Kompatibilitätsbedingung

Breaking News
Zufallsbild: Gerd Altmann / Pixabay

Kompatibilitätsbedingung

Version vom 9. Juni 2021, 18:10 Uhr von imported>Crazy1880 (Vorlagen-fix (JSTOR))
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)

Kompatibilitätsbedingungen sind in der Kontinuumsmechanik Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit aus Ableitungen eines Bewegungsfeldes nach dem Ort gebildeten Größen, das Bewegungsfeld rekonstruiert werden kann. Die abgeleiteten Größen sind dann kompatibel mit einem Bewegungsfeld.

Anwendung finden die Kompatibilitätsbedingungen in der Theorie der Spannungsfunktionen, mit deren Hilfe analytische Lösungen der ebenen und räumlichen, linearen Elastostatik berechnet werden können, z. B. bei der Airy’schen Spannungsfunktion.

Einführung

Motivation

Datei:Dehnungsfeld1.png
Bei der Verformung in der Ebene entsprechen zwei Verschiebungen drei Verzerrungsfeldern $ \varepsilon _{11},\varepsilon _{22} $ und $ \varepsilon _{12} $. Aus ihnen kann das Verschiebungsfeld unten rekonstruiert werden, wenn die Kompatibilitätsbedingungen eingehalten werden.

Bei der Bewegung eines Körpers durch den Raum treten in den für die Kontinuumsmechanik interessanten Fällen Verformungen auf, die sich durch die Verzerrungen quantifizieren lassen, die aus Ableitungen des Bewegungsfeldes nach dem Ort berechnet werden. Von den Verzerrungen gibt es im allgemeinen dreidimensionalen Fall sechs Komponenten. Sollen aus ihnen die drei Komponenten der Bewegung in x-, y- bzw. z-Richtung rekonstruiert werden, ist klar, dass die Verzerrungen nicht voneinander unabhängig sein können. Bei einer ebenen Bewegung liegen drei Verzerrungsfelder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{11},\varepsilon_{22} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{12} vor, die zwei Verschiebungskomponenten in x- bzw. y-Richtung entsprechen (nach Umbenennung gemäß dem Schema 1 → x und 2 → y). Einen solchen Fall zeigt die nebenstehende Abbildung. Nun kann sich die Frage stellen, ob sich aus den Verzerrungsfeldern die Bewegung rekonstruieren lässt. Dies kann genau dann gelingen, wenn die Verzerrungen die für sie formulierten Kompatibilitätsbedingungen einhalten.

Indem die drei Komponenten der Bewegung in x-, y- und z-Richtung nach den drei Ortskoordinaten in x-, y- bzw. z-Richtung abgeleitet werden, entstehen insgesamt neun Ableitungen, die die Komponenten des Deformationsgradienten bilden. Auch für die neun Komponenten des Deformationsgradienten existieren Kompatibilitätsbedingungen, die diese einhalten müssen, damit aus ihnen die Bewegung wieder hergestellt werden kann.

Bewegungen

Um die Bewegung eines Körpers zu beschreiben, wird zunächst jedem Partikel des Körpers über die Referenzkonfiguration eineindeutig ein „Name“ oder „Etikett“ zugeordnet. Dieser „Name“ soll hier die Position

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}=\sum_{i=1}^{3}X_{i}\hat{e}_{i}\in\mathbb{V}^{3}

des Partikels zu einem bestimmten Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_{0} sein. Die Zahlen $ X_{1,2,3}\in \mathbb {R} $ werden materielle Koordinaten des Partikels genannt und gelten in Bezug auf die Standardbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_{1,2,3} des euklidischen Vektorraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{V}^{3} . Zumeist wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_{0} so gewählt, dass zu diesem Zeitpunkt der Körper undeformiert und in Ruhe ist und die Bewegung beginnt. Im Zuge seiner Bewegung durch den Raum wandert jedes Partikel auf seiner Bahnlinie vorwärts, die die Bewegungsfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\chi}(\vec{X},t) =\vec{x} =\sum_{i=1}^{3}x_{i}\hat{e}_{i}\in\mathbb{V}^{3}

mathematisch beschreibt. In Bezug auf die Standardbasis hat nun jedes Partikel zu einer Zeit $ t\geq t_{0} $ räumliche Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1,2,3}\in\mathbb{R} .

