Deformationsgradient

Der Deformationsgradient (Formelzeichen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} ) ist in der Kontinuumsmechanik ein Mittel zur Beschreibung der lokalen Verformung an einem materiellen Punkt eines Körpers. Zur Veranschaulichung kann man sich einen Körper (in Abbildung 1, gelb) vorstellen auf den eine kurze Linie (weil nur lokale Änderungen beschrieben werden, im Bild fett rot) eingeritzt wird. Wird der Körper deformiert (rechts im Bild), wird die eingeritzte Linie nicht nur ihre Lage im Raum ändern, sondern auch gedehnt (oder gestaucht) und verdreht werden. Die Dehnung und Verdrehung beschreibt der Deformationsgradient und ist so ein Maß für die Deformation, daher der Name. Der Anhang Gradient verweist auf die Tatsache, dass lokale Änderungen beschrieben werden. Aus dem Deformationsgradient lassen sich Maße für die lokale Streckung, Verzerrung, Flächen- und Volumenänderung ableiten. Im allgemeinen Fall ist der Deformationsgradient sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig. Die zeitliche Änderung des Deformationsgradienten gibt Maße für die Änderungsraten der Streckung, Verdrehung, Verzerrung, Flächen- und Volumenänderung. Der Deformationsgradient ist einheitenfrei.

Bei den angesprochenen kurzen Linien handelt es sich mathematisch um Vektoren, die vom Deformationsgradient transformiert werden, wobei die Vektoren im Allgemeinen gedreht und gestreckt werden. Abbildungen von Vektoren leisten Tensoren, siehe Abbildung 2, weswegen der Deformationsgradient ein Tensor ist. Wenn es klar ist, auf welches Koordinatensystem sich der Deformationsgradient bezieht, berechnet er sich wie eine Jacobimatrix und kann dann auch als Matrix notiert werden. Oft bildet der Deformationsgradient die (infinitesimal kleinen) materiellen Linienelemente in der Ausgangs- oder Referenzkonfiguration in die aktuelle oder Momentankonfiguration ab. Ganz allgemein kann eine solche Abbildung aber auch zwischen beliebig anderen zu definierenden Konfigurationen stattfinden.

Definition und Darstellungsweisen

Definition

Die Bewegung eines materiellen Punktes wird mit der Bewegungsfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t)

beschrieben. Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} ist die aktuelle Position des materiellen Punktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t in der Momentankonfiguration. Genauer ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} die Position des betrachteten materiellen Punktes in der undeformierten Ausgangs- oder Referenzkonfiguration des Körpers zu einer Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_0\le t . Bei festgehaltenem materiellen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} beschreibt die Bewegungsfunktion dessen Bahnlinie durch den Raum. Im kartesischen Koordinatensystem mit der Standardbasis {Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 } hat der Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} die komponentenweise Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} =\sum_{i=1}^3{x}_i{\vec{e}}_i =\sum_{i=1}^3{\chi}_i(\vec{X},t){\vec{e}}_i

und entsprechend gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}=\sum_{i=1}^3{X}_i{\vec{e}}_i . Um zu untersuchen wie sich die aktuelle Position ändert, wenn die Position in der undeformierten Ausgangslage variiert, wird die Ableitung gebildet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{ij} = \frac{\partial\chi_i(\vec{X},t)}{\partial{X}_j}    für   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i,j=1,2,3 .

Die Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{ij} sind die Komponenten des Deformationsgradienten bezüglich des Basissystems Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\vec{e}}_i .

Um zu einer koordinatenfreien Darstellung zu gelangen, wird das dyadische Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\otimes} benutzt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} := \mathrm{GRAD}\,\vec{\chi}(\vec{X},t) = \frac{\partial\chi_i}{\partial X_j} \vec{e}_i \otimes \vec{e}_j =\begin{pmatrix} F_{11}& F_{12}& F_{13}\\ F_{21}& F_{22}& F_{23}\\ F_{31}& F_{32}& F_{33} \end{pmatrix}_{\vec{e}_i \otimes \vec{e}_j} .

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} der Deformationsgradient und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{GRAD} ist der Operator für den materiellen Gradienten, denn es wird nach den materiellen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {X}_j differenziert.

