Bethe-Ansatz

Der Bethe-Ansatz ist eine analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen. 1931 präsentierte Hans Bethe^[1] diese Methode zur Berechnung der exakten Eigenwerte (Eigenenergien) und Eigenvektoren des eindimensionalen Heisenbergmodells. Der eigentliche Bethe-Ansatz beschreibt dabei die Parameterisierung der Eigenvektoren als Ansatz für die Lösung des Eigenwertproblems (Schrödingergleichung).

Varianten des Bethe-Ansatzes führen zur exakten Lösung des Kondo-Modells, welche unabhängig 1980 von Paul Wiegmann^[2] und Natan Andrei^[3] gefunden wurde, und des Anderson model (P.B. Wiegmann^[4] und N. Kawakami, A. Okiji^[5], 1981).

Bethe-Ansatz für das 1D-Heisenberg Modell

Der Bethe-Ansatz wurde ursprünglich für das eindimensionale Heisenberg-Modell mit nächster Nachbarwechselwirkung und periodischen Randbedingungen entwickelt:

$ H=-J\sum _{n=1}^{N}{\vec {S}}_{n}\cdot {\vec {S}}_{n+1}=-J\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}(S_{n}^{+}S_{n+1}^{-}+S_{n}^{-}S_{n+1}^{+})+S_{n}^{z}S_{n+1}^{z}\right] $

Abhängig vom Vorzeichen der Kopplungskonstante $ J $ ist der Grundzustand ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch:

$ J{\begin{cases}>0&{\text{Ferromagnet}}\\<0&{\text{Anti-Ferromagnet}}\\\end{cases}} $

Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt für den Bethe-Ansatz. Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle Spins in eine Richtung ausgerichtet. Diese wird o.B.d.A in $ z $-Richtung angenommen. Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als:

$ |F\rangle =|\uparrow \uparrow \uparrow ...\uparrow \rangle $

Im Bethe-Ansatz werden die Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplätzen $ n_{1} $ und $ n_{2} $ angegeben als:

$ |n_{1}n_{2}\rangle =|\uparrow \uparrow \underbrace {\downarrow } _{n_{1}}\uparrow ..\uparrow \underbrace {\downarrow } _{n_{2}}\uparrow ...\uparrow \rangle $

Die Eigenzustände des Hamilton-Operators des Heisenberg-Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustände. Dabei sind nur Linearkombinationen von Zuständen mit der gleichen Anzahl r von umgeklappten Spins zulässig. Dieses ist begründet in der Tatsache, dass der $ S_{z} $-Operator mit dem Hamilton-Operator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher $ S_{z} $-Quantenzahl bestehen müssen. Zur Berechnung dieser Zustände ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunächst Zustände mit lediglich einem umgeklappten Spin. Dieser wird dann auf Superpositionen von Zuständen mit $ r $ umgeklappten Spins ausgeweitet.

r=1

Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz $ n $:

$ |\Psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}a(n)|n\rangle $

Die Eigenvektoren sind Lösungen der stationären Schrödingergleichung $ H|\Psi \rangle =E|\Psi \rangle $. Mittels Koeffizientenvergleich findet man $ N $ linear unabhängige Gleichungen für die Koeffizienten $ a(n) $:

$ 2[E-E_{0}]a(n)=J[2a(n)-a(n-1)-a(n+1)] $

Lösungen dieser Gleichungen, die auch die Bedingung für periodische Randbedingungen $ a(n+N)=a(n) $ erfüllen, sind ebene Wellen:

$ a(n)=e^{ikn},\qquad k={\frac {2\pi }{N}}m\qquad {\text{mit}}\quad m=0,1,...N-1 $

Damit sind die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin angegeben. Die Energie dieser Zustände folgt aus der Schrödingergleichung:

$ E-E_{0}=J(1-cos(k)) $

Der nächste Schritt besteht darin, sich Superpositionen aus Zuständen mit zwei umgeklappten Spins anzuschauen.