Kompatibilitätsbedingungen

Linearisierter Verzerrungstensor

Der linearisierte Verzerrungstensor entsteht aus Ableitungen des Verschiebungsfeldes. Die Verschiebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} eines Partikels ist sein zurückgelegter Weg, mathematisch der Differenzvektor zwischen seiner aktuellen Position und seiner Position in der Ausgangskonfiguration:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}(\vec{X},t):=\vec{\chi}(\vec{X},t)-\vec{X} =\sum_{i=1}^{3}u_{i}(\vec{X},t)\hat{e}_{i} .

Häufig kann, vor allem in technischen Anwendungen, angenommen werden, dass erstens diese Verschiebung im Vergleich zu Abmessungen des Körpers klein ist und zweitens auch die Ableitungen der Verschiebungen nach dem Ort klein gegen eins sind. Dann brauchen die materiellen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} und die räumlichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} nicht mehr auseinandergehalten zu werden und die Verzerrungen des Körpers werden mit dem linearisierten Verzerrungstensor gemessen, der die Darstellung

$ {\begin{aligned}{\boldsymbol {\varepsilon }}:=&{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {grad} ({\vec {u}})+\mathrm {grad} ({\vec {u}})^{\top }\right)={\frac {1}{2}}(\nabla \otimes {\vec {u}}^{\top }+\nabla \otimes {\vec {u}})\\=&\varepsilon _{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i}){\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\end{aligned}} $

besitzt. Darin ist „grad“ der Gradienten- und 𝜵 der Nabla-Operator, das hochgestellte Zeichen ⊤ steht für die Transposition, das Rechenzeichen „⊗“ bildet das dyadische Produkt und in den letzten beiden Gleichungen wurde die Einsteinsche Summenkonvention angewendet. Hier wie im Folgenden ist über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, oben i und j, von eins bis drei zu summieren. Des Weiteren ist ein Index nach einem Komma eine abkürzende Schreibweise für die Ableitung nach der genannten Koordinate:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u_{i,j}:=\frac{\partial u_i}{\partial x_j} .

Berechnung der Rotation des Verzerrungstensors liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \nabla\times\boldsymbol{\varepsilon} :=& \hat{e}_k\times\frac{\partial}{\partial x_k}\boldsymbol{\varepsilon} =\hat{e}_k\times\frac{1}{2}(u_{i,jk} + u_{j,ik})(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) \\=& \frac{1}{2} u_{i,jk}(\hat{e}_k\times\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_j +\frac{1}{2}\underbrace{u_{j,ik}(\hat{e}_k\times\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_j}_{=\mathbf0} \\ \rightarrow \nabla\times\left((\nabla\times\boldsymbol{\varepsilon})^\top\right) =& \hat{e}_l\times\frac{\partial}{\partial x_l}\left( \frac{1}{2} u_{i,jk}\hat{e}_j\otimes(\hat{e}_k\times\hat{e}_i)\right) \\=& \frac{1}{2}u_{i,jkl}\hat{e}_l\times\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k\times\hat{e}_i =\mathbf0 \end{align}

Der obere rechte Term verschwindet, weil Komponenten mit vertauschten Indizes i und k gleich groß aber umgekehrtes Vorzeichen haben, so dass sie sich in der Summe aufheben, oder bei i = k verschwinden, was in der letzten Gleichung auch für die Indizes j und l in analoger Weise zutrifft. Die aus dem Verschiebungsfeld abgeleiteten Verzerrungen erfüllen also[F 1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \nabla\times\left((\nabla\times\boldsymbol{\varepsilon})^\top\right) =\varepsilon_{ij,kl}\epsilon_{jlm}\epsilon_{ikn}\hat{e}_m\otimes\hat{e}_n =&\mathbf0 \\ \downarrow& \\ 2\varepsilon_{12,12} -\varepsilon_{22,11} -\varepsilon_{11,22} =& 0 \\ 2\varepsilon_{13,13} -\varepsilon_{33,11} -\varepsilon_{11,33} =& 0 \\ 2\varepsilon_{23,23} -\varepsilon_{33,22} -\varepsilon_{22,33} =& 0 \\ \varepsilon_{11,23} +\varepsilon_{23,11} -\varepsilon_{12,13} -\varepsilon_{13,12} =& 0 \\ \varepsilon_{22,13} +\varepsilon_{13,22} -\varepsilon_{12,23} -\varepsilon_{23,12} =& 0 \\ \varepsilon_{12,33} +\varepsilon_{33,12} -\varepsilon_{13,23} -\varepsilon_{23,13} =& 0 \end{align}

ϵijk = (êi × êj) · êk ist das Permutationssymbol. Die Gleichungen sind die Kompatibilitätsbedingungen der Verzerrungen, denn werden diese Gleichungen von einem Verzerrungsfeld eingehalten, dann gibt es ein Verschiebungsfeld, das die gegebenen Verzerrungen hervorruft[L 1].

Beweis 1
Der Schluss von der Kompatibilitätsbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times\left((\nabla\times\boldsymbol{\varepsilon})^\top\right)=\mathbf0 auf die Existenz des Verschiebungsfeldes gelingt mit dem Tensorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times\boldsymbol{\varepsilon} =\varepsilon_{ij,k}(\hat{e}_k\times\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_j , das spurfrei ist:
$ \mathrm {Sp} (\nabla \times {\boldsymbol {\varepsilon }})=\varepsilon _{ij,k}\,({\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{i})\cdot {\hat {e}}_{j}=\varepsilon _{ij,k}\,({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})\cdot {\hat {e}}_{k}=0 $,

denn Terme mit vertauschten Indizes i und j sind gleich groß, haben aber entgegengesetztes Vorzeichen, so dass sie sich in der Summe aufheben, oder verschwinden bei i = j, siehe Spatprodukt. Nach dem Poincaré-Lemma in der Ausprägung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times(\mathbf{T}^\top) =\mathbf0 \;\text{und}\; \mathrm{Sp}(\mathbf{T}) =0 \;\rightarrow\; \exists\mathbf{W}\colon\mathbf{T} =\nabla\times\mathbf{W} \;\text{mit}\; \mathbf{W}^\top=-\mathbf{W}

existiert ein schiefsymmetrisches Tensorfeld W, dessen Rotation 𝜵 × ε ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times\boldsymbol{\varepsilon}=\nabla\times\mathbf{W} \quad\rightarrow\quad \mathbf0 =\nabla\times(\boldsymbol{\varepsilon}-\mathbf{W}) =\nabla\times[(\boldsymbol{\varepsilon}+\mathbf{W})^\top] .

Gemäß dem Poincaré-Lemma in der Ausprägung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times(\mathbf{T}^\top)=\mathbf0 \quad\rightarrow\quad \exists\vec{u}\colon\mathbf{T}=\nabla\otimes\vec{u}^\top

gibt es nun ein Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} , für das gilt:

$ {\boldsymbol {\varepsilon }}+\mathbf {W} =\nabla \otimes {\vec {u}}^{\top } $

und dessen symmetrischer Anteil der Verzerrungstensor ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2}[\nabla\otimes\vec{u}^\top+\nabla\otimes\vec{u}] =\frac{1}{2}(\boldsymbol{\varepsilon}+\mathbf{W} +\boldsymbol{\varepsilon}^\top+\mathbf{W}^\top) =\boldsymbol{\varepsilon} .

In ebenen Problemen, wie bei der Airy’schen Spannungsfunktion, wo nur zwei Koordinaten involviert sind, reduzieren sich diese Kompatibilitätsbedingungen weiter auf nur eine von den drei ersten skalaren Gleichungen.