Der Deformationsgradient kann auch mit der Richtungsableitung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}(\vec{X},t)\cdot\mathrm{d}\vec{X} =\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\vec{\chi}{(\vec{X}+s\;\mathrm{d}\vec{X},t)} \right|_{s=0}=\mathrm{d}\vec{x}

dargestellt werden, was seine Transformationseigenschaften der Linienelemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{X} verdeutlicht, siehe Abbildung 3.

Definitions- und Wertebereich

Mathematisch ist das Differential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{X} in

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{x} = \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\vec{X}

Element des Tangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{T}_{\vec{X}}V im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} des Raumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V , den der undeformierte Körper in der Ausgangskonfiguration einnimmt (in Abbildung 4 oben). Das Differential $ \mathrm {d} {\vec {x}}=\mathrm {d} {\vec {\chi }} $ ist entsprechend ein Element des Tangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\mathrm{T}}_{\vec{x}}v im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} des Raumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v , den der deformierte Körper in der Momentankonfiguration einnimmt (im Bild unten). Damit wird der Deformationsgradient zur Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{llll} \mathbf{F}{:}& \mathrm{T}_{\vec{X}}V& \mapsto & \mathrm{T}_{\vec{x}}v \\ & \mathrm{d}\vec{X}& \rightarrow & \mathrm{d}\vec{x} =\mathbf{F}(\vec{X},t)\cdot\mathrm{d}\vec{X} \end{array} .

Darstellung in konvektiven Koordinaten

Werden jedem materiellen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} über eine Referenzkonfiguration konvektive Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\Theta}=(\Theta_1, \Theta_2, \Theta_3) zugeordnet, bilden die Tangentenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{G}_i := \dfrac{\partial \vec{X}(\vec{\Theta})}{\partial\Theta_i}    bzw.   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}_i := \dfrac{\partial \vec{\chi}\left(\vec{X}(\vec{\Theta})\right)}{\partial\Theta_i}

kovariante Basen der Tangentialräume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{T}_{\vec{X}}V im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{T}_{\vec{x}}v im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} (in Abbildung 4 schwarz dargestellt). Die Gradienten der konvektiven Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{G}^i := \displaystyle \sum_{j=1}^3 \dfrac{\partial\Theta_i}{\partial X_j}\vec{e}_j    bzw.   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}^i := \displaystyle \sum_{j=1}^3 \frac{\partial\Theta_i}{\partial x_j}\vec{e}_j

bilden kontravariante Basen, die zu den kovarianten dual sind (in Abbildung 4 blau dargestellt).

In diesen Basissystemen ausgedrückt bekommt der Deformationsgradient die besonders einfache Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} = \sum_{i=1}^3 \vec{g}_i \otimes \vec{G}^i .

In dieser Darstellung lässt sich auch sofort mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}^{-1}=\sum_{i=1}^3\vec{G}_i\otimes \vec{g}^i \quad\Leftrightarrow\quad \vec{g}_i=\mathbf{F}\cdot\vec{G}_i .

die Inverse des Deformationsgradienten angeben. Der transponiert inverse Deformationensgradient bildet die kontravarianten Basisvektoren aufeinander ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{F}^{\mathrm{T}})^{-1} =\sum_{i=1}^3\vec{g}^i\otimes \vec{G}_i \quad\Leftrightarrow\quad \vec{g}^i=(\mathbf{F}^{\mathrm{T}})^{-1}\cdot\vec{G}^i .

Der räumliche Deformationsgradient

Zumeist wird der Deformationsgradient wie oben in seiner materiellen Darstellung formuliert. Gelegentlich wird aber auch der räumliche Deformationsgradient benutzt. Wegen $ \mathrm {det} (\mathbf {F} )>0 $ kann der Deformationsgradient invertiert und das Ergebnis über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}=\vec{\chi}^{-1}(\vec{x},t) als Funktion der räumlichen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} ausgedrückt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{f}(\vec{x},t) =\mathbf{F}^{-1}(\vec{\chi}^{-1}(\vec{x},t),t) = \operatorname{grad}(\vec{X},t) = \frac{\mathrm{d}(\vec{\chi}^{-1})_i}{\mathrm{d}x_j} \vec{e}_i \otimes \vec{e}_j .

