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imported>Butäzigä (Das folgt nicht aus dem Prinzip, sondern aus der Gleichung. Die letzte Textänderung von 79.198.231.113 wurde verworfen und die Version 211125368 von Π π π wiederhergestellt.) |
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Ziel des '''Hamilton-Jacobi-Formalismus''' (benannt nach den Mathematikern [[William Rowan Hamilton]] und [[Carl Gustav Jakob Jacobi]]) der [[Klassische Mechanik|Klassischen Mechanik]] ist es, die [[Hamiltonsche Bewegungsgleichungen|Hamiltonschen Bewegungsgleichungen]] mittels einer besonderen [[kanonische Transformation|kanonischen Transformation]] | Ziel des '''Hamilton-Jacobi-Formalismus''' (benannt nach den Mathematikern [[William Rowan Hamilton]] und [[Carl Gustav Jakob Jacobi]]) der [[Klassische Mechanik|Klassischen Mechanik]] ist es, die [[Hamiltonsche Bewegungsgleichungen|Hamiltonschen Bewegungsgleichungen]] mittels einer besonderen [[kanonische Transformation|kanonischen Transformation]] | ||
: <math>(q,p) \rightarrow (q',p')</math> | |||
zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue [[Hamilton-Funktion]] erzeugt, die identisch Null ist: | zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue [[Hamilton-Funktion]] erzeugt, die identisch Null ist: | ||
:<math>\tilde{H} (q',p',t) = 0</math> | : <math>\tilde{H} (q',p',t) = 0</math> | ||
Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten [[Generalisierte Koordinate|generalisierten Ortskoordinaten]] <math>q'</math>, als auch ihre [[Generalisierter Impuls|kanonisch konjugierten Impulskoordinaten]] <math>p'</math> [[Erhaltungsgröße]]n sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion [[zyklische Koordinate]]n sind: | Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten [[Generalisierte Koordinate|generalisierten Ortskoordinaten]] <math>q'</math>, als auch ihre [[Generalisierter Impuls|kanonisch konjugierten Impulskoordinaten]] <math>p'</math> [[Erhaltungsgröße]]n sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion [[zyklische Koordinate]]n sind: | ||
:<math>\begin{align} | : <math>\begin{align} | ||
\frac{\partial\tilde{H}}{\partial p'_{k}} & =\dot{q}'_{k}=0\quad\Leftrightarrow\quad q'_{k}=\mathrm{const}\\ | \frac{\partial\tilde{H}}{\partial p'_{k}} & =\dot{q}'_{k}=0\quad\Leftrightarrow\quad q'_{k}=\mathrm{const}\\ | ||
-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial q'_{k}} & =\dot{p}'_{k}=0\quad\Leftrightarrow\quad p'_{k}=\mathrm{const} | -\frac{\partial\tilde{H}}{\partial q'_{k}} & =\dot{p}'_{k}=0\quad\Leftrightarrow\quad p'_{k}=\mathrm{const}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden [[Erzeugende]]n <math>S</math>. Indem man ihre [[partielle Ableitung]] nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion: | Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden [[Erzeugende]]n <math>S</math>. Indem man ihre [[partielle Ableitung]] nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion: | ||
:<math>\tilde{H} (q', p', t) = H (q, p, t) + \frac {\partial S}{\partial t} = 0.</math> | : <math>\tilde{H} (q', p', t) = H (q, p, t) + \frac {\partial S}{\partial t} = 0.</math> | ||
Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion <math>S (q, p', t)</math> gewählt, die von den alten Ortskoordinaten <math>q</math> und den neuen (konstanten) Impulsen <math>p'</math> abhängt, so dass | Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion <math>S (q, p', t)</math> gewählt, die von den alten Ortskoordinaten <math>q</math> und den neuen (konstanten) Impulsen <math>p'</math> abhängt, so dass | ||
:<math>p_{k}=\frac{\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}\ ,\quad q'_{k}=\frac{\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}.</math> | : <math>p_{k}=\frac{\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}\ ,\quad q'_{k}=\frac{\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}.</math> | ||
Eingesetzt in <math>\tilde{H} = 0</math> ergibt sich die '''Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung''' für <math>S</math>: | Eingesetzt in <math>\tilde{H} = 0</math> ergibt sich die '''Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung''' für <math>S</math>: | ||
:<math>H \left(q_k, \frac {\partial {S}}{\partial q_k}, t\right) + \frac {\partial S}{\partial t} = 0</math> | : <math>H\!\left(q_k, \frac {\partial {S}}{\partial q_k}, t\right) + \frac {\partial S}{\partial t} = 0</math> | ||
Sie ist eine [[partielle Differentialgleichung]] in den Variablen <math>q_k</math> und <math>t</math> für die ''Hamiltonsche Wirkungsfunktion'' <math>S</math> (die Verwendung des Begriffs „[[Wirkung (Physik)|Wirkung]]“ wird weiter unten begründet). | Sie ist eine [[partielle Differentialgleichung]] in den Variablen <math>q_k</math> und <math>t</math> für die ''Hamiltonsche Wirkungsfunktion'' <math>S</math> (die Verwendung des Begriffs „[[Wirkung (Physik)|Wirkung]]“ wird weiter unten begründet). | ||
== Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral == | |||
Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional | |||
: <math>S[q](t)=\int_0^t L(s,q(s),\dot{q}(s))ds</math> | |||
mit der [[Lagrange-Funktion]] <math>L</math>. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h. | |||
: <math>\frac{dS}{dt}=L</math>. | |||
Sieht man <math>S</math> jedoch als Funktion der Koordinaten <math>q</math> und <math>t</math> an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential | |||
: <math>\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum \frac{\partial S}{\partial q_k}\frac{dq_k}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum \frac{\partial S}{\partial q_k}\dot{q_k}</math>. | |||
Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den [[Lagrange-Formalismus|Euler-Lagrange-Gleichungen]] | |||
: <math>\frac{\partial S}{\partial q_k}=\int_0^t \frac{\partial L}{\partial q_k}ds=\int_0^t \frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}ds=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}=p_k</math> | |||
mit den [[Generalisierter Impuls|kanonischen Impulsen]] <math>p_k</math>. Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von <math>S</math> erhält man somit | |||
: <math>\frac{dS}{dt}=L=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum p_k\dot{q_k}</math>, | |||
woraus nach der Definition der [[Hamilton-Funktion]] die behauptete Gleichung sofort folgt. | |||
== Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion == | == Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion == | ||
Für [[Konservatives System|konservative Systeme]] (d. h. <math>H</math> nicht explizit zeitabhängig: <math>H(q, p) \neq H(t)</math>) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion <math>S(q,p')</math> konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt | Für [[Konservatives System|konservative Systeme]] (d. h. <math>H</math> nicht explizit zeitabhängig: <math>H(q, p) \neq H(t)</math>) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion <math>S(q,p')</math> konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt | ||
:<math>H(p | :<math>H(q,p) \Rightarrow \tilde{H}(p')</math> | ||
Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung: | Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung: | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Benutzt man nun die [[Lagrange-Formalismus| | Benutzt man nun die [[Lagrange-Formalismus|lagrangeschen Bewegungsgleichungen]] (mit [[Lagrangefunktion]] <math>L = T-V</math>, wobei <math>T</math> die kinetische Energie ist, <math>V(q)</math> das Potential): | ||
:<math>\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p') = \frac {\partial L}{\partial \dot q}\dot q = \frac {\partial T}{\partial \dot q}\dot q = 2T</math>. | :<math>\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p') = \frac {\partial L}{\partial \dot q}\dot q = \frac {\partial T}{\partial \dot q}\dot q = 2T</math>. | ||
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:<math>\frac {1}{2m} \left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + U(q) = \tilde H = E.</math> | :<math>\frac {1}{2m} \left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + U(q) = \tilde H = E.</math> | ||
Beim eindimensionalen Oszillator ist <math>\tilde H</math> die einzige Konstante der Bewegung. Da <math>p'</math> ebenfalls konstant sein muss, setzt man <math>p' = \tilde H = E</math>, was für alle konservativen Systeme möglich ist. | Beim eindimensionalen Oszillator ist <math>\tilde H</math> die einzige Konstante der Bewegung. Da <math>p'</math> ebenfalls konstant sein muss, setzt man <math>p' = \tilde H = E</math>, was für alle konservativen Systeme möglich ist. | ||
:<math>\left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + 2mU(q) = 2mp'</math> | :<math>\left(\frac{\partial S(q,p')}{\partial q}\right)^2 + 2mU(q) = 2mp'</math> | ||
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Durch Integrieren folgt | Durch Integrieren folgt | ||
:<math>S(q,p') = \sqrt {2m} \int_{q_0}^q \sqrt {(p' - U(\tilde{q}))} \mathrm{d}\tilde q,</math> | :<math>S(q,p') = \sqrt {2m} \int_{q_0}^q \sqrt {(p' - U(\tilde{q}))}\,\mathrm{d}\tilde q,</math> | ||
mit <math>q' = \frac{\partial S(q,p')}{\partial p'}</math> | mit <math>q' = \frac{\partial S(q,p')}{\partial p'}</math> | ||
:<math>q' = \frac {m}{\sqrt{2m}} \int_{q_0}^q \frac {d\tilde q}{\sqrt {p' - U(\tilde q)}}.</math> | :<math>q' = \frac {m}{\sqrt{2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d\tilde q}{\sqrt {p' - U(\tilde q)}}.</math> | ||
Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem | Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem | ||
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:<math>p(t) = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q} = \sqrt {2m(p'-U(q))},</math> | :<math>p(t) = \frac {\partial S(q,p')}{\partial q} = \sqrt {2m(p'-U(q))},</math> | ||
