Das Schrödinger-Bild der Quantenmechanik ist ein Formalismus für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. In Schrödinger-Bild wird die zeitliche Entwicklung der Zustände des Systems von den Zustandsvektoren getragen, die Operatoren ändern sich (abgesehen von eventuellen expliziten Zeitabhängigkeiten) nicht. Das Schrödinger-Bild unterscheidet sich damit vom Heisenberg-Bild der Quantenmechanik, in dem die Zustände zeitlich konstant sind und die Zeitentwicklung von den Operatoren getragen wird, sowie vom Wechselwirkungsbild, in dem sich sowohl Zustände als auch Operatoren mit der Zeit ändern. Das Schrödinger-Bild eignet sich vor allem zur Beschreibung von Problemen, in denen der Hamilton-Operator des Systems nicht explizit von der Zeit abhängt. Die Zeitentwicklung von Zuständen $ |\psi (t)\rangle $ wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:
wobei $ {\hat {H}} $ den Hamilton-Operator des Systems beschreibt. Die meisten Operatoren, z. B. der Ortsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{x} oder der Impulsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{p} tragen keine Zeitabhängigkeit (weder implizit noch explizit). Ist der Hamilton-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H} des Systems auch zeitunabhängig, so ist die Lösung der Schrödingergleichung zu einem Anfangszustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi (t=t_0) \rangle gegeben durch
Die möglichen Zustände eines quantenmechanischen Systems sind Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi \rangle in einem Hilbert-Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H} . Für jede messbare Eigenschaft des Systems gibt es nun einen hermiteschen Operator $ T $. Der Erwartungswert der zugehörigen Messgröße bei wiederholter Messung an Systemen im selben Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi \rangle ist dann gegeben durch das Skalarprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \psi| T | \psi \rangle .
Sollen sich die Eigenschaften des Systems mit der Zeit verändern, so muss entweder der Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi \rangle , der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T oder beide eine Zeitabhängigkeit tragen. Je nach Modell kann man die Zeitentwicklung vollständig den Operatoren zuweisen (dann befindet man sich im Heisenberg-Bild) oder den Zuständen (dann befindet man sich im Schrödinger-Bild) oder gemischt beiden (dann befindet man sich im Wechselwirkungsbild). Alle diese Modelle sind äquivalent und liefern dieselben physikalischen Vorhersagen.
Das Schrödinger-Bild ist vor allem dazu geeignet, Systeme zu beschreiben, in denen sich die äußeren Rahmenbedingungen (also zum Beispiel von außen angelegte elektromagnetische Felder, oder die geometrischen Abmessungen des Systems) nicht ändern. In diesem Fall tragen die Messgrößen bzw. ihre zugeordneten Operatoren keine explizite Zeitabhängigkeit, es gilt also für alle Observablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{T} :
Die Zeitabhängigkeit liegt stattdessen vollständig bei den Zuständen, deren Zeitentwicklung durch die Schrödinger-Gleichung
gegeben ist. Sind die Rahmenbedingungen des Systems nicht statisch, so können auch die Messgrößen eine explizite Zeitabhängigkeit tragen. Die Entwicklung des Zustands des Systems ist dann zwar weiterhin durch die Schrödingergleichung gegeben, allerdings trägt dann der Hamiltonoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H} des Systems in der Regel eine explizite Zeitabhängigkeit, die das Lösen der Schrödingergleichung verkompliziert.
Die Zeitentwicklung von Zuständen kann man auch als Wirkung eines zeitabhängigen, unitären Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{U}(t,t_0) auffassen. Dieser Operator bildet den anfänglichen Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi (t_0) \rangle des Systems zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_0 auf die Lösung $ |\psi (t)\rangle $ der Schrödingergleichung zu einem anderen Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t ab:
Der Zeitentwicklungsoperator eines quantenmechanischen Systems spielt damit die analoge Rolle zum Fluss eines dynamischen Systems. Für die zugehörigen Kets Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \psi (t_0) | folgt daraus:
Wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{U}^{\dagger}(t,t_0) den zu $ {\hat {U}}(t,t_{0}) $ adjungierten Operator bezeichnet.
Der Zeitentwicklungsoperator ist ein Unitärer Operator, die Norm eines quantenmechanischen Zustands ändert sich also in der zeitlichen Entwicklung nicht:
Wie für alle unitären Operatoren gilt damit für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{U}(t,t_0) , dass der zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{U}(t,t_0) adjungierte Operator sein Inverses ist:
Ist t = t0, dann wirkt U wie der Einheitsoperator, da dann ja gilt:
Seien drei Zeiten $ t_{0} $, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_2 gegeben. Dann erfüllt der Zeitentwicklungsoperator die Bedingung:
Denn für beliebige Anfangszustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi(t_0) \rangle muss ja gelten:
Für beliebige Anfangszustände $ |\psi (t_{0})\rangle $ ist
eine Lösung der Schrödingergleichung, damit gilt also für beliebiges, festes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi(t_0) \rangle , dass
Da dies für beliebiges Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi(t_0) \rangle gilt, muss schon die folgende Operator-Gleichung gelten:
Ist der Hamiltonian $ {\hat {H}} $ nicht explizit zeitabhängig, so kann man diese Differentialgleichung für den Operator \hat{U}(t,t_0) durch einen einfachen Exponentialansatz lösen:
Die Exponentialfunktion eines Operators ist dabei für beschränkte Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{T} über die zugehörige Potenzreihe
erklärt. Für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren, bei denen der Begriff der Konvergenz einer Potenzreihe nicht definiert ist, benötigt man zur Definition der Exponentialfunktion eines Operators Hilfsmittel wie die Spektralzerlegung des Operators.
Besonders einfach ist die Wirkung des Zeitentwicklungsoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{U(t,t_0)} auf Eigenvektoren des Hamiltonians Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H} . Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | E \rangle ein Eigenvektor von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H} zum Eigenwert $ E\in \mathbb {R} $ so gilt:
Was man leicht überprüft, indem man den Zeitentwicklungsoperator als Potenzreihe ausschreibt. Die Eigenzustände des Hamilton-Operators ändern sich damit im zeitlichen Verlauf nur um einen Phasenfaktor. Kann man einen anderen Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi(t_0) \rangle als Linearkombination von Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |E_n \rangle des Hamiltonians schreiben, also Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_n finden, sodass gilt:
Dann gilt für die Zeitentwicklung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi(t_0)\rangle aufgrund der Linearität des Zeitentwicklungsoperators
Damit ist die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung zurückgeführt auf das Problem der Entwicklung von Zuständen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \psi(t_0) \rangle nach den Eigenzuständen des Hamiltonians.
Ist der Hamiltonian nicht zeitunabhängig, so verkompliziert sich die Bestimmung des Zeitentwicklungsoperators. Im allgemeinen Fall ist der Zeitentwicklungsoperator gegeben durch die Dyson-Reihe
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{T} den Zeitordnungsoperator bezeichnet. Nimmt man an, dass die Hamilton-Operatoren zwar zeitabhängig sind, aber zumindest miteinander kommutieren, also für beliebige $ t_{1} $,Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_2 die Bedingung
erfüllen, so wirkt der Zeitordnungsoperator als Identität und der Ausdruck vereinfacht sich zu