Spektrale Leistungsdichte: Unterschied zwischen den Versionen

Spektrale Leistungsdichte: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:spek_leistungsdichte.png|thumb|Leistungsdichtespektrum eines Signals]]
Die '''spektrale Leistungsdichte''' einer Strahlung oder eines Signals ist definiert als die [[Leistung (Physik)|Leistung]], die auf eine bestimmte Bandbreite von [[Frequenz]]en oder [[Wellenlänge]]n entfällt, dividiert durch diese Bandbreite, wobei die Bandbreite immer schmaler, also [[infinitesimal]] klein, zu wählen ist. Die spektrale Leistungsdichte ist damit eine mathematische [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] der Frequenz bzw. der Wellenlänge. In der Frequenzdarstellung hat sie die Dimension ''Leistung'' · ''Zeit'' (z. B. in Einheiten ''[[Watt (Einheit)|Watt]]/[[Hertz (Einheit)|Hertz]]'' oder [[Leistungspegel|dBm]]/Hz). In der Wellenlängendarstellung hat sie die Dimension ''Leistung'' / ''Länge''. Das [[Integralrechnung|Integral]] der spektralen Leistungsdichte über alle Frequenzen bzw. Wellenlängen ergibt die Gesamtleistung der Strahlung bzw. des Signals.
Die '''spektrale Leistungsdichte''' gibt die auf die Frequenz bezogene [[Leistung (Physik)|Leistung]] eines Signals in einem infinitesimalen [[Frequenzband]] an. Diese Dichte besitzt die Dimension ''Leistung'' · ''Zeit'', die Angabe erfolgt meist in den Einheiten ''[[Watt (Einheit)|Watt]]/[[Hertz (Einheit)|Hertz]]''  
 
oder [[Leistungspegel|dBm]]/Hz. Wird die spektrale Leistungsdichte über dem Frequenzspektrum angegeben, entsteht ein '''Leistungsdichtespektrum''' ('''LDS''') oder '''Autoleistungsspektrum''' ([[Englische Sprache|engl.]]: '''Power-Spectral-Density''' ('''PSD'''), auch '''Wirkleistungsspektrum'''). Das [[Integralrechnung|Integral]] über alle Frequenzen ergibt die Gesamtleistung eines Signals. Während die [[Fouriertransformation]] von stationären Prozessen (wie z. B. Rauschen oder monofrequente Signale) unbeschränkt ist, lassen sich derartige Signale mit Hilfe der LDS quantitativ analysieren. Das LDS ist die Anzeigeform von [[Spektralanalysator]]en, wobei hier die Leistung über vorgegebenen Frequenzintervallen ([[Englische Sprache|engl.]]: '''resolution bandwidth''' ('''RBW''')) angegeben wird.
[[Datei:spek leistungsdichte.png|mini|Leistungsdichte­spektrum eines Signals]]Die spektrale Leistungsdichte wird oft einfach als ''Spektrum'' bezeichnet, in der Darstellung über der Frequenzachse auch als ''Leistungsdichtespektrum'' ('''LDS''') oder '''Autoleistungsspektrum''' ([[Englische Sprache|engl.]]: '''Power-Spectral-Density''' ('''PSD'''), auch '''Wirkleistungsspektrum''').  
 
Handelsübliche [[Spektralanalysator]]en für elektrische Signale zeigen nicht das mathematisch definierte Leistungsdichtespektrum exakt an, sondern das über die vorgewählte Bandbreite ([[Englische Sprache|engl.]]: '''resolution bandwidth''' ('''RBW''')) gemittelte Leistungsdichtespektrum.


== Allgemeines und Definition ==
== Allgemeines und Definition ==
Da für [[Stationärer stochastischer Prozess|stationäre]] [[Stochastischer Prozess|Prozesse]] <math>f(t)</math> im Allgemeinen weder die Energie <math>\|f\|_2^2</math> noch die Fouriertransformierte <math>F\big(f\big)(\omega)</math> im klassischen Sinn existieren, liegt es nahe, zeitlich begrenzte Anteile <math>f_T(t) = f(t)</math> für <math>|t| \le T </math> und <math>0</math> sonst zu betrachten. Nach der [[Satz_von_Plancherel|Formel von Plancherel]] gilt
Da für [[Stationärer stochastischer Prozess|stationäre]] stochastische [[Stochastischer Prozess|Prozesse]] <math>f(t)</math> im Allgemeinen weder die Energie <math>\|f\|_2^2</math> noch die [[Fouriertransformierte]] <math>F\big(f\big)(\omega)</math> im klassischen Sinn existieren, liegt es nahe, zeitlich begrenzte Anteile <math>f_T(t) = f(t)</math> für <math>|t| \le T </math> und <math>0</math> sonst zu betrachten.
 