r=2

Der Ansatz für die Eigenvektoren lautet:

$ |\Psi \rangle =\sum _{n1<n2}^{N}a(n_{1},n_{2})|n_{1},n_{2}\rangle $

Bethes Ansatz für die Koeffizienten $ a(n_{1},n_{2}) $ sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden $ A_{1} $ und $ A_{2} $:

$ a(n_{1},n_{2})=A_{1}e^{i(k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2})}+A_{2}e^{i(k_{1}n_{2}+k_{2}n_{1})} $

Die Parameter $ A_{1} $ und $ A_{2} $ werden durch das Einsetzen in die Schrödingergleichung ermittelt. Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhältnis:

$ {\frac {A_{1}}{A_{2}}}=e^{i\theta }=-{\frac {e^{i(k_{1}+k_{2})}+1-2e^{ik_{1}}}{e^{i(k_{1}+k_{2})}+1-2e^{ik_{2}}}} $

welches man in den Ansatz für die Koeffizienten hinzufügt:

$ a(n_{1},n_{2})=e^{i(k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2}+{\frac {1}{2}}\theta _{12})}+e^{i(k_{1}n_{2}+k_{2}n_{1}+{\frac {1}{2}}\theta _{21})} $

Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt, dass die Wellenzahlen $ k_{1},k_{2} $ und der Winkel $ \theta =\theta _{12}=-\theta _{2,1} $ folgende Gleichungen erfüllen müssen:

$ 2\cot {\frac {\theta }{2}}=\cot {\frac {k_{1}}{2}}-\cot {\frac {k_{2}}{2}}\qquad Nk_{1}=2\pi \lambda _{1}+\theta \qquad Nk_{2}=2\pi \lambda _{2}-\theta $

wobei die ganzen Zahlen $ \lambda _{i}={0,1...N} $ Bethe-Quantenzahlen genannt werden. Damit sind alle Eigenvektoren für $ r=2 $ bestimmt durch alle möglichen Paare, die die Gleichungen erfüllen. Die Energie ist dann geben mittels:

$ E-E_{0}=J\sum _{j=1,2}(1-\cos(k_{j})) $

Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit $ r $ umgeklappten Spins bestehen.

r beliebig

Für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit $ r $ umgeklappten Spins bestehen, lautet der Ansatz:

$ |\Psi \rangle =\sum _{n1<n2<..<n_{r}}^{N}a(n_{1},n_{2},..,n_{r})|n_{1},n_{2},..,n_{r}\rangle $

mit den Koeffizienten:

$ a(n_{1},..n_{r})=\sum _{P\in S_{r}}\exp \left(i\sum _{j=1}^{r}k_{P_{j}}n_{j}+i\sum _{i<j}\theta _{P_{i}P_{j}}\right) $

Die Summe läuft dabei über alle möglichen $ r! $ Permutationen der Zahlen $ {1,..,r} $. Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als Bethe-Ansatz bezeichnet. Einsetzen in die Schrödingergleichung und die periodischen Randbedingungen führen zu den Bethe-Ansatz-Gleichungen:

$ {\begin{alignedat}{2}2\cot {\frac {\theta _{ij}}{2}}&=\cot {\frac {k_{i}}{2}}-\cot {\frac {k_{j}}{2}}&\qquad {\text{mit}}\quad &i,j=1..r\\Nk_{i}&=2\pi \lambda _{i}+\sum _{j\neq i}\theta _{ij}&&\lambda _{i}={1,..,N-1}\end{alignedat}} $

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen $ (\lambda _{1},..\lambda _{r}) $, die die Bethe-Ansatz-Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die Energie des zugehörigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels

$ (E-E_{0})=J\sum _{j=1}^{r}(1-\cos k_{j}) $

angegeben werden.

Weblinks

• Einführung zum Bethe-Ansatz (englisch)

Quellen