Die Kompatibilitätsbedingung kann auch ohne die Rotation geschrieben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \Delta\boldsymbol{\varepsilon} +\nabla\otimes\nabla\mathrm{Sp}(\boldsymbol{\varepsilon}) -2\mathrm{sym}\big(\nabla\otimes(\nabla\cdot\boldsymbol{\varepsilon})\big) =&\mathbf0 \\ \leftrightarrow\quad \varepsilon_{ij,kk} +\varepsilon_{kk,ij} -\varepsilon_{ik,jk} -\varepsilon_{jk,ik} =& 0\,, \quad i,j = 1,2,3 \end{align}

Der Operator „Sp“ gibt die Spur eines Tensors und „sym“ liefert den symmetrischen Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{sym}(\mathbf{T}) =\tfrac{1}{2}(\mathbf{T}+\mathbf{T}^\top) .

Beweis 2
Für die Herleitung wird das wie folgt definierte äußere Tensorprodukt „#“ benutzt:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} (\vec{a}\otimes\vec{g})\#(\vec{b}\otimes\vec{h}) :=& (\vec{a}\times\vec{b})\otimes(\vec{g}\times\vec{h}) \\ \mathbf{A}\#\mathbf{B} =& -\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{B}^\top -\mathrm{Sp}(\mathbf{B})\mathbf{A}^\top +\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{B}^\top +\mathbf{B}^\top\cdot\mathbf{A}^\top \\& +[\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{Sp}(\mathbf{B}) -\mathrm{Sp}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})]\mathbf1 \end{align}

Der Tensor 1 ist der Einheitstensor. Damit berechnet sich:

$ {\begin{aligned}{\mathfrak {R}}({\boldsymbol {\varepsilon }}):=&\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\varepsilon }}^{\top })=\varepsilon _{ij,kl}({\hat {e}}_{l}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{i})\\=&\varepsilon _{ij,kl}\overbrace {({\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{k})} ^{\mathbf {A} }\#\overbrace {({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})} ^{\mathbf {B} }\\=&\varepsilon _{ij,kl}{\big [}-\delta _{lk}({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})^{\top }-\delta _{ji}({\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{k})^{\top }+({\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{k})^{\top }\cdot ({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})^{\top }\\&\qquad \;+({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})^{\top }\cdot ({\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{k})^{\top }+(\delta _{lk}\delta _{ji}-\delta _{kj}\delta _{li})\mathbf {1} {\big ]}\\=&-\varepsilon _{ij,kk}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})-\varepsilon _{kk,ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})+\varepsilon _{jk,ik}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\\&+\varepsilon _{ik,jk}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})+[\varepsilon _{ii,kk}-\varepsilon _{ij,ij}]\mathbf {1} \\=&-[\underbrace {\Delta {\boldsymbol {\varepsilon }}+\nabla \otimes {\big (}\nabla {\rm {Sp}}({\boldsymbol {\varepsilon }}){\big )}-2\mathrm {sym} {\big (}\nabla \otimes (\nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}){\big )}} _{=:{\mathfrak {L}}({\boldsymbol {\varepsilon }})}]\\&+[\underbrace {\Delta \mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }})-\nabla \cdot (\nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }})} _{=:s}]\mathbf {1} \\\rightarrow {\mathfrak {R}}({\boldsymbol {\varepsilon }})=&-{\mathfrak {L}}({\boldsymbol {\varepsilon }})+s\mathbf {1} \end{aligned}} $

Der Operator „Δ“ ist der Laplace-Operator. Die Spur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{L}(\boldsymbol{\varepsilon}) berechnet sich zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{Sp}(\mathfrak{L}(\boldsymbol{\varepsilon})) =& \mathrm{Sp}(\varepsilon_{ij,kk}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j +\varepsilon_{kk,ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j -\varepsilon_{jk,ik}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j -\varepsilon_{ik,jk}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j) \\=& \varepsilon_{ii,kk}+\varepsilon_{kk,ii}-\varepsilon_{ik,ik}-\varepsilon_{ik,ik} =2\Delta\mathrm{Sp}(\boldsymbol{\varepsilon}) -2\nabla\cdot(\nabla\cdot\boldsymbol{\varepsilon}) =2 s \end{align}

mit der Konsequenz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Sp}(\mathfrak{R}(\boldsymbol{\varepsilon}))=-2s+3s=s .