Der räumliche Deformationsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{f}(\vec{x},t) bildet dann das Linienelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{x} auf das Linienelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{X} ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{llll} \mathbf{f}:& \mathrm{T}_{\vec{x}}v& \mapsto & \mathrm{T}_{\vec{X}} V \\ & \mathrm{d}\vec{x}& \rightarrow & \mathrm{d}\vec{X} =\mathbf{f}(\vec{x},t)\cdot\mathrm{d}\vec{x}\end{array} .

Entsprechend hat der räumliche Deformationsgradient in konvektiven Koordinaten die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{f} = \sum_{i=1}^3 \vec{G}_i \otimes \vec{g}^i .

Geometrische Linearisierung

In der Festkörpermechanik treten in vielen Anwendungsbereichen nur kleine Deformationen auf. In diesem Fall erfahren die Gleichungen der Kontinuumsmechanik eine erhebliche Vereinfachung durch geometrische Linearisierung. Dazu werden die Verschiebungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}(\vec{X},t) betrachtet, die ein materieller Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} im Laufe seiner Bewegung erfährt. Weil $ {\vec {x}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t) $ die aktuelle Position des Punktes ist, der in der Ausgangskonfiguration die Position Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} hatte, ist die Verschiebung die Differenz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}=\vec{\chi}(\vec{X},t)-\vec{X} .

Der materielle Gradient der Verschiebungen ist der Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H}=\mathrm{GRAD}\,\vec{u}=\mathrm{GRAD}\,\vec{\chi}-\mathrm{GRAD}\,\vec{X}=\mathbf{F}-\mathbf{I} .

und wird Verschiebungsgradient genannt. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L_0 eine charakteristische Abmessung des Körpers ist, dann wird bei kleinen Verschiebungen sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\vec{u}| \ll L_0 als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf{H}\parallel \ll 1 gefordert, so dass alle Terme, die höhere Potenzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H} beinhalten vernachlässigt werden können. In diesem Fall ergeben sich die folgenden Zusammenhänge:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \mathbf{F} &=& \mathbf{I} + \mathbf{H} \\ \mathbf{F}^{-1}&\approx& \mathbf{I}-\mathbf{H} \\ \mathrm{det}(\mathbf{F}) &\approx& 1+\mathrm{Sp}(\mathbf{H}) \\ \mathbf{U}&\approx& \mathbf{I}+ \frac{1}{2}(\mathbf{H}+\mathbf{H}^\mathrm{T}) \\ \mathbf{v}&\approx& \mathbf{I}+ \frac{1}{2}(\mathbf{H}+\mathbf{H}^\mathrm{T}) \\ \mathbf{R}&\approx& \mathbf{I}+\frac{1}{2}(\mathbf{H}-\mathbf{H}^\mathrm{T}) \end{array} .

Die Tensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U}, \mathbf{v} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} kommen in der polaren Zerlegung vor, siehe unten.

Transformationseigenschaften

Polare Zerlegung

Abbildung 5: Polare Zerlegung des Deformationsgradienten

Der Deformationsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} lässt sich eindeutig "polar" in eine Rotation und eine reine Streckung zerlegen. Durch Anwendung der Polarzerlegung resultiert die Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}=\mathbf{R\cdot U}=\mathbf{v\cdot R} .

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} ein "eigentlich orthogonaler Tensor". Der materielle rechte Strecktensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} und der räumliche linke Strecktensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} sind symmetrisch und positiv definit. (Eselsbrücke: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} steht rechts von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} links davon in der polaren Darstellung.)

Anschaulich bedeutet die polare Zerlegung eine Hintereinanderschaltung zweier Transformationen: Im einen Fall eine rotationsfreie Streckung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} mit anschließender Drehung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} und im anderen Fall eine Drehung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} mit anschließender rotationsfreier Streckung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} so wie sie in Abbildung 5 dargestellt sind.

Der rechte Strecktensor berechnet sich gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} = +\sqrt{\mathbf{F}^\mathrm{T}\cdot \mathbf{F}}

aus der Hauptachsentransformation von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}^\mathrm{T}\cdot\mathbf{F} , ziehen der Wurzel der Diagonalglieder und Rücktransformation, siehe auch das Beispiel unten. Entsprechend gilt für den linken Strecktensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} = +\sqrt{\mathbf{F\cdot F}^\mathrm{T}} .

