/2ρmP(nm)/2(m,0)(12ρ2)

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

R00(ρ)=1
R11(ρ)=ρ
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R^0_2(\rho) = 2\rho^2 -1
R22(ρ)=ρ2
R31(ρ)=3ρ32ρ
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R^3_3(\rho) = \rho^3
R40(ρ)=6ρ46ρ2+1
R42(ρ)=4ρ43ρ2
R44(ρ)=ρ4
R51(ρ)=10ρ512ρ3+3ρ
R53(ρ)=5ρ54ρ3
R55(ρ)=ρ5
R60(ρ)=20ρ630ρ4+12ρ21

Allgemein ist Rnn(ρ)=ρn.

Anwendungen

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur

Commons: Zernike-Polynom – Sammlung von Bildern
  • Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks