R-Matrix

R-Matrix

In der statistischen Physik werden Matrizen $ R\in Mat(n) $, welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang[1] und Rodney Baxter[2]):

$ R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12} $

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine $ n^{2}\times n^{2} $-Matrix $ R $ mit Einträgen $ r_{ij}^{kl} $ kann als Endomorphismus des $ \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n} $ mit Basis $ e_{i}\otimes e_{j} $ aufgefasst werden, also

$ R(e_{i}\otimes e_{j})=\sum _{k,l}r_{ij}^{kl}e_{k}\otimes e_{l} $.

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

$ R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12} $,

wobei $ R^{ij} $ der Endomorphismus von $ \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n} $ ist, der auf den Faktoren $ i,j $ als $ R $ wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

$ R^{12}=R\otimes id,R^{23}=id\otimes R $

und

$ R^{13}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})=\sum _{a,b}r_{ik}^{ab}e_{a}\otimes e_{j}\otimes e_{b} $.

R-Matrizen in der Quantenmechanik

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312
  2. Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR 75051