Deshalb verschwindet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{R}(\boldsymbol{\varepsilon}) genau dann, wenn auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{L}(\boldsymbol{\varepsilon}) verschwindet: Denn wenn $ {\mathfrak {R}}({\boldsymbol {\varepsilon }})=\mathbf {0} $ ist, dann ist auch s = 0 und es folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{L}(\boldsymbol{\varepsilon})=\mathbf0 . Umgekehrt folgt auch aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{L}(\boldsymbol{\varepsilon})=\mathbf0 , dass s = 0 ist und dementsprechend Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{R}(\boldsymbol{\varepsilon})=\mathbf0 gilt. Also kann die Kompatibilität der Verzerrungen mit einem Verschiebungsfeld auch mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathfrak{L}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \Delta\boldsymbol{\varepsilon} +\nabla\otimes\big(\nabla{\rm Sp}(\boldsymbol{\varepsilon})\big) -2\mathrm{sym}\big(\nabla\otimes(\nabla\cdot\boldsymbol{\varepsilon})\big) =&\mathbf0 \\ \leftrightarrow\quad \varepsilon_{ij,kk} +\varepsilon_{kk,ij} -\varepsilon_{ik,jk} -\varepsilon_{jk,ik} =& 0\,, \quad i,j = 1,2,3 \end{align}

sichergestellt werden.

Spannungen

Beim Lösungsansatz für die Bewegungsgleichungen über Spannungsfunktionen, sind die Spannungen die primären Unbekannten. Sind diese für gegebene Randbedingungen gefunden, dann gilt es aus ihnen das Bewegungsfeld zu rekonstruieren. Das gelingt bei linearer, isotroper Elastizität, wenn die Spannungen σ in einem Schwerefeld $ {\vec {b}} $ wie es die Schwerkraft eines ist die folgenden für sie formulierten Kompatibilitätsbedingungen erfüllen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &\Delta\boldsymbol{\sigma} +\frac1{1+\nu}\nabla\otimes\big(\nabla\mathrm{Sp}(\boldsymbol{\sigma})\big) +\frac{\nu}{1-\nu}(\nabla\cdot\vec{b})\mathbf1 +2\mathrm{sym}(\nabla\otimes\vec{b}) = \mathbf0 \\ \leftrightarrow& \sigma_{ij,kk} +\frac{1}{1+\nu}\sigma_{kk,ij} +\frac{\nu}{1-\nu} b_{k,k}\delta_{ij} + b_{i,j} + b_{j,i} =0 \;,\quad i,j = 1,2,3 \end{align}

oder in Abwesenheit einer Schwerkraft:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &\Delta\boldsymbol{\sigma} +\frac1{1+\nu}\nabla\otimes\big(\nabla\mathrm{Sp}(\boldsymbol{\sigma})\big) = \mathbf0 \\ \leftrightarrow& \sigma_{ij,kk} +\frac{1}{1+\nu}\sigma_{kk,ij} = 0 \;,\quad i,j = 1,2,3 \end{align}

Das Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_{ij} ist das Kronecker-Delta und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu ist die Querkontraktionszahl.

Beweis 3
Die Herleitung basiert auf Beweis 2, der zeigte, dass wenn
$ {\mathfrak {L}}({\boldsymbol {\varepsilon }}):=\Delta {\boldsymbol {\varepsilon }}+\nabla \otimes {\big (}\nabla {\rm {Sp}}({\boldsymbol {\varepsilon }}){\big )}-2\mathrm {sym} {\big (}\nabla \otimes (\nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}){\big )} $

verschwindet, das Verzerrungsfeld ε kompatibel ist. In der Statik ist die Divergenz der Spannungen im Gleichgewicht mit der spezifischen Schwerkraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\vec{b}=\vec{0} \quad\leftrightarrow\quad \sigma_{ij,i}+b_j=0\,,\quad j=1,2,3