Nach der [[Satz von Plancherel|Formel von Plancherel]] gilt


:<math>\frac{1}{2T}\int\limits_{\R} |f_T(t)|^2 \mathrm{d}t = \frac{1}{2T}\int\limits_{\R} |F(f_T)(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega </math>
:<math>\frac{1}{2T}\int\limits_{\R} |f_T(t)|^2 \mathrm{d}t = \frac{1}{2T}\int\limits_{\R} |F(f_T)(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega </math>
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existiert, existiert auch die rechte Seite obiger Formel und als spektrale Beschreibung der Leistung kann man die Spektrale Leistungsdichte definieren (falls der [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] existiert) als
existiert, existiert auch die rechte Seite obiger Formel und als spektrale Beschreibung der Leistung kann man die Spektrale Leistungsdichte definieren (falls der [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] existiert) als


:<math>S_{XX}(\omega) := \lim\limits_{T\to \infty} \frac{1}{2T} |F(f_T)(\omega)|^2 </math>
:<math>S_{XX}(\omega) := \lim\limits_{T\to \infty} \frac{1}{2T} |F(f_T)(\omega)|^2</math>


Für jedes endliche <math>T</math> heißt die Größe <math>\text{Per}_T(\omega) := \frac{1}{2T} |F(f_T)(\omega)|^2</math> das [[Periodogramm]] von <math>f</math>. Es stellt einen Schätzwert der Spektralen Leistungsdichte dar, dessen Erwartungswert aber nicht <math>S_{XX}(\omega)</math> entspricht (nicht [[Erwartungstreue|erwartungstreu]]) und dessen Varianz auch für beliebig große <math>T</math> nicht verschwindet (nicht [[Konsistente Schätzfolge|konsistent]]).<ref>[[Karl-Dirk Kammeyer]], Kristian Kroschel: ''Digitale Signalverarbeitung. Filterung und Spektralanalyse. Mit MATLAB-Übungen.'' 6. korrigierte und ergänzte Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0072-6, Kap. 8.3, S. 315ff.</ref>
Für jedes endliche <math>T</math> heißt die Größe <math>\text{Per}_T(\omega) := \frac{1}{2T} |F(f_T)(\omega)|^2</math> das [[Periodogramm]] von <math>f</math>. Es stellt einen [[Schätzwert]] der Spektralen Leistungsdichte dar, dessen [[Erwartungswert]] aber nicht <math>S_{XX}(\omega)</math> entspricht (nicht [[Erwartungstreue|erwartungstreu]]) und dessen [[Varianz]] auch für beliebig große <math>T</math> nicht verschwindet (nicht [[Konsistente Schätzfolge|konsistent]]).<ref>[[Karl-Dirk Kammeyer]], Kristian Kroschel: ''Digitale Signalverarbeitung. Filterung und Spektralanalyse. Mit MATLAB-Übungen.'' 6. korrigierte und ergänzte Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0072-6, Kap. 8.3, S. 315ff.</ref>


== Eigenschaften und Berechnung ==
== Eigenschaften und Berechnung ==
Gemäß dem [[Wiener-Chintschin-Theorem]] wird die spektrale Leistungsdichte oft als Fouriertransformierte der zeitlichen [[Autokorrelationsfunktion]] <math>r_{xx}(t)</math> des Signals gegeben:


Zur Bestimmung der spektralen Leistungsdichte <math>S_{XX}(\omega)</math> wird oft das [[Wiener-Chintschin-Theorem]] herangezogen, wo sie über die Fouriertransformation der zeitlichen [[Autokorrelationsfunktion]] <math>r_{xx}(t)</math> des Signals gegeben wird:
:<math>S_{XX}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, F(r_{xx})(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} r_{xx}(t) e^{-i\omega t} \mathrm{d}t</math>


:<math>S_{XX}(\omega) = F(r_{xx})(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} r_{xx}(t) e^{-i\omega t} \mathrm{d}t</math>
Dabei ist


Dabei ist
::<math>r_{xx}(t) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T}\int_{-T}^{T} f(\tau) \; \overline{f(t + \tau)} \mathrm{d}\tau</math>


:<math>r_{xx}(t) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T}\int_{-T}^{T} f(\tau) \; \overline{f(t + \tau)} \mathrm{d}\tau</math>
die Autokorrelationsfunktion des zeitlichen Signals <math>f(t)</math>.


