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Der Wirbelsatz von Crocco (auch Croccosche Gleichung) bezeichnet einen 1937 von Luigi Crocco aufgestellten physikalischen Satz aus der Strömungsmechanik. Er besagt, dass für die stationäre Strömung eines reibungslosen, nicht-wärmeleitenden Gases unter Vernachlässigung äußerer Kräfte gilt:
- $ {\vec {v}}\times \operatorname {rot} \,{\vec {v}}=\operatorname {grad} \,h_{0}-T\,\operatorname {grad} \,s $
Hierin bezeichnen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v
das Geschwindigkeitsfeld der Strömung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot} \, \vec v
die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h_0 \dot{=} h + v^2/2
die Ruheenthalpie des Gases
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad} \, h_0
den Gradienten der Ruheenthalpie
- T die Temperatur
- s die Entropie,
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h_0
und s als Enthalpie und Entropie pro Masseneinheit eingehen (spezifische Größen).
Interpretation
Oft kann man annehmen $ \operatorname {grad} \,h_{0}=0 $ (isoenergetische Strömung).
Ist die Strömung außerdem noch isentrop, so ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad} \, s = 0
, und nach Croccos Wirbelsatz folgt
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \vec v \times \operatorname{rot} \, \vec v = 0
.
Im Allgemeinen folgt daraus
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \operatorname{rot} \, \vec v = 0
d. h. die Strömung ist rotationsfrei bzw. wirbelfrei, und es existiert ein Geschwindigkeitspotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi
mit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v = \operatorname{grad} \, \Phi
.
Es handelt sich dann um eine Potentialströmung.
Croccos Wirbelsatz besagt also, dass rotationsfreie Strömungen isentrop sind und umgekehrt, wobei vorausgesetzt wird, dass sie stationär sind, und Reibung sowie äußere Kräfte vernachlässigbar sind.
Literatur
- Luigi Crocco: Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation. Z. Angew. Math. Mech., 17 (1), 1937, S. 1–7. doi:10.1002/zamm.19370170103
- Karl Wieghardt: Theoretische Strömungslehre. Universitätsverlag Göttingen, Nachdruck von 1974, ISBN 3-938616-33-4
- Franz Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006, ISBN 3-540-31323-0