:<math>q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {d \tilde q}{\sqrt {E - U(\tilde q)}}.</math> | :<math>q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d \tilde q}{\sqrt {E - U(\tilde q)}}.</math> | ||
Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit <math>U(q) = \frac {1}{2}aq^2</math> | Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit <math>U(q) = \frac {1}{2}aq^2</math> | ||
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:<math>p(t) = \sqrt {2m \left( E-\frac {1}{2}aq^2 \right)},</math> | :<math>p(t) = \sqrt {2m \left( E-\frac {1}{2}aq^2 \right)},</math> | ||
:<math>q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {d \tilde q}{\sqrt {E - \frac {1}{2}a \tilde {q}^2}}.</math> | :<math>q' = t - {t_0} = \frac {m}{\sqrt {2m}} \int_{q_0}^q \frac {\mathrm d \tilde q}{\sqrt {E - \frac {1}{2}a \tilde {q}^2}}.</math> | ||
Somit | Somit (für den Fall <math>q_0 = 0</math>) | ||
:<math>t - {t_0} = \sqrt {\frac {m}{a}}\arcsin \sqrt {\frac {a}{2E}}q</math> | :<math>t - {t_0} = \sqrt {\frac {m}{a}}\arcsin \sqrt {\frac {a}{2E}}q</math> | ||
und letztlich | und letztlich | ||
:<math>q(t) = \sqrt{\frac {2E}{a}}\sin \sqrt{\frac {a}{m}}(t-{t_0)},</math> | :<math>q(t) = \sqrt{\frac {2E}{a}}\sin \sqrt{\frac {a}{m}}(t-{t_0)},</math> | ||
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* {{Literatur | * {{Literatur | ||
| Autor=Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko | | Autor=Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko | ||
| Titel=Klassische Mechanik | | Titel=Klassische Mechanik | ||
| Auflage= 3 | | Auflage= 3 | ||
Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation
zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:
Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten $ q' $, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten $ p' $ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:
Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden $ S $. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:
Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion $ S(q,p',t) $ gewählt, die von den alten Ortskoordinaten $ q $ und den neuen (konstanten) Impulsen $ p' $ abhängt, so dass
Eingesetzt in $ {\tilde {H}}=0 $ ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $ S $:
Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen $ q_{k} $ und $ t $ für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion $ S $ (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).
Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional
mit der Lagrange-Funktion $ L $. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.
Sieht man $ S $ jedoch als Funktion der Koordinaten $ q $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential
Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen
mit den kanonischen Impulsen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_k . Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S erhält man somit
woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.
Für konservative Systeme (d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H nicht explizit zeitabhängig: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H(q, p) \neq H(t) ) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion $ S(q,p') $ konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt
Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:
die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:
Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p') muss gelten
Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $ S(q,p') $ für konservative Systeme:
Zur Veranschaulichung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet
Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = T-V , wobei $ T $ die kinetische Energie ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(q) das Potential):
Die zeitliche Integration liefert
also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(q,p') mit dem Wirkungsintegral identisch.
Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U = U(q) ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet
die Hamilton-Jacobi-Gleichung
Beim eindimensionalen Oszillator ist $ {\tilde {H}} $ die einzige Konstante der Bewegung. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p' ebenfalls konstant sein muss, setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p' = \tilde H = E , was für alle konservativen Systeme möglich ist.
Durch Integrieren folgt
mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q' = \frac{\partial S(q,p')}{\partial p'}
Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem
Um die Bewegung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p(t) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q(t) darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden
Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U(q) = \frac {1}{2}aq^2
Somit (für den Fall $ q_{0}=0 $)
und letztlich