Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.[1]
Ersetzt man dort die komplexe Funktion $ \psi $ durch ihren Betrag $ \rho $ und ihre Phase $ S $ gemäß $ \psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {i}{\hbar }}S} $, so erhält man die Madelunggleichungen:[1]
- $ \partial _{t}\rho +{\frac {1}{m}}\nabla (\rho \nabla S)=0 $
- $ \partial _{t}S+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+V(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=0, $
wobei $ V $ das Potential aus der Schrödingergleichung ist.
Die erste dieser beiden Gleichungen hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,
die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).
Interpretation
$ S $ wird als Wirkung interpretiert, $ \nabla S $ als Impuls. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) deuten wie folgt:[2][3]
- $ \partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}{\vec {v}})=0, $
- $ {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\partial _{t}{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}=-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V), $
wobei
- $ {\vec {v}}({\vec {x}},t)=\mathbf {\nabla } S/m $ (Strömungsgeschwindigkeit) bzw. $ \nabla S=m\cdot {\vec {v}} $ (Impuls)
- $ \rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2} $ (Massedichte) mit Normierungsbedingung $ \int \rho ({\vec {x}},t)d^{3}x=1 $ bzw. $ \int \rho _{m}({\vec {x}},t)d^{3}x=m $ zu jeder Zeit $ t $
- $ Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}} $ (Bohmsches Quantenpotential).
Bedeutung
Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.
Siehe auch
Literatur
Einzelnachweise
- ↑ 1,0 1,1 Erwin Madelung: Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger. In: Naturwissenschaften. 14. Jahrgang, Nr. 45, 1926, S. 1004–1004, doi:10.1007/BF01504657, bibcode:1926NW.....14.1004M.
- ↑ Erwin Madelung: Quantentheorie in hydrodynamischer Form. In: Z. Phys. 40. Jahrgang, Nr. 3–4, 1927, S. 322–326, doi:10.1007/BF01400372, bibcode:1927ZPhy...40..322M.
- ↑
I. Bialynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kaminski: Theory of Quanta. Oxford University Press, 1992, ISBN 0195071573..
