Clausius-Duhem-Ungleichung

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Clausius-Duhem-Ungleichung

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Die Clausius-Duhem-Ungleichung ist die in der Kontinuumsmechanik benutzte Form des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik.

Die mathematische Formulierung dieses Gesetzes trifft – wie alle anderen physikalischen Gesetze auch – keine Aussagen über die individuellen Eigenschaften von Körpern. Um das thermodynamische Verhalten eines speziellen Körpers zu bestimmen, bedarf es also noch eines Materialmodells, das sein materialspezifisches Verhalten wiedergibt.

Die Clausius-Duhem-Ungleichung ist weniger als Einschränkung für physikalische Prozesse, sondern vielmehr als Anforderung an die konstitutiven Gleichungen eines Materialmodells zu interpretieren: Es muss sichergestellt sein, dass die Clausius-Duhem-Ungleichung von den Materialgleichungen für beliebige Prozesse erfüllt wird. Hieraus ergeben sich dann oftmals Wertebereiche, in denen Materialparameter eines Modells liegen müssen. Beispielsweise folgt in der idealen Plastizität im Fallbeispiel, dass die Lamé-Konstanten positiv sind.

Entropiebilanz

Die Entropiebilanz beschreibt, wie sich die Entropie eines Körpers durch äußere Einflüsse ändert. Wenn s die spezifische Entropie, $ {\vec {\varsigma }} $ der Entropiefluss pro Fläche, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma die spezifische Entropiezufuhr und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma die spezifische Entropieproduktion ist, dann lautet die Entropiebilanz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_v s\,\rho\mathrm{d}v = \int_v \sigma\,\rho\mathrm{d}v + \int_v \gamma\,\rho\mathrm{d}v - \int_a \vec{\varsigma}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}a .

In dieser Gleichung sind v das vom Körper eingenommene Volumen, a die Oberfläche des Körpers, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n} die auf dem Oberflächenelement $ \mathrm {d} a $ des Körpers nach außen gerichtete Normale und d/dt die Ableitung nach der Zeit (zeitliche Änderung). Das negative Vorzeichen des letztens Terms liefert eine Entropiezufuhr, wenn der Entropiestrom in den Körper gerichtet ist.

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik bringt die Erfahrung zum Ausdruck, dass mechanische Arbeit vollständig in Wärme umgewandelt werden kann, die Umwandlung von Wärme in mechanische Energie aber nur zum Teil gelingt. Die Dissipation von mechanischer Arbeit in Wärme geht mit einer Entropieproduktion einher, die also nicht negativ sein darf:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_v \gamma\,\rho\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_v s\,\rho\mathrm{d}v - \int_v \sigma\,\rho\mathrm{d}v + \int_a \vec{\varsigma}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}a \ge 0 ,

Diese Gleichung wird auch Dissipationsungleichung genannt.

Clausius-Duhem-Ungleichung

Aus der Gleichgewichtsthermodynamik homogener Systeme ist bekannt, dass der Entropiefluss der Quotient aus dem Wärmefluss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{q} und der absoluten Temperatur T ist und ein gleicher Zusammenhang wird zwischen der spezifischen Wärmeproduktion r und der Entropieproduktion postuliert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\varsigma} = \frac{\vec{q}}{T} \quad\textsf{und}\quad \sigma = \frac{r}{T} .

Mit diesen Annahmen leitet sich aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik die globale Formulierung der Clausius-Duhem-Ungleichung ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_v s\, \rho\mathrm{d}v \ge \int_v \frac{r}{T}\,\rho\mathrm{d}v -\int_a \frac{\vec{q}}{T}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}a

Ausnutzung des Divergenzsatzes, der Produktregel und der lokalen Massen- und Energiebilanz liefert die lokale Formulierung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d} - \dot{\psi} -s\dot{T}-\frac{\vec{q}}{\rho T}\cdot\operatorname{grad}(T)\ge 0
Beweis
Die Zeitableitung des Volumenintegrals lässt sich mit dem Divergenzsatz und der Produktregel umformen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_v s\, \rho\mathrm{d}v &=& \int_v \frac{\partial (s\, \rho)}{\partial t} \mathrm{d}v + \int_a s\, \rho (\vec{v}\cdot\vec{n})\mathrm{d}a =\int_v \left( \frac{\partial s}{\partial t}\rho + s \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(s\, \rho\,\vec{v})\right)\mathrm{d}v \\ &=& \int_v \left( \frac{\partial s}{\partial t}\rho + s \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\,\operatorname{grad}(s)\cdot\vec{v} + s\,\operatorname{grad}(\rho)\cdot\vec{v} + s\,\rho\,\operatorname{div}(\vec{v}) \right)\mathrm{d}v \\ &=& \int_v \left( \frac{\partial s}{\partial t}\rho + \rho\,\operatorname{grad}(s)\cdot\vec{v}\right)\mathrm{d}v = \int_v \dot{s}\,\rho\mathrm{d}v \end{array}

