Verzerrungstensor

Verzerrungstensoren sind dimensionslose Tensoren zweiter Stufe, die das Verhältnis von Momentankonfiguration zur Ausgangskonfiguration bei der Deformation von kontinuierlichen Körpern und damit Veränderung der gegenseitigen Lagebeziehungen der Materieelemente beschreiben. Diese Änderung (Deformation) der inneren Anordnung korrespondiert mit einer Änderung der äußeren Gestalt des Festkörpers und wird damit beispielsweise als Dehnung, Stauchung, Scherung usw. sichtbar. Die Verzerrungstensoren sind eine wesentliche Größe in der Beschreibung der Kinematik der Deformation. In der Kontinuumsmechanik werden eine Reihe von verschiedenen Verzerrungstensoren definiert, deren Benennung nicht einheitlich ist.

Die Verzerrungstensoren werden vor allem für die Formulierung von Materialmodellen, z. B. der Hyperelastizität, verwendet, die eine Relation zwischen den Spannungen im Material und seinen Deformationen herstellen. Solche Materialmodelle werden dazu benutzt, Verformungen von Körpern zu berechnen.

Einleitung

In der Literatur ist eine Vielzahl von Verzerrungstensoren bekannt, die aus dem Deformationsgradienten gebildet werden. Für deren Definition werden die Verschiebungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}(\vec{X},t)=\vec{\chi}(\vec{X},t)-\vec{X} = \sum_{i=1}^3 u_i \vec{e}_i = \begin{pmatrix} u(\vec{X},t) \\ v(\vec{X},t) \\ w(\vec{X},t) \end{pmatrix}

als Differenzvektor zwischen der momentanen Lage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t) eines Partikels und seiner Ausgangslage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} =\sum_{i=1}^{3}X_i \vec{e}_i eingeführt, mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X_i als den materiellen Koordinaten des Partikels bezüglich der Standardbasis. Der Verschiebungsgradient^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H} := \operatorname{GRAD}(\vec{u}) := \sum_{i,j=1}^3 \frac{\mathrm{d} u_i}{\mathrm{d} X_j} \vec{e}_i \otimes \vec{e}_j = \frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}

ist dann die Ableitung des Verschiebungsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec u nach den materiellen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec X und enthält die Ableitungen der Verschiebungen u_i nach den Koordinaten X_j. Damit bekommt der Deformationsgradient die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} :=\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}}{\mathrm{d}\vec{X}} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\vec{X}}(\vec{u}+\vec{X}) =\mathbf{H}+\mathbf{1}

worin 1 der Einheitstensor ist. Zunächst lassen sich damit der rechte Cauchy-Green-Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C} := \mathbf{F^\top \cdot F}

bzgl. der Ausgangskonfiguration und der linke Cauchy-Green-Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{b} := \mathbf{F \cdot F^\top}

bzgl. der Momentankonfiguration bilden. Diese beiden Strecktensoren sind symmetrisch und im Fall einer Nicht-Deformation gleich dem Einheitstensor.

Für ingenieurtechnische Anwendungen werden gewöhnlich allerdings Größen gewünscht, die bei Nicht-Deformation eine Null darstellen. Dies führt auf Definitionen des Green-Lagrange-Verzerrungstensors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E} := \frac{1}{2}(\mathbf{F^\top\cdot F-1})

oder des Euler-Almansi-Verzerrungstensors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{e} := \frac{1}{2}(\mathbf{1-(F \cdot F^\top)}^{-1})\,.

Daneben existiert aber noch eine Vielzahl weiterer ähnlicher Definitionen, die jeweils ihre Berechtigung und Vorteile in verschiedenen Theorien besitzen, siehe unten. Dort erklärt sich auch der oben auftretende Faktor ½.

Linearisierter Verzerrungstensor

Zur Beschreibung kleiner Verzerrungen wird in der technischen Mechanik üblicherweise der linearisierte Verzerrungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\varepsilon} verwendet. Dieser Verzerrungstensor wird auch Ingenieursdehnung genannt, denn bei vielen Anwendungen im technischen Bereich liegen kleine Dehnungen vor oder sie müssen aus sicherheitstechnischen Gründen klein gehalten werden. Der linearisierte Verzerrungstensor entsteht durch Linearisierung der Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{e}\,. Hierzu wird die Definition des Deformationsgradienten in den Verzerrungstensor eingesetzt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E} = \frac{1}{2}\Bigl[ \mathbf{F^\top\cdot F} - \mathbf{1}\Bigr] = \frac{1}{2}\Bigl[ \Bigl(\mathbf{H+1}\Bigr)^\top\cdot \Bigl(\mathbf{H}+\mathbf{1}\Bigr) - \mathbf{1}\Bigr] = \frac{1}{2}\Bigl[ \mathbf{H+H^\top} + \mathbf{H^\top\cdot H}\Bigr] \,.