die Autokorrelationsfunktion des zeitlichen Signals <math>f(t)</math>. Für Rauschsignale, allgemein für Prozesse, muss die [[Ergodizität]] vorausgesetzt werden, die es erlaubt Eigenschaften der Zufallsvariablen, wie den Erwartungswert, aus einer Musterfunktion zu bestimmen. In der Praxis kann nur ein endliches Zeitfenster betrachtet werden, weshalb man die Integrationsgrenzen einschränken muss. Nur für eine stationäre Verteilung ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Zeit <math>t</math> abhängig.
Für Rauschsignale, allgemein für Prozesse, muss die [[Ergodizität]] vorausgesetzt werden, die es erlaubt, Eigenschaften der [[Zufallsvariable]]n wie den [[Erwartungswert]] aus einer Musterfunktion zu bestimmen. In der Praxis kann nur ein endliches Zeitfenster betrachtet werden, weshalb man die Integrationsgrenzen einschränken muss. Nur für eine [[stationäre Verteilung]] hängt die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Zeit <math>t</math> ab.


Das Autoleistungsdichtespektrum ist gerade, reell und positiv. Dies bedeutet einen Informationsverlust, der eine Umkehrung dieser Prozedur verhindert.
Das Autoleistungsdichtespektrum ist gerade, [[reell]] und positiv. Dies bedeutet einen [[Informationsverlust]], der eine Umkehrung dieser Prozedur verhindert ([[Irreversibler Prozess|Irreversibilität]]).


Wird ein (Rausch-)Prozess mit Leistungsdichtespektrum <math>S_{XX}(\omega)</math> über ein [[LTI-System|lineares, zeitinvariantes System]] mit [[Übertragungsfunktion]] <math>H(\omega)</math> übertragen, so ergibt sich am Ausgang ein Leistungsdichtespektrum von  
Wird ein (Rausch-)Prozess mit Leistungsdichtespektrum <math>S_{XX}(\omega)</math> über ein [[LTI-System|lineares, zeitinvariantes System]] mit [[Übertragungsfunktion]] <math>H(\omega)</math> übertragen, so ergibt sich am Ausgang ein Leistungsdichtespektrum von


:<math>S_{YY}(\omega)= |H(\omega)|^2 \cdot S_{XX}(\omega).</math>  
:<math>S_{YY}(\omega)= |H(\omega)|^2 \cdot S_{XX}(\omega).</math>


Die Übertragungsfunktion geht quadratisch in die Formel ein, da das Spektrum eine Leistungsgröße ist.
Die Übertragungsfunktion geht quadratisch in die Formel ein, da das Spektrum eine [[Leistungsgröße]] ist. Das bedeutet, dass z.&nbsp;B. P=Strom mal Spannung ist und Strom und Spannung beide mit :<math>|H(\omega)|</math> multipliziert werden. Somit <math>|H(\omega)|</math>*Strom * <math>|H(\omega)|</math>*Spannung=<math>|H(\omega)|^2</math>*Strom*Spannung.


Das Autoleistungsspektrum kann als einseitiges Spektrum <math>G_{XX} (f)(f \ge 0)</math> dargestellt werden. Es gilt dann:
Das Autoleistungsspektrum kann dargestellt werden als einseitiges Spektrum <math>G_{XX}(f)</math> mit <math>f \ge 0</math>. Dann gilt:


:<math>G_{XX} = S_{XX} (f) \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad f = 0</math>
:<math>G_{XX} = S_{XX} (f) \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad f = 0</math>


und  
und


:<math>G_{XX} = 2 S_{XX} (f) \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad f > 0\,.</math>
:<math>G_{XX} = 2 S_{XX} (f) \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad f > 0 \, .</math>