Die anderen Terme verschwinden wegen der für beliebige Volumina geltenden Konstanz der Masse

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_v \rho\mathrm{d}v &=& \int_v\left(\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \operatorname{div}(\rho\,\vec{v})\right)\mathrm{d}v = \int_v \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{grad}(\rho)\cdot\vec{v} + \rho\,\operatorname{div}(\vec{v}) \right)\mathrm{d}v = 0 \\ \rightarrow 0 &=& \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{grad}(\rho)\cdot\vec{v} + \rho\,\operatorname{div}(\vec{v}) \end{array}

Der Transportterm lässt sich ebenfalls mit dem Divergenzsatz und der Produktregel umformen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_a \frac{\vec{q}}{T}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}a = \int_v \operatorname{div}\left(\frac{\vec{q}}{T}\right)\mathrm{d}v = \int_v\left( \frac{\operatorname{div}(\vec{q})}{T} -\frac{\operatorname{grad}(T)\cdot\vec{q}}{T^2} \right)\mathrm{d}v
Die bisherigen Ergebnisse liefern zusammengefasst:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_v\left(\dot{s} - \frac{r}{T} - \frac{\operatorname{grad}(T)\cdot\vec{q}}{\rho T^2} + \frac{\operatorname{div}(\vec{q})}{\rho T} \right)\rho\mathrm{d}v\ge 0 \quad\rightarrow\quad \dot{s} - \frac{\operatorname{grad}(T)\cdot\vec{q}}{\rho T^2} - \frac{1}{T}\left(r-\frac{\operatorname{div}(\vec{q})}{\rho}\right) \ge 0
denn die Ungleichung gilt für jedes beliebige Teilvolumen. Einsetzen der lokalen Innere-Energie-Bilanz
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{u}=\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d} +r-\frac{\operatorname{div}(\vec{q})}{\rho} \quad\rightarrow\quad r-\frac{\operatorname{div}(\vec{q})}{\rho} =\dot{u}-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d}
führt auf
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{s} - \frac{\operatorname{grad}(T)\cdot\vec{q}}{\rho T^2} - \frac{1}{T}\left( \dot{u}-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d} \right) \ge 0 \quad\rightarrow\quad \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d} - \dot{u} + T \dot{s} - \frac{\vec{q}}{\rho T}\cdot\operatorname{grad}(T) \ge 0 .
Mit der Helmholtz'schen freien Energie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi = u - s T \quad\rightarrow\quad \dot{\psi} + s \dot{T} = \dot{u} - \dot{s} T

entsteht das Endergebnis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d} - \dot{\psi} -s\dot{T}-\frac{\vec{q}}{\rho T}\cdot\operatorname{grad}(T)\ge 0

Es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma} der Cauchy'sche Spannungstensor, d die Verzerrungsgeschwindigkeit und ":" das Frobenius-Skalarprodukt. Dieses Skalarprodukt liefert die Leistung der Spannungen entlang eines Verzerrungsweges während der Deformation eines Körpers. Weiter ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi die Helmholtzsche freie Energie und grad(T) der Gradient der Temperatur (ein Vektor mit der Dimension Temperatur pro Länge der in Richtung des stärksten Temperaturanstiegs weist).

Im wichtigen Sonderfall, in dem Temperaturänderungen vernachlässigt werden können, vereinfacht sich diese lokale Form zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d}-\dot{\psi}\ge 0

Die spezifische Spannungsleistung muss also jederzeit größer sein als die Produktion an freier Energie. Der Überschuss wird dissipiert. Die lokale Form ist weniger als Einschränkung physikalischer Prozesse, sondern vielmehr als Anforderung an Materialmodelle zu interpretieren: Es muss sichergestellt sein, dass die lokale Form der Clausius-Duhem-Ungleichung von den Materialgleichungen für beliebige Prozesse erfüllt werden. Eine Anwendung zeigt das #Beispiel isotherme ideale Plastizität unten.

Diese in der eulerschen Betrachtungsweise abgeleiteten Formeln lauten in der lagrangeschen Fassung:

Globale Form: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_V s_0\, \rho_0\mathrm{d}V \ge \int_V \frac{r_0}{T_0}\,\rho_0\mathrm{d}V -\int_A \frac{\vec{q}_0}{T_0}\cdot\vec{N}\,\mathrm{d}A

Lokale Form: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dfrac{1}{\rho_0}\tilde{\mathbf{T}}:\dot{\mathbf{E}} - \dot{\psi}_0 -s_0\dot{T}_0 - \dfrac{\vec{q}_0}{\rho_0 T_0}\cdot\operatorname{GRAD}(T_0) \ge 0

Isothermer Prozess: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dfrac{1}{\rho_0}\tilde{\mathbf{T}}:\dot{\mathbf{E}} - \dot{\psi}_0 \ge 0\,.