Bei kleinen Verzerrungen kann der letzte Term vernachlässigt werden und so entsteht der linearisierte Verzerrungstensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\varepsilon} :=\frac{1}{2}\Bigl[ \mathbf{H+H^\top}\Bigr] = \begin{pmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \end{pmatrix},

mit den Komponenten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{matrix} &\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial X_x},\; \varepsilon_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial X_y},\; \varepsilon_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial X_z},\; \varepsilon_{xy}=\varepsilon_{yx} =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x}{\partial X_y}+ \frac{\partial u_y}{\partial X_x}\right),\\ &\varepsilon_{yz}=\varepsilon_{zy} =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial X_z}+ \frac{\partial u_z}{\partial X_y}\right),\; \varepsilon_{zx}=\varepsilon_{xz} =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_z}{\partial X_x}+ \frac{\partial u_x}{\partial X_z}\right). \end{matrix}

Allgemeine Definition

Ein Tensor E ist ein geeignetes Verzerrungsmaß, wenn er drei Forderungen genügt^[2]:

1. E verschwindet bei Starrkörperbewegungen (Verschiebung und/oder Drehung ohne Formänderung)
2. E ist eine monotone, stetige und stetig differenzierbare Funktion des Verschiebungsgradienten H und
3. E geht bei kleinen Verzerrungen in den linearisierten Verzerrungstensor ε über.

Die Polarzerlegung des Deformationsgradienten F = R · U = v · R spaltet die Verformung lokal in eine reine Drehung, vermittelt durch den orthogonalen Rotationstensor R (mit R · R^T und der Determinante det(R) = 1), und eine reine Streckung, vermittelt durch die symmetrischen positiv definiten rechten bzw. linken Strecktensoren U bzw. v. Letztere dienen der Definition einer Vielzahl von Verzerrungstensoren.

In seiner natürlichen Darstellung in konvektiven Koordinaten ist der rechte Strecktensor U kovariant und der linke Strecktensor v kontravariant. Diese Eigenschaft überträgt sich auf die mit ihnen gebildeten Verzerrungstensoren. Durch Invertierung werden kovariante Tensoren kontravariant und umgekehrt.

Seth-Hill-Familie von Verzerrungstensoren

Die Verzerrungstensoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E}_{(m)} =\frac{1}{2m}(\mathbf{U}^{2m}-\mathbf{1}) =\frac{1}{2m}(\mathbf{C}^m-\mathbf{1})

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{e}_{(m)} =\frac{1}{2m}(\mathbf{v}^{2m}-\mathbf{1}) =\frac{1}{2m}(\mathbf{b}^m -\mathbf{1})\,,

die sich für verschiedene Werte des Parameters Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m ergeben, genügen den Bedingungen der allgemeinen Definition^[3]. Die einigen gebräuchlichen Werten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m entsprechenden Tensoren führt die folgende Tabelle auf:

Die hier benutzten Namen stehen jeweils kursiv hervorgehoben an erster Stelle. In der räumlichen Beschreibung ergeben sich die Entsprechungen:

In den Tabellen bedeutet "Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta " Kovarianz und "$ \nabla $" Kontravarianz. Der Funktionswert eines Tensors (z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{\mathbf{C}}\,,\;\ln(\mathbf{C}) ) berechnet sich durch Hauptachsentransformation, Bildung der Funktionswerte der Diagonalelemente und Rücktransformation.

Beschreibung einiger Verzerrungstensoren

Weil die Verzerrungstensoren der Seth-Hill-Familie bei kleinen Verzerrungen in den linearisierten Verzerrungstensor übergehen, trifft das hier gesagte bei kleinen Verzerrungen auch auf den linearisierten Verzerrungstensor zu.

Der Green-Lagrange-Verzerrungstensor

Der Green-Lagrange-Verzerrungstensor ist aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{Y} im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} motiviert, siehe Abbildung rechts:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}-\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y} =(\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\vec{X})\cdot(\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\vec{Y}) -\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y} =2\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\vec{Y}\,.

In einer Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}_1=\tfrac{\mathrm{d}\vec{X}}{|\mathrm{d}\vec{X}|} ergibt sich über

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{x} =&2\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\vec{X}+\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{X} =(2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_1 +1)(\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{X}) \\ \rightarrow\quad |\mathrm{d}\vec{x}|=&\sqrt{2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_1 +1}\;|\mathrm{d}\vec{X}| \end{align}

die Dehnung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon :=\frac{|\mathrm{d}\vec{x}|-|\mathrm{d}\vec{X}|}{|\mathrm{d}\vec{X}|} =\sqrt{1+2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_1 } - 1

Wenn in der Ausgangskonfiguration Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y}=0 ist, berechnet sich:

