Zernike-Polynom: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 15. Februar 2021, 07:03 Uhr

Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

Z_{n}^{m} (ρ, ϕ) = R_{n}^{m} (ρ) \cos (m ϕ)

und die ungeraden durch

Z_{n}^{- m} (ρ, ϕ) = R_{n}^{m} (ρ) \sin (m ϕ),

wobei $m$ und $n$ nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: $n \geq m$ . $ϕ$ ist der azimutale Winkel und $ρ$ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome $R_{n}^{m}$ sind definiert gemäß

R_{n}^{m} (ρ) = \sum_{k = 0}^{(n - m) / 2} \frac{(- 1)^{k} (n - k)!}{k! ((n + m) / 2 - k)! ((n - m) / 2 - k)!} ρ^{n - 2 k}

,

wenn $n - m$ gerade ist und $R_{n}^{m} (ρ) = 0$ , wenn $n - m$ ungerade ist.

Häufig werden sie zu $R_{n}^{m} (1) = 1$ normiert.

Eigenschaften

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils $R_{n}^{m}$ und eines winkelabhängigen Teils $G^{m}$ :

Z_{n}^{\pm m} (ρ, ϕ) = R_{n}^{m} (ρ) \cdot G^{m} (ϕ) .

[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf Zernike-Funktionen zu bewirken.]

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel $α = 2 π / m$ ändert den Wert des Polynoms nicht:

G^{m} (ϕ + α) = G^{m} (ϕ) .

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über $ρ$ vom Grad $n$ , welches keine Potenz kleiner $m$ enthält. $R_{n}^{m}$ ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn $m$ gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome $P_{n}^{(α, β)} (z)$ dar.

R_{n}^{m} (ρ) = (- 1)^{(n - m) / 2} ρ^{m} P_{(n - m) / 2}^{(m, 0)} (1 - 2 ρ^{2})

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

R_{0}^{0} (ρ) = 1

R_{1}^{1} (ρ) = ρ

R_{2}^{0} (ρ) = 2 ρ^{2} - 1

R_{2}^{2} (ρ) = ρ^{2}

R_{3}^{1} (ρ) = 3 ρ^{3} - 2 ρ

R_{3}^{3} (ρ) = ρ^{3}

R_{4}^{0} (ρ) = 6 ρ^{4} - 6 ρ^{2} + 1

R_{4}^{2} (ρ) = 4 ρ^{4} - 3 ρ^{2}

R_{4}^{4} (ρ) = ρ^{4}

R_{5}^{1} (ρ) = 10 ρ^{5} - 12 ρ^{3} + 3 ρ

R_{5}^{3} (ρ) = 5 ρ^{5} - 4 ρ^{3}

R_{5}^{5} (ρ) = ρ^{5}

R_{6}^{0} (ρ) = 20 ρ^{6} - 30 ρ^{4} + 12 ρ^{2} - 1

Allgemein ist $R_{n}^{n} (ρ) = ρ^{n} .$

Anwendungen

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur

Commons: Zernike-Polynom – Sammlung von Bildern

Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch).

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-[[Datei:ZernikePolynome4.png|miniatur|Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung]]
+[[Datei:ZernikePolynome4.png|mini|hochkant=1.3|Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung]]
-Die '''Zernike-Polynome''' sind nach [[Frits Zernike]] benannte [[Orthogonale Polynome|orthogonale Polynome]], und spielen insbesondere in der [[Wellenoptik]] eine wichtige Rolle. Es gibt [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade und ungerade]] Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:
+Die '''Zernike-Polynome''' sind nach [[Frits Zernike]] benannte [[orthogonale Polynome]] und spielen insbesondere in der [[Wellenoptik]] eine wichtige Rolle. Es gibt [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade und ungerade]] Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:
 :<math>Z^{m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\phi)</math>
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 :<math>Z^{-m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\phi),</math>
-wobei <math>m</math> und <math>n</math> nichtnegative ganze Zahlen sind für die gilt: <math>n\geq m</math>. <math>\phi</math> ist der [[azimut]]ale [[Winkel]] und <math>\rho</math> ist der normierte radiale Abstand.
+wobei <math>m</math> und <math>n</math> nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: <math>n\geq m</math>. <math>\phi</math> ist der [[azimut]]ale [[Winkel]] und <math>\rho</math> ist der normierte radiale Abstand.
-Die Radialpolynome <math>R^m_n</math> sind als
+Die Radialpolynome <math>R^m_n</math> sind definiert gemäß
-:<math>R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k} \quad\mbox{wenn } n-m \mbox{ gerade ist}</math>
+:<math>R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k}</math>,
+wenn <math>n-m</math> gerade ist und <math>R^m_n(\rho)=0</math>, wenn <math>n-m</math> ungerade ist.
-und <math>R^m_n(\rho)=0</math>, wenn <math>n-m</math> ungerade ist, definiert.
 Häufig werden sie zu <math>R^m_n(1)=1</math> normiert.
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 :<math>Z^{\pm m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\cdot G^m(\phi) \!.</math>
+[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf ''Zernike-Funktionen'' zu bewirken.]
 Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel <math>\alpha =2 \pi /m</math> ändert den Wert des Polynoms nicht:
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 :<math>R^4_4(\rho) = \rho^4 </math>
 :<math>R^1_5(\rho) = 10\rho^5 - 12\rho^3 + 3\rho </math>
+:<math>R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3 </math>
+:<math>R^5_5(\rho) = \rho^5 </math>
-:<math>R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3 </math>
-:<math>R^5_5(\rho) = \rho^5 </math>
 :<math>R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 -1 </math>
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 == Anwendungen ==
-In der [[Optik]] werden Zernike-Polynome benutzt um [[Wellenfront]]en zu repräsentieren, die wiederum die [[Abbildungsfehler|Abbildungsfehler]] optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der [[Adaptive Optik|adaptiven Optik]] Anwendung.
+In der [[Optik]] werden Zernike-Polynome benutzt um [[Wellenfront]]en zu repräsentieren, die wiederum die [[Abbildungsfehler]] optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der [[Adaptive Optik|adaptiven Optik]] Anwendung.
 Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der [[Optometrie]] und [[Augenheilkunde]] üblich. Hier führen Abweichungen der [[Hornhaut|Cornea]] beziehungsweise der [[Linse (Optik)|Linse]] von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.
 == Literatur ==
-{{commonscat|Zernike Polynomials}}
+{{commonscat|Zernike polynomials|Zernike-Polynom|audio=0|video=0}}
 * Born and Wolf: ''Principles of Optics''. Oxford: Pergamon, 1970.