Variationsmethode

Variationsmethode

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Die Variationsmethode ist in der Quantenmechanik ein Näherungsverfahren, um eine obere Schranke für Eigenwerte einer quantenmechanischen Observablen mit diskretem Spektrum zu finden. Eine Verallgemeinerung der Methode führt auf das Min-Max-Prinzip.

Verfahren

Grundzustand

Das Verfahren basiert darauf, dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke für den Erwartungswert der Messung der Observablen ist: Ist $ g_{i} $ die Entartung eines Eigenwertes $ i $, so lässt sich ein beliebiger Zustand als

$ |\psi \rangle =\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}c_{i,j}|\psi _{i,j}\rangle $

schreiben, wobei die $ |\psi _{i,j}\rangle $ ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Für den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen $ H $ mit Eigenwerten $ E_{i} $ gilt dann

$ \langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}E_{i}|c_{i,j}|^{2}\geq E_{0}\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}|c_{i,j}|^{2}=E_{0}\langle \psi |\psi \rangle $.

Es lässt sich demnach eine obere Schranke für $ E_{0} $ finden, wenn man für eine Schar von Zuständen $ |\psi _{\alpha }\rangle $ den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht:

$ E_{0}\leq \inf _{\alpha }{\frac {\langle \psi _{\alpha }|H|\psi _{\alpha }\rangle }{\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle }} $.

Angeregte Zustände

Ist $ |\psi _{0}\rangle $ die Eigenfunktion zu einem (nicht entarteten) Grundzustand mit Eigenwert $ E_{0} $, so lässt sich für einen beliebigen Zustand $ |\psi \rangle $ schreiben

$ H|\psi \rangle =c_{0}E_{0}|\psi _{0}\rangle +\varepsilon |\varphi \rangle $,

wo $ |\varphi \rangle \perp |\psi _{0}\rangle $. Zerlegt man $ |\varphi \rangle $ wie oben in Eigenzustände, erhält man unter der Nebenbedingung $ \langle \varphi |\psi _{0}\rangle =0 $

$ E_{1}\leq \inf _{\alpha }{\frac {\langle \varphi _{\alpha }|H|\varphi _{\alpha }\rangle }{\langle \varphi _{\alpha }|\varphi _{\alpha }\rangle }} $,

da in der Summe der Wert $ i=0 $ fehlt.

Die Suche nach weiteren Eigenzuständen erfolgt analog, wobei dann unter Orthogonalität zu mehreren Teilräumen, die die niedrigeren Eigenwerte aufspannen, zu minimieren ist.

Literatur

  • Alberto Galindo, Pedro Pascual: Quantum Mechanics II. Kapitel 10.9; Springer, 1991
  • Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Kapitel 44; Spektrum, 2008