$ {\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}}=&2\mathrm {d} {\vec {X}}\cdot \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\vec {Y}}\\{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}||\mathrm {d} {\vec {y}}|}}=&{\frac {2\mathrm {d} {\vec {X}}\cdot \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\vec {Y}}}{|\mathrm {d} {\vec {x}}||\mathrm {d} {\vec {y}}|}}={\frac {2\mathrm {d} {\vec {X}}\cdot \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\vec {Y}}}{{\sqrt {2{\vec {e}}_{1}\cdot \mathbf {E} \cdot {\vec {e}}_{1}+1}}\;|\mathrm {d} {\vec {X}}|\;{\sqrt {2{\vec {e}}_{2}\cdot \mathbf {E} \cdot {\vec {e}}_{2}+1}}\;|\mathrm {d} {\vec {Y}}|}}\end{aligned}} $

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}_{2}=\tfrac{\mathrm{d}\vec{Y}}{|\mathrm{d}\vec{Y}|} resultiert für die Scherung γ dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sin (\gamma ): =\frac{\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}}{|\mathrm{d}\vec{x}||\mathrm{d}\vec{y}|} =\frac{2\vec{e}_1 \cdot\mathbf{E}\cdot\vec{e}_{2}} {\sqrt{1+2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_1 } \sqrt{1+2\vec{e}_{2}\cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_{2}}}

Der Euler-Almansi-Verzerrungstensor

Der Euler-Almansi-Verzerrungstensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{e} = \frac{1}{2}(\mathbf{1} -\mathbf{F}^{\top-1}\cdot \mathbf{F}^{-1})

kann analog zum Green-Lagrange-Verzerrungstensor aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{x} und $ \mathrm {d} {\vec {y}} $ im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} motiviert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y} -\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y} =\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y} -(\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec{x})\cdot (\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec{y}) =2\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathbf{e}\cdot \mathrm{d}\vec{y}\,.

Für die Dehnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon in eine Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}_1 ergibt sich dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon =\frac{1}{\sqrt{1-2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{e}\cdot\vec{e}_1 }}-1 mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}_1 =\tfrac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|}\,.

Der Hencky-Verzerrungstensor

Der Hencky-Verzerrungstensor wird über die Hauptachsentransformation des rechten Strecktensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} berechnet. Weil dieser symmetrisch und positiv definit ist, lautet seine spektrale Zerlegung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} =\sum_{i =1}^{3}\lambda_i \hat{v}_i \otimes \hat{v}_i

wobei λ_i die sämtlich positiven Eigenwerte und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{v}_i die auf eins normierten und paarweise orthogonalen Eigenvektoren von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} sind. Dann berechnet sich der Hencky-Verzerrungstensor aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E}_{H}: =\ln (\mathbf{U}): =\sum_{i=1}^{3}\ln (\lambda_i )\hat{v}_i \otimes \hat{v}_i \,.

Seine Spur ist wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Sp}(\mathbf{E}_{H}) = \sum_{i=1}^{3}\ln (\lambda_i )\hat{v}_i \cdot \hat{v}_i = \ln (\lambda_1 \lambda_{2}\lambda_{3}) = \ln (\operatorname{det}(\mathbf{U})) = \ln (\operatorname{det}(\mathbf{F}))

ein Maß für die Kompression am Ort. Bei kleinen Verzerrungen ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ln (\operatorname{det}(\mathbf{F})) \approx \operatorname{Sp}(\mathbf{H}) = \operatorname{Sp}(\boldsymbol{\varepsilon})

weswegen dann die Spur des Verschiebungsgradienten oder des linearisierten Verzerrungstensors diese Rolle übernimmt.

Der Piola- und Finger-Verzerrungstensor

Der Piola-Verzerrungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E}_{P}=-\mathbf{E}_{(-1)} ist aus dem Vergleich der Normalenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{N} an materielle Flächen motiviert. Eine Familie von Flächen kann durch eine skalare Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec{X},t)=C

und einen Flächenparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C definiert werden. Die Normalenvektoren an diese Flächen sind die Gradienten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{N}:=\operatorname{GRAD}(\Phi) =\sum_{i=1}^{3}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}X_i }\vec{e}_i \,.

