Streumassenradius

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Bei Strukturuntersuchungen an weicher Materie ist der Streumassenradius (auch Gyrationsradius oder teilweise Trägheitsradius^[1] genannt) eine wichtige Größe zur Charakterisierung der räumlichen Ausdehnung unregelmäßig geformter Partikel. Je kompakter ein Objekt, desto kleiner sein Streumassenradius. Er lässt sich durch Streuexperimente bestimmen.

Die Definition des Streumassenradius ähnelt der des Trägheitsmoments. Bestehen die Partikel aus N gleichartigen Bausteinen mit Ortsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}_1\dots\vec{r}_\text{N} , so ist das Quadrat des Streumassenradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\text{G} definiert als der mittlere quadratische Abstand der Bausteine (beispielsweise der Monomere einer Polymerkette) zum Schwerpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}_\text{S} des Partikels:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\text{G}^2 = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^N \left| \vec{r}_i - \vec{r}_\text{S} \right|^2 .

Ist die Massenverteilung im Partikel durch eine Massendichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\vec{r}) gegeben, so ergibt sich für den Streumassenradius:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\text{G}^2 = \frac{1}{M} \int \mbox{d}^3r \, \rho(\vec{r}) \left| \vec{r} - \vec{r}_\text{S} \right|^2 ,

wobei M die Masse des Partikels ist.

Im Extremfall einer homogenen Kugel mit Radius R ergibt sich:

$ R_{\text{G, Kugel}}={\sqrt {\frac {3}{5}}}\cdot R $

Der Streumassenradius lässt sich durch Streuexperimente an einer verdünnten Suspension bzw. Lösung der Partikel bestimmen: für kleine Streuvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{q} lässt sich die Strukturfunktion S annähern durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(\vec{q}) \approx N \left( 1 - \frac{q^2 \cdot R_\text{G}^2}{3} \right),

sie hängt dann also nur von der Zahl N der Bausteine und dem Streumassenradius ab. Dieser Zusammenhang ist als Guinier-Gesetz bekannt.

Zur Messung des Streumassenradius von suspendierten Kolloiden oder gelösten Polymeren eignet sich oft die Lichtstreuung. Um die räumliche Ausdehnung der verknäuelten Kettenmoleküle in einer Polymerschmelze zu charakterisieren, bietet sich die Kleinwinkel-Neutronenstreuung an; um einen Streukontrast zu erhalten, wird dabei der Schmelze ein geringer Anteil deuteriertes Polymer zugesetzt.

Einzelnachweise