Mit der Abkürzung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p:=\mathrm{Sp}(\boldsymbol{\sigma})

folgt wegen 𝜵·𝜵f = Δf, 𝜵·(f 1) = 𝜵f und Sp(𝜵⊗f) = 𝜵·f:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathfrak{L}(\boldsymbol{\sigma}) =& \Delta\boldsymbol{\sigma}+\nabla\otimes\nabla p + 2\mathrm{sym}(\nabla\otimes\vec{b}) \\ \mathfrak{L}(p\,\mathbf1) =& \Delta p\,\mathbf1+\nabla\otimes\nabla p \end{align}

Bei linearer, isotroper Elastizität ist die Spannungs-Dehnungs-Beziehung linear:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\varepsilon}=\frac{1}{2G}\left[\boldsymbol{\sigma} -\frac{\nu}{1+\nu}\mathrm{Sp}(\boldsymbol{\sigma})\,\mathbf1\right] \quad\leftrightarrow\quad \varepsilon_{ij} =\frac{1}{2 G}\left[\sigma_{ij} -\frac{\nu}{1+\nu}\sigma_{kk}\delta_{ij}\right] .

Der Materialparameter G ist der Schubmodul. Jetzt kann die Kompatibilitätsbedingung mit den Spannungen ausgedrückt werden:

$ {\begin{aligned}{\mathfrak {L}}(2G{\boldsymbol {\varepsilon }})=&{\mathfrak {L}}({\boldsymbol {\sigma }})-{\frac {\nu }{1+\nu }}{\mathfrak {L}}(p\,\mathbf {1} )\\=&\Delta {\boldsymbol {\sigma }}+{\frac {1}{1+\nu }}\nabla \otimes \nabla p-{\frac {\nu }{1+\nu }}\Delta p\,\mathbf {1} +2\mathrm {sym} (\nabla \otimes {\vec {b}})=\mathbf {0} \end{aligned}} $.

Anwendung der Spur auf diese Gleichung ergibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta p= -\frac{1+\nu}{1-\nu}\mathrm{div}(\vec{b})

und führt schließlich auf die im Text aufgeführten Kompatibilitätsbedingungen.

Diese Kompatibilitätsbedingungen werden als Beltrami-Michell Gleichungen bezeichnet.[F 2]

Es existieren auch Kompatibilitätsbedingungen bei kubisch anisotroper (Albrecht 1951) und transversal isotroper (von Moisil 1952) linearer Elastizität[L 2].

Deformationsgradient

Die Komponenten des Deformationsgradienten werden aus den Ableitungen der Bewegungskomponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_{1,2,3} nach den materiellen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X_{1,2,3} berechnet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{ij}(\vec{X},t) =\frac{\partial\chi_{i}(\vec{X},t)}{\partial X_{j}}, \quad i,j=1,2,3 .

Nun liegen also $ 3\cdot 3=9 $ Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{ij} des Deformationsgradienten vor, die aus den drei Bewegungsfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_{1,2,3} abgeleitet wurden.

Sollen umgekehrt aus neun Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{ij}(\vec{X},t) des Deformationsgradienten die drei Bewegungsfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_{1,2,3}(\vec{X},t) bezogen werden können, müssen die Komponenten des Deformationsgradienten die folgenden, für sie formulieren Kompatibilitätsbedingungen einhalten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times(\mathbf{F}^\top) :=\hat{e}_k\times\frac{\partial F_{ij}}{\partial X_k} \hat{e}_j\otimes\hat{e}_i =\frac{\partial F_{ij}}{\partial X_k}\epsilon_{kjl}\hat{e}_l\otimes\hat{e}_i =\mathbf0

wo ϵijk = (êi × êj) · êk ist das Permutationssymbol ist, oder[L 3]

$ {\frac {\partial F_{ij}}{\partial X_{k}}}={\frac {\partial F_{ik}}{\partial X_{j}}}\,,\quad i,j,k=1,2,3 $

Falls das zutrifft, stellt das Poincaré-Lemma in der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times(\mathbf{F}^\top)=\mathbf0 \quad\rightarrow\quad \exists\vec{\chi}\colon\mathbf{F} =\mathrm{grad}(\vec{\chi})

sicher, dass es ein Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\chi}(\vec{X}) gibt, dessen Gradient das Tensorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} ist.

