Biegewelle

Biegewellen sind transversale Wellen, die sich in begrenzten Medien mit nichtverschwindender Schubspannung ausbreiten können, beispielsweise in Balken (Anwendungsfall: u. a. Triangel) und in Platten (Anwendungsfall: u. a. Glocken). Im Gegensatz zu Dehnwellen findet die periodische Auslenkung des Mediums senkrecht ("transversal") zur Ausbreitungsrichtung statt, so dass die Welle auch als periodische Änderung des Krümmungsradius beschrieben wird.

Wellengleichung

Balken

Die Wellengleichung einer Biegewelle auf einem Balken lautet in erster Ordnung nach der Euler-Bernoulli-Theorie:

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}+\frac{E\cdot I}{\rho \cdot A}\cdot \frac{{\partial }^{4}z}{\partial x^4}=0$

mit

• $z(\overrightarrow{x},t)$ die transversale Auslenkung (in der Abb.: z senkrecht, x waagerecht)
• $t$ die Zeit
• $E$ der Elastizitätsmodul
• $I$ das Flächenträgheitsmoment
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E \cdot I die Biegesteifigkeit
• $\rho$ die Dichte des Balkens
• $A$ die Balkenquerschnittsfläche.

Für eine Dimension (Ortsvariable $x$) ergibt sich aus dem harmonischen Lösungsansatz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z = z_0 \cdot e^{i(\omega t + k x)}

mit

• der Amplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z_0
• der Eulerschen Zahl $e$
• der imaginären Einheit $i$
• der Kreisfrequenz $\omega =2\pi \cdot f$
• der Kreiswellenzahl $k$

die Dispersionsrelation:

$k^2=\sqrt{\frac{\rho \cdot A}{E\cdot I}}\cdot \omega .$

Die Phasengeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c = \frac{\omega}{k} ist damit stark von der Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f (und damit auch von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega ) abhängig:

$c=\sqrt{\omega }\cdot \sqrt[4]{\frac{E\cdot I}{\rho \cdot A}}$.

Platte

Die entsprechende Gleichung für eine Biegewelle auf einer Platte lautet:

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}+\frac{E{h}^2}{12\rho (1-{\mu }^2)}{\mathrm{\nabla }}^{4}z=0$

mit den zusätzlichen Bezeichnungen

• $h$ die Höhe der Platte
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu die Querkontraktionszahl
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla der Nabla-Operator.

Diese Gleichung führt auf die Dispersionsrelation

$k^2=\frac{\sqrt{12}}{h}\cdot \sqrt{\frac{\rho \cdot (1-{\mu }^2)}{E}}\cdot \omega$

und die Phasengeschwindigkeit:

$c=\sqrt{\omega }\cdot \sqrt[4]{\frac{h^2\cdot E}{12\cdot \rho \cdot (1-{\mu }^2)}}.$

Gruppengeschwindigkeit

In beiden Fällen ist die Gruppengeschwindigkeit $c_g=\frac{d\omega }{dk}$ gerade doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_g = 2 \cdot c .

Literatur

• Michael Möser: Technische Akustik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71386-9 (google-books)