Die Hermann-Mauguin-Symbolik (nach den Kristallographen Carl Hermann und Charles-Victor Mauguin) wird zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Beschreibung der 32 kristallographischen Punktgruppen und der 230 kristallographischen Raumgruppen. Weiter wird sie zur Beschreibung zweidimensionaler ebener Gruppen, zwei- und dreidimensionaler subperiodischer Gruppen (Bandornament-, Stab- und Schichtgruppen) und nicht kristallographischer Gruppen verwendet. Normiert ist sie in den International Tables for Crystallography.
Neben der Symbolik nach Hermann-Mauguin existiert eine Schreibweise nach Arthur Moritz Schoenflies, die Schoenflies-Symbolik. Sie wird jedoch kaum noch für die Beschreibung eines kristallinen Zustands genutzt, sondern zur Beschreibung der Symmetrie von Molekülen.
Eine Drehung um $ {\frac {360^{\circ }}{n}} $ wird dargestellt durch $ n $ (gesprochen „n-fache Drehung“).
Spezialfälle sind:
In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehungen vorkommen:
| n (= Anzahl symmetrieäquivalente Teilchen) |
Beschreibung | Drehwinkel | Bemerkung |
|---|---|---|---|
| $ 1 $ | Identität | 0° = 360° | Element jeder Gruppe |
| $ 2 $ | zweizählige Drehachse |
180° | |
| $ 3 $ | dreizählige Drehachse |
120° | |
| $ 4 $ | vierzählige Drehachse |
90° | |
| $ 6 $ | sechszählige Drehachse |
60° |
Eine Drehung um $ {\frac {360^{\circ }}{n}} $ und anschließende Punktspiegelung an einem Punkt auf der Drehachse wird dargestellt durch $ {\overline {n}} $.
In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehinversionen vorkommen:
| $ {\overline {n}} $ | Beschreibung | Drehwinkel | Anzahl symmetrieäquivalente Teilchen |
|---|---|---|---|
| $ {\overline {1}} $ | Inversion / Punktspiegelung | 0° = 360° | 2 |
| $ \mathrm {m} $ $ (={\overline {2}}) $* |
zweizählige Drehinversionsachse |
180° | 2 |
| $ {\overline {3}} $ | dreizählige Drehinversionsachse |
120° | 6 |
| $ {\overline {4}} $ | vierzählige Drehinversionsachse |
90° | 4 |
| $ {\overline {6}} $ | sechszählige Drehinversionsachse |
60° | 6 |
Eine Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene $ m $ wird dargestellt durch $ {\frac {n}{m}} $ oder $ n/m\ $ (jeweils gesprochen „n über m“; beide Schreibweisen sind äquivalent, die erste ist in der älteren Literatur üblich).
| $ {\frac {n}{m}}=n/m\ $ | Beschreibung | Anzahl symmetrieäquivalente Teilchen |
|---|---|---|
| $ {\frac {2}{m}}=2/m $ | zweizählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene |
4 |
| $ {\overline {6}} $ $ (={\frac {3}{m}}=3/m) $* |
dreizählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene |
6 |
| $ {\frac {4}{m}}=4/m $ | vierzählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene |
8 |
| $ {\frac {6}{m}}=6/m $ | sechszählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene |
12 |
Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 Punktgruppen (Kristallklassen) beschreiben, da deren Symmetrieoperationen anders als die Raumgruppen (s. u.) keine Translation beinhalten.
Für jedes Kristallsystem werden die Symmetrieoperationen bezüglich dreier vorgegebener kristallographischer Richtungen angegeben:
| Kristallsystem | 1. Stelle | 2. Stelle | 3. Stelle |
|---|---|---|---|
| monoklin | $ [100]\; $ | $ [010]\; $ | $ [001]\; $ |
| orthorhombisch | $ [100]\; $ | $ [010]\; $ | $ [001]\; $ |
| tetragonal | $ [001]\; $ | $ \langle 100\rangle $ | $ \langle 110\rangle $ |
| trigonal, hexagonale Aufstellung |
$ [00.1]\; $ | $ \langle 10.0\rangle $ | $ \langle 12.0\rangle $ |
| hexagonal | $ [00.1]\; $ | $ \langle 10.0\rangle $ | $ \langle 12.0\rangle $ |
| trigonal, rhomboedrische Aufstellung |
$ [111]\; $ | $ \langle 1{\bar {1}}0\rangle $ | |
| kubisch | $ \langle 100\rangle $ | $ \langle 111\rangle $ | $ \langle 110\rangle $ |
Im triklinen Kristallsystem gibt es die Punktgruppen
(Die farbig hinterlegten Richtungen werden in den Punktgruppensymbolen grundsätzlich nicht angegeben, da dort nie Symmetrieelemente außer $ 1 $ oder $ {\bar {1}} $ liegen. Für die Raumgruppensymbole werden sie aber gelegentlich benötigt.)
Bei der gekürzten Schreibweise der Hermann-Mauguin-Symbole werden redundante Informationen weggelassen: so wird z. B. $ 4/m\ m\ m $ statt $ 4/m\ 2/m\ 2/m $ geschrieben.
Die Bezeichnung für die Raumgruppen funktioniert im Prinzip wie die der Punktgruppen.
Zusätzlich wird das Bravais-Gitter vorangestellt:
Außerdem treten zusätzliche Symbole auf:
Ein Beispiel für eine tetragonale Raumgruppe in gekürzter Schreibweise ist $ I\ 4_{1}/a\ m\ d $.