Der Rotationstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} ergibt sich dann aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} = \mathbf{F\cdot U}^{-1} = \mathbf{v}^{-1}\cdot\mathbf{F} .

Linien-, Flächen- und Volumenelemente

Mit Hilfe des Deformationsgradienten können Integrale in der materiellen Darstellung in die räumliche umgerechnet werden. Die zu integrierende Größe sei ein Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q das skalar-, vektor- oder tensorwertig sein kann und in der materiellen Darstellung $ q_{0}({\vec {X}},t) $ und der räumlichen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q(\vec{x},t) =q_0\left(\vec{\chi}^{-1}(\vec{x},t),t\right)

vorliege. Dann gelten die Identitäten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{ll} \int_{l} q(\vec{x},t)\mathrm{d}\vec{x} &= \int_{L} q_{0}(\vec{X},t)\; \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\vec{X} \\ \int_{a}q(\vec{x},t)\vec{n}\;\mathrm{d}a &= \int_{A} q_0(\vec{X},t) \;\mathrm{det}(\mathbf{F})(\mathbf{F}^{\mathrm{T}})^{-1}\cdot\vec{N} \;\mathrm{d}A \\ \int_{v} q(\vec{x},t)\mathrm{d}v &= \int_{V} q_{0}(\vec{X},t)\;\mathrm{det}(\mathbf{F})\;\mathrm{d}V \end{array} .

Der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{det}(\cdot) bildet die Determinante und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): ((\cdot)^{\mathrm{T}})^{-1} die transponiert Inverse. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L ist eine materielle Linie in der Ausgangskonfiguration und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l die zugehörige räumliche in der Momentankonfiguration. Die Oberfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A des Körpers in der Ausgangskonfiguration hat das Oberflächenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{N}\mathrm{d}A , d. h. die mit dem Flächenstück Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}A multiplizierte Normale $ {\vec {N}} $ des Flächenstücks. Gleiches gilt für das räumliche Flächenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n}\mathrm{d}a auf der Oberfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a des Körpers in der Momentankonfiguration. Diese Transformationen sind bei der Zeitableitung der Integrale auf den linken Seiten der Gleichungen nützlich, weil die Gebiete auf den linken Seiten von der Zeit abhängen nicht so aber auf den rechten Seiten.

Volumenverhältnis

Die Determinante von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} gibt das lokale Volumenverhältnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J=\mathrm{det}(\mathbf{F})=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}V}> 0 im betrachteten materiellen Punkt bei der Deformation an.

Damit ergibt sich u. a., dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J=\mathrm{det}(\mathbf{F}) positiv sein muss, sonst wäre die Deformation physikalisch nicht möglich (Inversion des materiellen Punktes).

Bleibt bei einer Deformation das Volumen erhalten, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J=1 , liegt Inkompressibilität vor. Bei Gummi- oder Elastomer-Werkstoffen ist dies eine übliche Annahme in der kontinuumsmechanischen Beschreibung und durch das Verhalten dieser Werkstoffklasse annähernd der Fall. Gleiches gilt für die inkompressiblen Flüssigkeiten.

Transformation von Tensoren

Der Deformationsgradient transformiert neben den Linien-, Flächen- und Volumenelementen auch Tensoren von der Ausgangskonfiguration in die Momentankonfiguration. Diese Transformationen sind für kovariante Tensoren (oftmals Verzerrungstensoren) und kontravariante Tensoren (oftmals Spannungstensoren) unterschiedlich, z. B.:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \mathbf{e} &=& (\mathbf{F}^{\mathrm{T}})^{-1}\cdot\mathbf{E}\cdot\mathbf{F}^{-1} \\ \mathbf{S} &=& \mathbf{F}\cdot\tilde{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{F}^\mathrm{T} \end{array} .

Der Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{e}:= \tfrac{1}{2}(\mathbf{I}-(\mathbf{F}^{\mathrm{T}})^{-1}\cdot\mathbf{F}^{-1})

ist der Euler-Almansi-Verzerrungstensor in der Momentankonfiguration,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{E}:= \tfrac{1}{2}({\mathbf{F}}^\mathrm{T}\cdot\mathbf{F}-\mathbf{I})

der Green-Lagrange’sche Verzerrungstensor in der Ausgangskonfiguration,

$ \mathbf {S} :=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathbf {T} $

der gewichtete Cauchy’sche Spannungstensor, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T} der Cauchy’sche Spannungstensor (beide in der Momentankonfiguration) und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{\mathbf{T}} := \det(\mathbf{F}) \mathbf{F}^{-1}\cdot\mathbf{T}\cdot (\mathbf{F}^{\mathrm{T}})^{-1}

der zweite Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor in der Ausgangskonfiguration. Das Skalarprodukt ":" der so einander zugeordneten Tensoren wird von der Transformation nicht verändert, z. B.:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{S}:\mathbf{e} = \mathbf{F}\cdot\tilde{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{F}^\mathrm{T} : (\mathbf{F}^{\mathrm{T}})^{-1}\cdot\mathbf{E}\cdot\mathbf{F}^{-1} = \tilde{\mathbf{T}}:\mathbf{E} .

Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten

Die Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten wird in Materialtheorie angewendet, um die Deformation eines Körpers auf Grund verschiedener Einflüsse zu modellieren. So kann sich ein Körper deformieren, weil er erwärmt wird oder einer äußeren Kraft ausgesetzt wird. Die Deformation kann zusätzlich davon abhängen, wie schnell die Temperatur oder Kraft aufgebracht wird. Die Reaktionen des Materials lassen sich einfacher modellieren, wenn die Phänomene voneinander getrennt betrachtet werden. So kann ein Modell den Einfluss der Temperatur nachbilden und ein anderes Modell die isotherme Verformung durch Kräfte. Die Deformationen aufgrund des einen oder anderen Phänomens können dann anschließend wieder zusammengeführt werden. In der Materialtheorie hat es sich durchgesetzt bei kleinen Verformungen eine additive Zerlegung der Dehnungen und bei großen Verformungen eine multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten zu benutzen.

Seien also a und b zwei Verformungsanteile eines Materials. Für die Modellbildung wird der Deformationsgradient multiplikativ zerlegt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} = \mathbf{F}_a \cdot \mathbf{F}_b .

Ein Modell beschreibt dann die Entwicklung des Anteils Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_a auf Grund des Einflusses a und ein anderes Modell die Entwicklung des Anteils Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_b auf Grund des Einflusses b. Die Deformationsgradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_a und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_b erfüllen im Allgemeinen nicht die Kompatibilitätsbedingungen, weswegen es im Allgemeinen kein Bewegungsfeld gibt, aus dem die beiden Anteile per Gradientenbildung abgeleitet werden können.

Weil der Deformationsgradient, wie im vorigen Abschnitt erläutert, Tensoren von einer Konfiguration in die andere transformiert, entspricht die multiplikative Zerlegung der Einführung einer Zwischenkonfiguration. Die Tensoren der Referenzkonfiguration werden mit dem Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_b und die der Momentankonfiguration mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_a in die Zwischenkonfiguration transformiert. Transformation des Green-Lagrange’schen Verzerrungstensors von der Referenzkonfiguration in die Zwischenkonfiguration liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \boldsymbol{\Gamma} &:=& (\mathbf{F}_b^{\mathrm{T}})^{-1}\cdot\mathbf{E}\cdot\mathbf{F}_b^{-1} = (\mathbf{F}_b^{\mathrm{T}})^{-1}\cdot\frac{1}{2}\left( (\mathbf{F}_a \cdot \mathbf{F}_b)^\mathrm{T}\cdot (\mathbf{F}_a \cdot \mathbf{F}_b) - \mathbf{I}\right) \cdot \mathbf{F}_b^{-1} =:\boldsymbol{\Gamma}_a + \boldsymbol{\Gamma}_b \\ \boldsymbol{\Gamma}_a &:=& \frac{1}{2}\left( \mathbf{F}_a^\mathrm{T}\cdot\mathbf{F}_a - \mathbf{I}\right) \\ \boldsymbol{\Gamma}_b &:=& \frac{1}{2}\left( \mathbf{I} - (\mathbf{F}_b^{\mathrm{T}})^{-1}\cdot\mathbf{F}_b^{-1} \right). \end{array}

Der in die Zwischenkonfiguration transformierte Green-Lagrange’sche Verzerrungstensor zerfällt also in zwei Anteile:

• Ein Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\Gamma}_a ist vom Green-Lagrange-Typ und wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_a gebildet.
• Der andere Anteil ist vom Euler-Almansi-Typ und wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_b gebildet.

Gleiches gilt, wenn der Euler-Almansi Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{e} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_a auf die Zwischenkonfiguration transformiert wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_a^\mathrm{T}\cdot\mathbf{e}\cdot\mathbf{F}_a = \mathbf{F}_a^\mathrm{T}\cdot\frac{1}{2}\left( \mathbf{I} - (\mathbf{F}_a \cdot (\mathbf{F}_b)^{\mathrm{T}})^{-1}\cdot (\mathbf{F}_a \cdot \mathbf{F}_b)^{-1} \right) \cdot \mathbf{F}_a =\boldsymbol{\Gamma}_a + \boldsymbol{\Gamma}_b

In der Zwischenkonfiguration können nun die beiden Phänomene mit den Verzerrungstensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\Gamma}_a und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\Gamma}_b getrennt modelliert werden. Der sich im Modell in der Zwischenkonfiguration ergebende Spannungstensor wird anschließend mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_a in die Momentankonfiguration oder mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}_b in die Referenzkonfiguration transformiert.

Deformationsraten

Die materielle Zeitableitung des Deformationsgradienten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{F}} := \mathrm{GRAD}\,\dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) = \frac{\mathrm{d}\dot{\chi}_i}{\mathrm{d}X_j}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j

ist ein Maß für die Deformationsgeschwindigkeit. Sie hängt über

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l} := \mathrm{grad}\,\vec{v}(\vec{x},t) = \frac{\mathrm{d}v_i}{\mathrm{d}x_j}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j = \sum_{i,j,k=1}^3 \frac{\mathrm{d}v_i}{\mathrm{d}X_k} \vec{e}_i\otimes\vec{e}_k \cdot \frac{\mathrm{d}X_l}{\mathrm{d}x_j}\vec{e}_l\otimes\vec{e}_j = \dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1}

mit dem räumlichen Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l} des räumlichen Geschwindigkeitsfeldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec{x},t) zusammen. In konvektiven Koordinaten lautet das

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \dot{\mathbf{F}} &=& \displaystyle \sum_{i=1}^3 \dot{\vec{g}}_i \otimes \vec{G}^i \\ \mathbf{l} &=& \displaystyle \sum_{i=1}^3 \dot{\vec{g}}_i \otimes \vec{g}^i = - \sum_{i=1}^3 \vec{g}_i \otimes \dot{\vec{g}}^i. \end{array}

Beispiel

Die Berechnung des Deformationsgradienten und seiner polare Zerlegung wird anhand der Scherung eines Quadrates vorgeführt.

Ein Quadrat der Kantenlänge eins wird zu einem flächengleichen Parallelogramm mit Grundseite und Höhe eins verformt, siehe Abbildung 6. Die Punkte des Quadrates haben in der Ausgangskonfiguration die Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}\in [0,1]^2 \subset \mathbb{R}^{2} .

Die Neigung des Parallelogramms sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tan(\alpha ) =\frac{5}{6} \quad\rightarrow\quad \alpha \approx 0{,}6947\,\mathrm{rad} \approx 39{,}8055^\circ .

Dann sind die räumlichen Koordinaten der Punkte gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} =\vec{\chi}\left(\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix},t\right) =\begin{pmatrix} X+\tan(\alpha )Y\\ Y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} X+\frac{5}{6}Y\\ Y \end{pmatrix} .

Wie üblich wird $ X $ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Y mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X_2 identifiziert. Dann bekommt man den Deformationsgradient durch Ableitung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} =\sum_{i,j=1}^{2} \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \vec{e}_i\otimes \vec{e}_j =\begin{pmatrix} 1& \frac{5}{6}\\ 0& 1 \end{pmatrix} .