Berechnungsmethoden beschränken sich üblicherweise auf bandbeschränkte Signale (Signale deren LDS für große Frequenzen verschwindet), die eine diskrete Darstellung erlauben ([[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]]). Erwartungstreue, konsistente Schätzwerte bandbegrenzter Signale, die auf einer Modifizierung des Periodogramms beruhen, sind beispielsweise die ''Welch''-Methode oder ''Bartlett''-Methode. Schätzungen auf Basis der Autokorrelationsfunktion heißen ''[[Korrelogramm]]''-Verfahren wie beispielsweise die ''Blackmann-Tukey''-Schätzung.<ref>[[Karl-Dirk Kammeyer]], Kristian Kroschel: ''Digitale Signalverarbeitung. Filterung und Spektralanalyse. Mit MATLAB-Übungen.'' 6. korrigierte und ergänzte Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0072-6, Kap. 8.4, S. 326ff.</ref>
Berechnungsmethoden beschränken sich üblicherweise auf [[Bandbegrenzung|bandbeschränkte]] Signale (Signale, deren&nbsp;LDS für große Frequenzen verschwindet), die eine [[Zeitdiskretes Signal|diskrete Darstellung]] erlauben ([[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]]). Erwartungstreue, konsistente Schätzwerte bandbegrenzter Signale, die auf einer Modifizierung des Periodogramms beruhen, sind z.&nbsp;B. die ''Welch''-Methode oder ''Bartlett''-Methode. Schätzungen auf Basis der Autokorrelationsfunktion heißen ''[[Korrelogramm]]''-Verfahren, beispielsweise die ''Blackmann-Tukey''-Schätzung.<ref>[[Karl-Dirk Kammeyer]], Kristian Kroschel: ''Digitale Signalverarbeitung. Filterung und Spektralanalyse. Mit MATLAB-Übungen.'' 6. korrigierte und ergänzte Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0072-6, Kap. 8.4, S. 326ff.</ref>


== Anwendung und Einheiten ==
== Anwendung und Einheiten ==
Die Kenntnis und Analyse der spektralen Leistungsdichte von Nutzsignal und Rauschen ist wesentlich zur Bestimmung des [[Signal-Rausch-Verhältnis]]ses und zur Optimierung entsprechender [[Filter (Elektrotechnik)|Filter]] zur [[Rauschunterdrückung]], zum Beispiel im [[Bildrauschen]].
Die Kenntnis und Analyse der spektralen Leistungsdichte von [[Nutzsignal]] und Rauschen ist wesentlich zur Bestimmung des [[Signal-Rausch-Verhältnis]]ses und zur Optimierung entsprechender [[Filter (Elektrotechnik)|Filter]] zur [[Rauschunterdrückung]], zum Beispiel im [[Bildrauschen]]. Das Autoleistungsspektrum kann für Aussagen über den Frequenzgehalt der analysierten Signale herangezogen werden.
 
Spektralanalysatoren untersuchen die [[Elektrische Spannung|Spannung]] von Signalen. Für die Anzeige in Leistung ist die Angabe des [[Abschlusswiderstand]]es erforderlich. Mittels Spektralanalysatoren lässt sich aber die Spektralleistung nicht in einem infinitesimalen Frequenzband bestimmen, sondern nur in einem Frequenzintervall endlicher Länge. Die so erhaltene spektrale Darstellung heißt Mean-Square-Spektrum&nbsp;(MSS) und ihre Wurzel RMS-Spektrum (engl. Root-Mean-Square).
 
Die Länge des Frequenzintervalls ist stets mit angegeben und heißt Auflösebandbreite (engl. ''Resolution Bandwidth'', kurz&nbsp;RBW oder&nbsp;BW) in der Einheit&nbsp;[[Hertz (Einheit)|Hz]]. Die Umrechnung in [[Dezibel]] lautet, wie für Leistungsangaben standardisiert:
 
:<math>\text{MSS}_{dB} = 10 \log_{10}(\text{MSS})</math>,
 
während die Umrechnung für&nbsp;RMS lautet:
 
:<math>\text{RMS}_{dB} = 20 \log_{10}(\text{RMS})</math>
 
Damit sind die beiden Anzeigen in Dezibel zahlenmäßig identisch.