Strecktensor

Der Deformationsgradient kann wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} = \frac{\partial\chi_{i}}{\partial X_{j}}\hat{e}_{i}\otimes\hat{e}_{j} = \frac{\partial (\chi_{i}\hat{e}_{i})}{\partial X_{j}} \otimes\hat{e}_{j} =: \vec{g}_{j}\otimes\hat{e}_{j}

mit den Tangentenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}_{j}:=\frac{\partial\vec{\chi}(\vec{X},t)}{\partial X_{j}}

dargestellt werden. Die Komponenten $ g_{ik} $ des rechten Cauchy-Green Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C}=\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F} berechnen sich wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C} =g_{ik}\hat{e}_{i}\otimes\hat{e}_{k} =\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F} = \left(\hat{e}_{i}\otimes\vec{g}_{i}\right)\cdot \left(\vec{g}_{k}\otimes\hat{e}_{k}\right) = (\vec{g}_{i}\cdot\vec{g}_{k}) \hat{e}_{i}\otimes\hat{e}_{k}

aus den Skalarprodukten dieser Tangentenvektoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{ik}:=\vec{g}_{i}\cdot\vec{g}_{k} .

Mit den Christoffelsymbolen der ersten Art

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma_{mkl} := \vec{g}_{m}\cdot \frac{\partial\vec{g}_{k}}{\partial X_{l}} = \frac12\left( \frac{\partial g_{km}}{\partial X_{l}} +\frac{\partial g_{ml}}{\partial X_{k}} - \frac{\partial g_{lk}}{\partial X_{m}}\right) =\Gamma_{mlk}

kann gezeigt werden, dass bei gegebenen Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{ij} des rechten Cauchy-Green Tensors die Bewegung genau dann rekonstruierbar ist, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{ijkl} =\frac{\partial\Gamma_{ijk}}{\partial X_{l}} -\frac{\partial\Gamma_{ijl}}{\partial X_{k}} +g^{pq}(\Gamma_{pik}\Gamma_{qjl}-\Gamma_{pil}\Gamma_{qjk}) =0 \,,\;\text{für}\quad i,j,k,l=1,2,3

gilt. Die Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g^{pq} gehören zum Inversen des rechten Cauchy-Green Tensors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C}^{-1}=g^{pq}\hat{e}_{p}\otimes\hat{e}_{q}

und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{ijkl} sind die Komponenten des Riemann-Christoffel Krümmungstensors. Von den obigen Gleichungen für die 81 Komponenten des Riemann-Christoffel Tensors sind nur sechs unabhängig[L 4]. Wegen des linearen Zusammenhangs

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E}=\frac12(\mathbf{C}-\mathbf1)

zwischen dem rechten Cauchy-Green Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C} und dem Green-Lagrange’schen Verzerrungstensor $ \mathbf {E} $ können daraus auch Kompatibilitätsbedingungen für die Komponenten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{ij}=\frac12(g_{ij}-\delta_{ij}) \rightarrow g_{ij}=2E_{ij}+\delta_{ij}

des Green-Lagrange’schen Verzerrungstensors abgeleitet werden, die aber weitaus schwieriger zu lösen sind als im geometrisch linearen Fall, wo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E} in den linearisierten Verzerrungstensor ε übergeht, siehe oben und folgendes Beispiel.