Die Richtungsableitung liefert über

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \mathbf{F}\cdot \begin{pmatrix} \mathrm{d}X\\ \mathrm{d}Y\end{pmatrix} &=&\dfrac{\partial}{\partial s}\vec{\chi}\left.\left(\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} \mathrm{d}X\\ \mathrm{d}Y \end{pmatrix},t\right)\right|_{s=0} = \left.\dfrac{\partial}{\partial s} \begin{pmatrix} (X+s\mathrm{d}X) + \frac{5}{6} (Y+s\mathrm{d}Y ) \\ (Y+s\mathrm{d}Y) \end{pmatrix}\right|_{s=0} \\[3ex] &=& \begin{pmatrix} \mathrm{d}X+\frac{5}{6}\mathrm{d}Y\\ \mathrm{d}Y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1& \frac{5}{6}\\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{d}X\\ \mathrm{d}Y \end{pmatrix} \end{array}

dasselbe Ergebnis. Der Deformationsgradient ist hier vom Ort und der Zeit unabhängig und hat die Determinante eins, was den Erhalt des Flächeninhalts bestätigt. Der rechte Strecktensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} berechnet sich aus dem rechten Cauchy-Green-Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C} =\mathbf{F}^\mathrm{T}\cdot\mathbf{F} =\begin{pmatrix} 1& 0\\ \frac{5}{6}& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& \frac{5}{6}\\ 0& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1& \frac{5}{6}\\ \frac{5}{6}& \frac{61}{36} \end{pmatrix}

über Hauptachsentransformation, ziehen der Wurzel der Diagonalglieder und Rücktransformation. Für die Hauptachsentransformation braucht man die Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_{1,2} und -vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}_{1,2} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{C} . Man findet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lclclcl} \lambda_1 &=& \dfrac{9}{4} &,\quad& \vec{v}_1 &=& \dfrac{1}{\sqrt{13}} \begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix} \\[3ex] \lambda_2 &=& \dfrac{4}{9} &,\quad& \vec{v}_2 &=& \dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} \end{array} .

Mit diesen Eigenwerten und -vektoren erhält man die Hauptachsentransformation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} \mathbf{C} &=&\displaystyle \sum_{i=1}^{2}\lambda_{i}\vec{v}_{i}\otimes \vec{v}_{i} =\left(\sum_{j=1}^{2}\vec{v}_{j}\otimes \vec{e}_{j}\right)\cdot \left(\sum_{i=1}^{2}\lambda_{i}\vec{e}_{i}\otimes \vec{e}_{i}\right)\cdot \left(\sum_{k=1}^{2}\vec{e}_{k}\otimes \vec{v}_{k}\right) \\[3ex] &=& \dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} 2& 3\\ 3& -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{9}{4}& 0\\ 0& \frac{4}{9} \end{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} 2& 3\\ 3& -2 \end{pmatrix} \end{array}

und damit den rechten Strecktensor

$ \mathbf {U} =+{\sqrt {\mathbf {C} }}={\frac {1}{13}}{\begin{pmatrix}2&3\\3&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}+{\sqrt {\frac {9}{4}}}&0\\0&+{\sqrt {\frac {4}{9}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\\3&-2\end{pmatrix}}={\frac {1}{13}}{\begin{pmatrix}12&5\\5&{\frac {97}{6}}\end{pmatrix}} $.

Mit seiner Inversen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U}^{-1} =\frac{1}{13}\begin{pmatrix} \frac{97}{6}& -5\\ -5& 12 \end{pmatrix}

ergibt sich der Rotationstensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} =\mathbf{F\cdot U}^{-1} =\frac{1}{13}\begin{pmatrix} 12& 5\\ -5& 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\beta)&-\sin(\beta) \\ \sin(\beta)& \cos(\beta) \end{pmatrix} ,

siehe Drehmatrix. Der Rotationstensor dreht das im Bild königsblaue Parallelogramm oder hellblaue Quadrat um den Winkel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta = \left|\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right| \approx 0{,}3948\,\mathrm{rad} \approx 22{,}6199^\circ .

Den linken Strecktensor kann man nun einfacher aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v} =\mathbf{F\cdot R}^\mathrm{T} =\begin{pmatrix} 1& \frac{5}{6}\\ 0& 1 \end{pmatrix} \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 12& -5\\ 5& 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} \frac{97}{6}& 5\\ 5& 12 \end{pmatrix}

ermitteln.

Siehe auch

Mathematik:

• Differentialgeometrie
• Jacobimatrix

Formelsammlungen:

• Formelsammlung Tensoralgebra
• Formelsammlung Tensoranalysis

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66114-X.