Das Autoleistungsspektrum kann für Aussagen über den Frequenzgehalt der analysierten Signale herangezogen werden. Spektralanalysatoren untersuchen die [[Elektrische Spannung|Spannung]] von Signalen. Für die Anzeige in Leistung ist die Angabe des Abschlusswiderstandes erforderlich.
Als Einheiten werden u.&nbsp;a. verwendet:
Mittels Spektralanalysatoren lässt sich aber die Spektralleistung nicht in einem infinitesimalen Frequenzband, sondern nur in einem Frequenzintervall endlicher Länge, bestimmen. Die so erhaltene spektrale Darstellung heißt Mean-Square-Spektrum (MSS) und ihre Wurzel RMS-Spektrum (engl. Root-Mean-Square). Die Länge des Frequenzintervalls ist stets mit angegeben und heißt Auflösebandbreite (engl. Resolution Bandwidth, kurz RBW oder BW) in der Einheit [Hz]. Die Umrechnung in [[Dezibel]] ist, wie für Leistungsangaben standardisiert, gemäß  <math>\text{MSS}_{dB} = 10 \log_{10}(\text{MSS})</math>, während die Umrechnung für RMS gemäß  <math>\text{RMS}_{dB} = 20 \log_{10}(\text{RMS})</math> erfolgt, womit die beiden Anzeigen in Dezibel zahlenmäßig identisch sind.
* [[Leistungspegel #dBm|dBm]]
Als Einheiten werden u.&nbsp;a. [ [[Leistungspegel|dBm]] ], [dBV], RMS-[V], PK-[V] (von engl. peak) verwendet. Die Angaben beziehen sich stets auf die verwendete Auflösebandbreite [Hz]. Beispielsweise erzeugt ein Sinussignal mit einem Spannungsverlauf von <math>f(t) = 10 \sin(\omega t)</math> V an einem Abschlusswiderstand von 50&nbsp;[[Ohm]] eine effektive Spannung von 30&nbsp;dBm oder 16,9897&nbsp;dBV oder 7,0711&nbsp;V (RMS) oder 10&nbsp;V (PK) für jede Auflösebandbreite.
* [[Bel_(Einheit) #Verwendung_mit_anderen_Maßeinheiten,_Anhängsel|dBV]]
* RMS-[V]
* PK-[V] (von engl. ''peak'').
Die Angaben beziehen sich stets auf die verwendete Auflösebandbreite in&nbsp;Hertz. Beispielsweise erzeugt ein [[Sinussignal]] mit einem Spannungsverlauf von <math>f(t) = 10 \sin(\omega t)</math> [[Volt|V]] an einem Abschlusswiderstand von 50&nbsp;[[Ohm]] eine effektive Spannung von 30&nbsp;dBm oder 16,9897&nbsp;dBV oder 7,0711&nbsp;V&nbsp;(RMS) oder 10&nbsp;V&nbsp;(PK) für jede Auflösebandbreite.


== Beispiele ==  
== Beispiele ==
[[Datei:SinRauschen_LDS.png|thumb|LDS eines monofrequenten Signals mit Quantisierungsrauschen]]
[[Datei:SinRauschen LDS.png|mini|LDS eines monofrequenten Signals mit Quantisierung&shy;srauschen]]
* Wenn die Korrelationsfunktion eine [[Delta-Distribution]] ist, spricht man von [[Weißes Rauschen|weißem Rauschen]], in diesem Fall ist <math>S_{XX}(\omega)</math> konstant.
* Wenn die Korrelationsfunktion eine [[Delta-Distribution]] ist, spricht man von [[Weißes Rauschen (Physik)|weißem Rauschen]], in diesem Fall ist <math>S_{XX}(\omega)</math> konstant.
* Für das thermische Rauschen, genauer die spektrale Rauschleistungsdichte, gilt: ''N''<sub>0</sub> =[[Boltzmannkonstante|''k''<sub>B</sub>]]·[[Temperatur|T]]. Bei 27&nbsp;°C beträgt es 4·10<sup>−21</sup>&nbsp;J = 4·10<sup>−21</sup>&nbsp;W/Hz = -204&nbsp;dBW/Hz = -174&nbsp;dBm/Hz
* Für das [[thermisches Rauschen|thermische Rauschen]], genauer für die spektrale Rauschleistungsdichte, gilt: ''N''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;[[Boltzmannkonstante|''k''<sub>B</sub>]]&nbsp;·&nbsp;[[Temperatur|T]]. Bei 27&nbsp;°C beträgt es 4·10<sup>−21</sup>&nbsp;J = 4·10<sup>−21</sup>&nbsp;W/Hz = −204&nbsp;dBW/Hz = −174&nbsp;dBm/Hz
* Im Bild rechts ist ein MSS von der Funktion <math>f(t) = \sin(2\pi 3500 t) + 2^{-16} R(t)</math> mit einem gleichverteilten Rauschprozess ([[Quantisierungsrauschen]]) <math>|R(t)|\le 1</math> bei einer Abtastrate von 44100 Hz und einer Auflösebandbreite von BW = 43,1 Hz (resultierend aus 44100 Hz / 1024 FFT Punkte) zu sehen, wie es beispielsweise von einer [[Compact Disc|CD]] kommen könnte. Die Spitze bei etwa -3 dB repräsentiert das Sinussignal auf dem Rauschgrund bei etwa -128 dB. Da die Leistungsangaben sich auf die Auflösebandbreite beziehen, kann man das [[Signal-Rausch-Verhältnis|SNR]] zu <math>-3-(-128 + 10 \log_{10} (22050/\text{BW} )) = 97{,}9\,\mathrm{dB}</math> ablesen (beachte das [[Logarithmus|Logarithmusgesetz]], das Multiplikationen in Additionen transformiert). Das aus dem Bild abgelesene SNR kommt damit dem theoretisch erwarteten von <math> 10 \log_{10}(1^2/2) - 10 \log_{10}( (2^{-16})^2/3) = 98{,}0905\,\mathrm{dB}</math> recht nahe.
* Im Bild rechts ist ein&nbsp;MSS der Funktion <math>f(t) = \sin(2 \pi 3500 t) + 2^{-16} R(t)</math> mit einem gleichverteilten Rauschprozess ([[Quantisierungsrauschen]]) <math>|R(t)|\le 1</math> bei einer [[Abtastrate]] von 44.100&nbsp;Hz und einer Auflösebandbreite von BW = 43,1&nbsp;Hz (resultierend aus 44100&nbsp;Hz&nbsp;/&nbsp;1024&nbsp;[[Schnelle Fourier-Transformation|FFT]]-Punkte) zu sehen, wie es beispielsweise von einer&nbsp;[[Compact Disc|CD]] kommen könnte. Die Spitze bei etwa −3&nbsp;dB repräsentiert das Sinussignal auf dem Rauschgrund bei etwa −128&nbsp;dB. Da die Leistungsangaben sich auf die Auflösebandbreite beziehen, kann man das [[Signal-Rausch-Verhältnis|SNR]] zu <math>-3-(-128 + 10 \log_{10} (22050/\text{BW} )) = 97{,}9\,\mathrm{dB}</math> ablesen (beachte das [[Logarithmus]]gesetz, das Multiplikationen in Additionen transformiert). Das aus dem Bild abgelesene SNR kommt damit dem theoretisch erwarteten von <math> 10 \log_{10}(1^2/2) - 10 \log_{10}( (2^{-16})^2/3) = 98{,}0905\,\mathrm{dB}</math> recht nahe.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
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* [[Parsevalsches Theorem]]
* [[Parsevalsches Theorem]]
* [[Spektrale Beschleunigungsdichte]]
* [[Spektrale Beschleunigungsdichte]]
* [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
* [[Spektraldichteschätzung]]