Beispiel

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:
Randbedingungen und Verformung (beige) bei der Biegung des geraden Balkens (gestrichelt)

Auf einen in x-Richtung ausgerichteten, linear elastischen Balken wirke ausschließlich eine zur z-Koordinate proportionale Spannung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{xx}=\vec{t}\cdot\hat{e}_{x} = -m E z

mit Proportionalitätsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -m und Elastizitätsmodul $ E $ des Materials des Balkens, siehe Abbildung rechts. Gemäß dem Hooke’schen Gesetz entsprechen die Spannungen den Dehnungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \begin{pmatrix}\varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{zz} \end{pmatrix} =& \frac{1}{E} \begin{pmatrix}1&-\nu&-\nu\\-\nu&1&-\nu\\-\nu&-\nu&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{zz}\end{pmatrix} \\=& \begin{pmatrix}1&-\nu&-\nu\\-\nu&1&-\nu\\-\nu&-\nu&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-mz\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-mz\\ \nu mz\\ \nu mz\end{pmatrix} \end{align}

denn Schubspannungen sind nicht vorgegeben, weswegen auch keine Scherungen auftreten. Die Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu ist die Querdehnzahl des Materials des Balkens. Weil sämtliche zweiten Ableitungen der Dehnungen verschwinden, sind die Kompatibilitätsbedingungen erfüllt: es gibt also ein Verschiebungsfeld, das die vorgegebenen Dehnungen hervorruft. Mit den im Bild skizzierten Randbedingungen lauten diese Verschiebungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} u =& -m x z \\ v =&\nu m y z \\ w =&\frac{m}{2}(x^{2}-\nu y^{2}+\nu z^{2}) \end{align}

denn:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \varepsilon_{xx} =& \frac{\partial u}{\partial x} = -m z, & 2\varepsilon_{xy} =& \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} =0+0 \!\!\!\!\!\!\!\!&=&0 \\[2ex] \varepsilon_{yy} =& \frac{\partial v}{\partial y} =\nu m z, & 2\varepsilon_{yz} =&\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} =\nu m y -\nu m y \!\!\!\!\!\!\!\!&=&0 \\[2ex] \varepsilon_{zz} =&\frac{\partial w}{\partial z} =\nu m z, & 2\varepsilon_{xz} =& \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} = -m x + m x \!\!\!\!\!\!\!\!&=&0 \end{align}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u(x=0)=0 \,,\quad v(x=0, y=0)=0 \,,\quad w(x=0, y=0, z=0)=0

Im Beispiel bei den Spannungsfunktionen zeigt sich, dass dieses Bewegungsfeld auch im Gleichgewicht ist.

Siehe auch

Fußnoten

  1. ↑ In der Literatur findet sich auch die Bedingung $ \mathrm {rot(rot} {\boldsymbol {\varepsilon }})=\mathbf {0} $, was angesichts der Definition der Rotation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}\mathbf{T}=\nabla\times\mathbf{T}^\top=\hat{e}_k\times\left(\mathbf{T}^\top_{,k}\right) kein Widerspruch ist.
  2. ↑ Die Kompatibilitätsbedingungen für die Spannungen bei isotroper Elastizität in Abwesenheit einer Schwerebeschleunigung fand Beltrami 1892 und Donati und Michell formulierten den allgemeineren Fall inklusive Schwerebeschleunigung 1894 bzw. 1900, siehe M. E. Gurtin (1972), S. 92. Trotzdem also Donatis Arbeit sechs Jahre früher erschien als Michells, wird diese allgemeinere Gleichung als Beltrami-Michell Gleichung bezeichnet.

Einzelnachweise

  1. ↑ M. E. Gurtin (1972), S. 40
  2. ↑ M. E. Gurtin (1972), S. 92
  3. ↑ Haupt (2002), S. 65.
  4. ↑ E. Klingbeil: Tensorrechnung für Ingenieure. B.I. Wissenschaftsverlag, 1989, ISBN 3-411-05197-3, S. 122.

Literatur

  • M. E. Gurtin: The Linear Theory of Elasticity. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.
  • P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-07718-0.
  • E. Klingbeil: Tensorrechnung für Ingenieure. B.I. Wissenschaftsverlag, 1989, ISBN 3-411-05197-3.
  • Martin H. Sadd: Elasticity – Theory, applications and numerics. Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005, ISBN 0-12-605811-3.
  • P. K. Raschewski: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaft, 1959.
Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/physik_137/index.php?title=Kompatibilitätsbedingung&oldid=17656“