Die mit null indizierten Größen sind die mit den materiellen Koordinaten ausgedrückten Größen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{\mathbf{T}} der zweite Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{E}} die materielle Verzerrungsgeschwindigkeit, GRAD der Gradient bezüglich der Koordinaten der Partikel des Körpers im undeformierten Ausgangszustand (materielle Koordinaten) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{N} ist die im undeformierten Ausgangszustand auf der Oberfläche des Körpers nach außen gerichtete Normale.

Beispiel isotherme ideale Plastizität

Anhand der isothermen idealen Plastizität bei kleinen Deformationen soll aufgezeigt werden, wie weit die Clausius-Duhem-Ungleichung hilft, thermodynamisch konsistente Materialgleichungen zu formulieren.

Bei der idealen Plastizität tritt beim plastischen Fließen keine Verfestigung auf, d. h. die Spannungs-Dehnungs-Kurve hat beim einachsialen Fließen im Zugversuch einen horizontalen Verlauf. Knete ist in etwa ideal plastisch. In der Praxis findet dieses Modell Anwendung, wenn nur die Fließgrenze bekannt ist und bei der Berechnung eines Bauteils dessen Steifigkeit auf keinen Fall überschätzt werden soll.

Die Konstitutivvariable ist die Gesamtdehnung ε und die Materialgröße ist der Spannungstensor σ. Bei kleinen Deformationen ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{\mathbf{T}} = \boldsymbol{\sigma} \;,\quad \mathbf{E} = \boldsymbol{\varepsilon} \quad\textsf{und}\quad \dot{\mathbf{E}} = \mathbf{d} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}

Das Material besitzt einen elastischen Bereich, in dem das Material elastisch reagiert und einen plastischen Bereich, wo plastisches Fließen stattfindet. Das Fließen wird mit der plastischen Dehnung εp dargestellt, die eine innere Variable des Modells ist. Die plastische Dehnung kann also nicht direkt von außen beeinflusst oder vorgegeben werden. Die Differenz zwischen der Gesamtdehnung und der plastischen Dehnung ist die elastische Dehnung εe, die allein die Spannungen festlegt. Die Gesamtdehnung wird also in einen elastischen und einen plastischen Anteil zerlegt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}_{e}+\boldsymbol{\varepsilon}_{p}

Die Fließfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f trennt den elastischen vom plastischen Bereich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f=\dfrac{3}{2} \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}:\boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D} - {k}^2\le 0 .

Hier tritt der Spannungsdeviator σD und die Fließgrenze k auf, die ein Materialparameter ist. Im elastischen Bereich ist f < 0 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p=\mathbf{0} . Bei plastischem Fließen ist f = 0, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_e=\mathbf{0} und daher

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{\dfrac{3}{2}}\begin{Vmatrix}\boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}\end{Vmatrix} =k=\mathrm{const.} ,

was das besondere Merkmal der idealen Plastizität ist. Auf der linken Seite der Gleichung steht die von Mises Vergleichsspannung.

Die Helmholtzsche freie Energie soll nur von den elastischen Dehnungen abhängen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi=\psi(\boldsymbol{\varepsilon}_{e}) .

Diese Voraussetzungen genügen schon, um einen groben Rahmen für das Plastizitätsmodell festzulegen.

Die Clausius-Duhem-Ungleichung ergibt:[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}-\dot{\psi} = \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:(\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_e +\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p) - \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_e}: \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_e = \left(\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma} - \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_e}\right): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_e +\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p \ge 0 .

Diese Ungleichung muss für alle möglichen Prozesse erfüllt sein. Im elastischen Bereich (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p=\mathbf0 ) lässt sich das erreichen, indem eine hyperelastische Spannungs-Dehnungs-Beziehung gewählt wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma} = \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_e}

Im plastischen Bereich (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_e=\mathbf0 ) muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p\ge 0 für alle Prozesse gelten, was sich mit einer assoziierten Fließregel bewerkstelligen lässt:[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p = \dot{\gamma} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}} = 3 \dot{\gamma} \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}

Der Proportionalitätsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\gamma} ist der plastische Multiplikator.