== Literatur ==
== Literatur ==
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<references />
<references />


[[Kategorie:Statistische Physik]]  
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Signalverarbeitung]]

Aktuelle Version vom 27. Februar 2022, 07:27 Uhr

Die spektrale Leistungsdichte einer Strahlung oder eines Signals ist definiert als die Leistung, die auf eine bestimmte Bandbreite von Frequenzen oder Wellenlängen entfällt, dividiert durch diese Bandbreite, wobei die Bandbreite immer schmaler, also infinitesimal klein, zu wählen ist. Die spektrale Leistungsdichte ist damit eine mathematische Funktion der Frequenz bzw. der Wellenlänge. In der Frequenzdarstellung hat sie die Dimension Leistung · Zeit (z. B. in Einheiten Watt/Hertz oder dBm/Hz). In der Wellenlängendarstellung hat sie die Dimension Leistung / Länge. Das Integral der spektralen Leistungsdichte über alle Frequenzen bzw. Wellenlängen ergibt die Gesamtleistung der Strahlung bzw. des Signals.

Leistungsdichte­spektrum eines Signals

Die spektrale Leistungsdichte wird oft einfach als Spektrum bezeichnet, in der Darstellung über der Frequenzachse auch als Leistungsdichtespektrum (LDS) oder Autoleistungsspektrum (engl.: Power-Spectral-Density (PSD), auch Wirkleistungsspektrum).

Handelsübliche Spektralanalysatoren für elektrische Signale zeigen nicht das mathematisch definierte Leistungsdichtespektrum exakt an, sondern das über die vorgewählte Bandbreite (engl.: resolution bandwidth (RBW)) gemittelte Leistungsdichtespektrum.

Allgemeines und Definition

Da für stationäre stochastische Prozesse $ f(t) $ im Allgemeinen weder die Energie $ \|f\|_{2}^{2} $ noch die Fouriertransformierte $ F{\big (}f{\big )}(\omega ) $ im klassischen Sinn existieren, liegt es nahe, zeitlich begrenzte Anteile $ f_{T}(t)=f(t) $ für $ |t|\leq T $ und $ 0 $ sonst zu betrachten.