Im Zuge einer Deformation wird daraus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{n} =&\operatorname{grad}(\Phi) =\sum_{i=1}^{3} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}x_i }\vec{e}_i =\sum_{i,j=1}^{3} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}X_j } \frac{\mathrm{d}X_j }{\mathrm{d}x_i }\vec{e}_i \\=& \sum_{i,j=1}^{3} \frac{\mathrm{d}X_j }{\mathrm{d}x_i } \vec{e}_i \otimes \vec{e}_j \cdot \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}X_{k}}\vec{e}_k =\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{N}. \end{align}

Mit einer anderen skalaren Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Psi(\vec{X},t) kann eine andere Familie von Flächen definiert werden, deren Normalenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{M} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{m} über

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{m}=\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{M}

in Beziehung stehen. Der Vergleich der Skalarprodukte der Normalenvektoren in der deformierten und undeformierten Lage in einem materiellen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} führt auf den Piola-Verzerrungstensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{m}\cdot \vec{n}-\vec{M}\cdot \vec{N} =&(\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{M})\cdot (\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{N})-\vec{M}\cdot \vec{N} \\=& 2\vec{M}\cdot \frac{1}{2}(\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathbf{F}^{\top-1} -\mathbf{1})\cdot\vec{N} =2\vec{M}\cdot \mathbf{E}_{P}\cdot\vec{N} \,,\end{align}

der also ein Maß für die Deformationen der materiellen Flächen ist. Der Piola-Verzerrungstensor operiert in der Ausgangskonfiguration.

Sein Gegenstück in der Momentankonfiguration ist der Finger-Tensor^[5]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{e}_{F} :=\frac{1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{F\cdot F}^\top) =\frac{1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{b})

für den

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{m}\cdot \vec{n}-\vec{M}\cdot \vec{N} =&\vec{m}\cdot \vec{n}-(\mathbf{F}^\top\cdot\vec{m})\cdot (\mathbf{F}^\top\cdot\vec{n}) \\=& 2\vec{m}\cdot \frac{1}{2}(\mathbf{1-F\cdot F}^\top)\cdot\vec{n} =2\vec{m}\cdot \mathbf{e}_{F}\cdot\vec{n} \,.\end{align}

abgeleitet werden kann.

Verzerrungsgeschwindigkeiten

Alle realen Materialien sind mehr oder weniger ratenabhängig, das heißt ihr Widerstand gegen eine Deformation hängt davon ab, mit welcher Geschwindigkeit diese Deformation herbeigeführt wird. Für die Beschreibung eines solchen Zusammenhangs werden Verzerrungsgeschwindigkeiten benutzt. Das Materialverhalten ist beobachterinvariant, die meisten Zeitableitungen der Verzerrungen jedoch nicht. Es wurden aber eine Reihe von Verzerrungsgeschwindigkeiten definiert, die beobachterinvariant sind.

Der rechte Strecktensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} ist körperbezogen objektiv, was bedeutet, dass er von einem Wechsel des Bezugssystems unbeeinflusst ist. Gleiches gilt auch für seine materielle Zeitableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{U}}\,. Dementsprechend sind auch alle aus dieser Zeitableitung gebildeten Verzerrungsgeschwindigkeiten, z. B.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{E}} =\frac{1}{2}(\dot{\mathbf{U}}\cdot\mathbf{U} +\mathbf{U}\cdot\dot{\mathbf{U}})\,,

körperbezogen objektiv.

In der räumlichen Beschreibung kann nachgewiesen werden, dass der linke Strecktensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} objektiv ist, seine Rate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{v}} jedoch nicht. Für die Formulierung objektiver Raten der räumlichen Verzerrungstensoren wird der räumliche Geschwindigkeitsgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l}=\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1}=\mathbf{d+w}

definiert, dessen symmetrischer Anteil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{d}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l+l}^\top)

räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und dessen unsymmetrischer Anteil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{w}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l-l}^\top)

Spin- oder Wirbeltensor heißt. Dann lautet die (objektive) kovariante Oldroyd-Ableitung eines Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{a} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\Delta}{\mathbf{a}} :=\dot{\mathbf{a}}+\mathbf{a\cdot l+l^\top\cdot a}\,.

Für den Euler-Almansi-Tensor e gilt insbesondere

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\Delta}{\mathbf{e}} =\mathbf{d} =\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\dot{\mathbf{E}}\cdot\mathbf{F}^{-1}\,.

Die kontravariante Oldroyd-Ableitung eines Tensors $ \mathbf {a} $ ist definiert als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\nabla}{\mathbf{a}} :=\dot{\mathbf{a}}-\mathbf{l\cdot a-a\cdot l}^\top\,.

Die Raten der kovarianten Tensoren werden üblicherweise mit der kovarianten Oldroyd-Ableitung gebildet und die der kontravarianten Tensoren mit der kontravarianten Oldroyd-Ableitung. Die Zaremba-Jaumann-Rate eines Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{a} ist ebenfalls objektiv und definiert als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\circ}{\mathbf{a}}:=\dot{\mathbf{a}}+\mathbf{a\cdot w-w\cdot a}\,.

Siehe auch

• Mohrscher Spannungskreis
• Dyadisches Produkt
• Formelsammlung Tensoralgebra
• Formelsammlung Tensoranalysis

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• G. Holzapfel: Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering. Wiley, 2000, ISBN 978-0-471-82319-3. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X. 
• A. Bertram: Elasticity and Plasticity of Large Deformations: An Introduction. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24614-2. 

Einzelnachweise