Beim plastischen Fließen bleiben die elastischen Dehnungen konstant, weswegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p gilt. Weil die plastische Dehnrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p deviatorisch ist verschwindet die Spur der Dehnungsgeschwindigkeit, die gleich der lokalen Volumenänderung ist. Aus diesem Grund ist beim plastischen Fließen die Dichte konstant:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p\ne\mathbf{0} \quad\rightarrow\quad \dot{\rho}=0 .

Nach der Clausius-Duhem-Ungleichung darf die Leistung der Spannungen an den plastischen Dehnungen nicht negativ sein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p = 3 \dot{\gamma} \boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D} = 3 \dot{\gamma} \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}:\boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D} \ge 0 \quad\rightarrow\quad \dot{\gamma} \ge 0

weswegen der plastische Multiplikator also nicht negativ sein darf. Er berechnet sich aus der Konsistenzbedingung

$ {\begin{aligned}{\dot {f}}=0=&3{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }:{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}^{\mathrm {D} }=3{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }:{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=3{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\rho {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}}}\right)=3{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }:\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}^{2}}}:{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{e}\\=&3{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }:\mathbb {C} :({\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}-{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{p})=3{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }:\mathbb {C} :({\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}-3{\dot {\gamma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} })\\\rightarrow {\dot {\gamma }}=&{\frac {{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }:\mathbb {C} :{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{3{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }:\mathbb {C} :{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {D} }}}\end{aligned}} $

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{C}=\rho\tfrac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_e^2} der Elastizitätstensor. Der plastische Multiplikator ist bestimmt positiv, wenn Zähler und Nenner im Bruch auf der rechten Seite seiner Bestimmungsgleichung positiv sind:

  1. Zunächst ist also zu fordern, dass beim plastischen Fließen die Spannungen nicht verschwinden, also die Fließgrenze k positiv ist.
  2. Im Zähler des Bruchs steht die Belastungsbedingung, d. h. plastisches Fließen soll erst einsetzen, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}:\mathbb{C}: \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}>0 gilt. Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f=0 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}:\mathbb{C}: \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}=0 liegt eine neutrale Belastung vor, bei der kein plastisches Fließen stattfindet. Beim Hooke'schen Gesetz ist
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{C} = 2 \mu \mathbb{I} + \lambda\mathbf{I\otimes I} \quad\rightarrow\quad \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}:\mathbb{C}: \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} = 2 \mu \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}
    In dieser Gleichung ist I der Einheitstensor zweiter und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{I} derjenige vierter Stufe und $ \mu ,\lambda $ sind die erste und zweite Lamé-Konstante. Hier wäre also auch ein positiver Schubmodul Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu zu verlangen.
  3. Der Nenner ist stets positiv, wenn der Elastizitätstensor positiv definit ist. Im Fall des Hooke'schen Gesetzes wird diese Bedingung eingehalten, wenn die Lamé-Konstanten positiv sind.

Die Tabelle listet nochmal alle aus der Clausius-Duhem-Ungleichung abgeleiteten Eigenschaften des Modells auf:

Eigenschaft Bedingung Formel
Spannungs-Dehnungs-Beziehung Hyperelastizität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma} = \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}_e}
Elastizitätstensor positiv definit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma}:\mathbb{C}:\boldsymbol{\sigma}>0 \quad\forall\boldsymbol{\sigma}\ne\mathbf{0}
Fließgrenze positiv Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k>0
Fließregel Leistung der Spannungen an der plastischen Dehnrate nicht negativ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}_p = 3 \dot{\gamma} \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}\;\wedge\; \dot{\gamma}\ge 0
Plastisches Fließen Belastungsbedingung ist erfüllt $ f=0 $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}:\mathbb{C}: \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}>0

Bei Verwendung des Hooke'schen Gesetzes ist — wie eingangs angekündigt —

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu,\lambda > 0

zu fordern. Die Belastungsbedingung reduziert sich auf

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f=0 \quad\textsf{und}\quad \boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}:\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}>0 .

Unter diesen Bedingungen ist die thermodynamische Konsistenz der idealen Plastizität bei isothermen Prozessen sichergestellt.

Fußnoten

  1. ↑ 1,0 1,1 Die Fréchet-Ableitung einer Funktion $ f $ nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x ist der beschränkte lineare Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{A} der - sofern er existiert - in alle Richtungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h dem Gâteaux-Differential entspricht, also
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{A}(h) = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}f(x+sh)\right|_{s=0} = \lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(x+s h) - f(x)}{s} \quad\forall\; h
    gilt. Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s\in \mathbb{R}\,, f,x\, \textsf{und}\, h skalar-, vektor- oder tensorwertig aber $ x $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h gleichartig. Dann wird auch
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{A} = \frac{\partial f}{\partial x}
    geschrieben.

Literatur

  • Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Auflage. Springer Vieweg, Berlin u. a. 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
  • Peter Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66114-X.
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