Nach der Formel von Plancherel gilt

$ {\frac {1}{2T}}\int \limits _{\mathbb {R} }|f_{T}(t)|^{2}\mathrm {d} t={\frac {1}{2T}}\int \limits _{\mathbb {R} }|F(f_{T})(\omega )|^{2}\mathrm {d} \omega $

Falls die mittlere Signalleistung

$ r_{XX}(0):=\lim \limits _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int \limits _{-T}^{T}|f(t)|^{2}\mathrm {d} t $

existiert, existiert auch die rechte Seite obiger Formel und als spektrale Beschreibung der Leistung kann man die Spektrale Leistungsdichte definieren (falls der Grenzwert existiert) als

$ S_{XX}(\omega ):=\lim \limits _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}|F(f_{T})(\omega )|^{2} $

Für jedes endliche $ T $ heißt die Größe $ {\text{Per}}_{T}(\omega ):={\frac {1}{2T}}|F(f_{T})(\omega )|^{2} $ das Periodogramm von $ f $. Es stellt einen Schätzwert der Spektralen Leistungsdichte dar, dessen Erwartungswert aber nicht $ S_{XX}(\omega ) $ entspricht (nicht erwartungstreu) und dessen Varianz auch für beliebig große $ T $ nicht verschwindet (nicht konsistent).[1]

Eigenschaften und Berechnung

Gemäß dem Wiener-Chintschin-Theorem wird die spektrale Leistungsdichte oft als Fouriertransformierte der zeitlichen Autokorrelationsfunktion $ r_{xx}(t) $ des Signals gegeben:

$ S_{XX}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,F(r_{xx})(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(t)e^{-i\omega t}\mathrm {d} t $

Dabei ist

$ r_{xx}(t)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(\tau )\;{\overline {f(t+\tau )}}\mathrm {d} \tau $

die Autokorrelationsfunktion des zeitlichen Signals $ f(t) $.

Für Rauschsignale, allgemein für Prozesse, muss die Ergodizität vorausgesetzt werden, die es erlaubt, Eigenschaften der Zufallsvariablen wie den Erwartungswert aus einer Musterfunktion zu bestimmen. In der Praxis kann nur ein endliches Zeitfenster betrachtet werden, weshalb man die Integrationsgrenzen einschränken muss. Nur für eine stationäre Verteilung hängt die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Zeit $ t $ ab.

Das Autoleistungsdichtespektrum ist gerade, reell und positiv. Dies bedeutet einen Informationsverlust, der eine Umkehrung dieser Prozedur verhindert (Irreversibilität).

Wird ein (Rausch-)Prozess mit Leistungsdichtespektrum $ S_{XX}(\omega ) $ über ein lineares, zeitinvariantes System mit Übertragungsfunktion $ H(\omega ) $ übertragen, so ergibt sich am Ausgang ein Leistungsdichtespektrum von

$ S_{YY}(\omega )=|H(\omega )|^{2}\cdot S_{XX}(\omega ). $

Die Übertragungsfunktion geht quadratisch in die Formel ein, da das Spektrum eine Leistungsgröße ist. Das bedeutet, dass z. B. P=Strom mal Spannung ist und Strom und Spannung beide mit :$ |H(\omega )| $ multipliziert werden. Somit $ |H(\omega )| $*Strom * $ |H(\omega )| $*Spannung=$ |H(\omega )|^{2} $*Strom*Spannung.

Das Autoleistungsspektrum kann dargestellt werden als einseitiges Spektrum $ G_{XX}(f) $ mit $ f\geq 0 $. Dann gilt:

$ G_{XX}=S_{XX}(f)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad f=0 $

und

$ G_{XX}=2S_{XX}(f)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad f>0\,. $

Berechnungsmethoden beschränken sich üblicherweise auf bandbeschränkte Signale (Signale, deren LDS für große Frequenzen verschwindet), die eine diskrete Darstellung erlauben (Nyquist-Shannon-Abtasttheorem). Erwartungstreue, konsistente Schätzwerte bandbegrenzter Signale, die auf einer Modifizierung des Periodogramms beruhen, sind z. B. die Welch-Methode oder Bartlett-Methode. Schätzungen auf Basis der Autokorrelationsfunktion heißen Korrelogramm-Verfahren, beispielsweise die Blackmann-Tukey-Schätzung.[2]

Anwendung und Einheiten

Die Kenntnis und Analyse der spektralen Leistungsdichte von Nutzsignal und Rauschen ist wesentlich zur Bestimmung des Signal-Rausch-Verhältnisses und zur Optimierung entsprechender Filter zur Rauschunterdrückung, zum Beispiel im Bildrauschen. Das Autoleistungsspektrum kann für Aussagen über den Frequenzgehalt der analysierten Signale herangezogen werden.

Spektralanalysatoren untersuchen die Spannung von Signalen. Für die Anzeige in Leistung ist die Angabe des Abschlusswiderstandes erforderlich. Mittels Spektralanalysatoren lässt sich aber die Spektralleistung nicht in einem infinitesimalen Frequenzband bestimmen, sondern nur in einem Frequenzintervall endlicher Länge. Die so erhaltene spektrale Darstellung heißt Mean-Square-Spektrum (MSS) und ihre Wurzel RMS-Spektrum (engl. Root-Mean-Square).

Die Länge des Frequenzintervalls ist stets mit angegeben und heißt Auflösebandbreite (engl. Resolution Bandwidth, kurz RBW oder BW) in der Einheit Hz. Die Umrechnung in Dezibel lautet, wie für Leistungsangaben standardisiert:

$ {\text{MSS}}_{dB}=10\log _{10}({\text{MSS}}) $,

während die Umrechnung für RMS lautet:

$ {\text{RMS}}_{dB}=20\log _{10}({\text{RMS}}) $

Damit sind die beiden Anzeigen in Dezibel zahlenmäßig identisch.

Als Einheiten werden u. a. verwendet:

  • dBm
  • dBV
  • RMS-[V]
  • PK-[V] (von engl. peak).

Die Angaben beziehen sich stets auf die verwendete Auflösebandbreite in Hertz. Beispielsweise erzeugt ein Sinussignal mit einem Spannungsverlauf von $ f(t)=10\sin(\omega t) $ V an einem Abschlusswiderstand von 50 Ohm eine effektive Spannung von 30 dBm oder 16,9897 dBV oder 7,0711 V (RMS) oder 10 V (PK) für jede Auflösebandbreite.

Beispiele

LDS eines monofrequenten Signals mit Quantisierung­srauschen
  • Wenn die Korrelationsfunktion eine Delta-Distribution ist, spricht man von weißem Rauschen, in diesem Fall ist $ S_{XX}(\omega ) $ konstant.
  • Für das thermische Rauschen, genauer für die spektrale Rauschleistungsdichte, gilt: N0 = kB · T. Bei 27 °C beträgt es 4·10−21 J = 4·10−21 W/Hz = −204 dBW/Hz = −174 dBm/Hz
  • Im Bild rechts ist ein MSS der Funktion $ f(t)=\sin(2\pi 3500t)+2^{-16}R(t) $ mit einem gleichverteilten Rauschprozess (Quantisierungsrauschen) $ |R(t)|\leq 1 $ bei einer Abtastrate von 44.100 Hz und einer Auflösebandbreite von BW = 43,1 Hz (resultierend aus 44100 Hz / 1024 FFT-Punkte) zu sehen, wie es beispielsweise von einer CD kommen könnte. Die Spitze bei etwa −3 dB repräsentiert das Sinussignal auf dem Rauschgrund bei etwa −128 dB. Da die Leistungsangaben sich auf die Auflösebandbreite beziehen, kann man das SNR zu $ -3-(-128+10\log _{10}(22050/{\text{BW}}))=97{,}9\,\mathrm {dB} $ ablesen (beachte das Logarithmusgesetz, das Multiplikationen in Additionen transformiert). Das aus dem Bild abgelesene SNR kommt damit dem theoretisch erwarteten von $ 10\log _{10}(1^{2}/2)-10\log _{10}((2^{-16})^{2}/3)=98{,}0905\,\mathrm {dB} $ recht nahe.

Siehe auch

  • Parsevalsche Gleichung
  • Parsevalsches Theorem
  • Spektrale Beschleunigungsdichte
  • Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse
  • Spektraldichteschätzung

Literatur

  • Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme. 6. neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58753-5.

Einzelnachweise

  1. Karl-Dirk Kammeyer, Kristian Kroschel: Digitale Signalverarbeitung. Filterung und Spektralanalyse. Mit MATLAB-Übungen. 6. korrigierte und ergänzte Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0072-6, Kap. 8.3, S. 315ff.
  2. Karl-Dirk Kammeyer, Kristian Kroschel: Digitale Signalverarbeitung. Filterung und Spektralanalyse. Mit MATLAB-Übungen. 6. korrigierte und ergänzte Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0072-6, Kap. 8.4, S. 326ff.