Äußeres Tensorprodukt

Das äußere Tensorprodukt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Dyaden, die aus zwei mit dem dyadischen Produkt verknüpften Vektoren bestehen. Beim äußeren Tensorprodukt werden Kreuzprodukte der Vektoren gebildet, so dass dieses Tensorprodukt auf drei dimensionale Räume eingeschränkt ist. Weil im äußeren Tensorprodukt das Kreuzprodukt „ד doppelt vorkommt wird es hier mit dem Symbol „#“ geschrieben. Mit dem äußeren Tensorprodukt lassen sich die Hauptinvarianten, der Kofaktor und die Adjunkte eines Tensors elegant ausdrücken und das Kreuzprodukt von mit einem Tensor transformierten Vektoren angeben. Die Bezeichnung „äußeres Tensorprodukt“ leitet sich aus dem Zweitnamen „äußeres Produkt“ des Kreuzproduktes von Vektoren her. Gelegentlich wird auch das dyadische Produkt von Tensoren als „äußeres Tensorprodukt“ bezeichnet. Die Benennung hier folgt W. Ehlers.^[1]

Definition

Gegeben seien vier Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a},\,\vec{b},\,\vec{g},\,\vec{h}\in\mathbb{V}^3 aus dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{V}^3 . Dann ist das äußere Tensorprodukt „#“ mit dem dyadischen Produkt „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes “ definiert über:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})\#(\vec{b}\otimes\vec{h}) :=(\vec{a}\times\vec{b})\otimes(\vec{g}\times\vec{h})

Tensoren zweiter Stufe sind Summen von Dyaden. Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}_{1,2,3},\,\vec{b}_{1,2,3},\,\vec{g}_{1,2,3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{h}_{1,2,3} Vektorraumbasen. Dann kann jeder Tensor zweiter Stufe A als Summe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} =A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j =A^{*ij}\vec{b}_i\otimes\vec{h}_j

mit zu bestimmenden Komponenten A^ij bzw. A^*ij dargestellt werden. In dieser Gleichung wie auch in den folgenden ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über alle, in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, hier i und j, von eins bis drei zu summieren ist. Das äußere Tensorprodukt zweier Tensoren zweiter Stufe lautet dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\#\mathbf{B} =\left(A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j\right)\# \left(B^{kl}\vec{b}_k\otimes\vec{h}_l\right) =A^{ij}B^{kl}\left(\vec{a}_i\times\vec{b}_k\right)\otimes\left(\vec{g}_j\times\vec{h}_l\right)

Koordinatenfreie Darstellung

Ohne Referenz auf Dyaden kann das äußere Tensorprodukt zweier Tensoren A und B symbolisch mit dem Einheitstensor 1 geschrieben werden als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{A}\#\mathbf{B} =& [\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\operatorname{Sp}(\mathbf{B}) -\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B})]\mathbf1 \\& +[\mathbf{A\cdot B}+\mathbf{B\cdot A} -\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{B}-\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\mathbf{A}]^\top \end{align}

Denn wenn diese Tensoren wie beispielsweise in $ \mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j} $ bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 notiert werden, dann gilt mit dem Levi-Civita-Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{ijk}:=(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)\cdot\hat{e}_k :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{A}\#\mathbf{B} =&(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\#(B_{kl}\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l) \\=&A_{ij}B_{kl}(\hat{e}_i\times\hat{e}_k)\otimes(\hat{e}_j\times\hat{e}_l) \\=&\varepsilon_{ikm}\varepsilon_{jln}A_{ij}B_{kl}\hat{e}_m\otimes\hat{e}_n \end{align}

Das Produkt zweier Levi-Civita-Symbole hängt über die Determinante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \varepsilon_{ikm}\varepsilon_{jln} =& \begin{vmatrix} \delta_{ij} &\delta_{il} &\delta_{in}\\ \delta_{kj} &\delta_{kl} &\delta_{kn}\\ \delta_{mj} &\delta_{ml} &\delta_{mn} \end{vmatrix} \\=& \delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{mn}+\delta_{il}\delta_{kn}\delta_{mj}+\delta_{in}\delta_{kj}\delta_{ml} \\& -\delta_{ij}\delta_{kn}\delta_{ml}-\delta_{il}\delta_{kj}\delta_{mn}-\delta_{in}\delta_{kl}\delta_{mj} \end{align}

mit dem Kronecker-Delta δ_ij zusammen. Daraus ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathbf{A}\#\mathbf{B} &=& (\delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{mn}+\delta_{il}\delta_{kn}\delta_{mj} +\delta_{in}\delta_{kj}\delta_{ml} \\&& -\delta_{ij}\delta_{kn}\delta_{ml}-\delta_{il}\delta_{kj}\delta_{mn} -\delta_{in}\delta_{kl}\delta_{mj}) A_{ij}B_{kl}\hat{e}_m\otimes\hat{e}_n \\ &=& A_{ii}B_{kk}\hat{e}_m\otimes\hat{e}_m +A_{ij}B_{ki}\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k +A_{ij}B_{jl}\hat{e}_l\otimes\hat{e}_i \\&& -A_{ii}B_{kl}\hat{e}_l\otimes\hat{e}_k -A_{ij}B_{ji}\hat{e}_m\otimes\hat{e}_m -A_{ij}B_{kk}\hat{e}_j\otimes\hat{e}_i \\ &=& \operatorname{Sp}(\mathbf{A})\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\mathbf1 +\mathbf{A^\top\cdot B^\top} +\mathbf{B^\top\cdot A^\top} \\&& -\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{B}^\top -\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B})\mathbf1 -\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\mathbf{A}^\top \end{array}

was der eingangs gegebenen Identität entspricht.

Eigenschaften

Aus der koordinatenfreien Darstellung lässt sich ablesen:

$ {\begin{array}{rcl}\mathbf {1} \#\mathbf {1} &=&2\,\mathbf {1} \\\mathbf {A} \#\mathbf {1} &=&\operatorname {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {1} -\mathbf {A} ^{\top }\\(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )^{\top }&=&(\mathbf {A} ^{\top })\#(\mathbf {B} ^{\top })\end{array}} $

Assoziativität

Das äußere Tensorprodukt ist nicht assoziativ:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\#(\mathbf{B}\#\mathbf{C}) \ne(\mathbf{A}\#\mathbf{B})\#\mathbf{C}

wie das Beispiel B=C=1 zeigt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{A}\#(\mathbf1\#\mathbf1)=&\mathbf{A}\#2\mathbf1 =2\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf1-2\mathbf{A}^\top \\ (\mathbf{A}\#\mathbf1)\#\mathbf1 =&[\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf1-\mathbf{A}^\top]\#\mathbf1 \\=& 2\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf1 -[\operatorname{Sp}(\mathbf{A}^\top)\operatorname{Sp}(\mathbf1) -\operatorname{Sp}(\mathbf{A^\top\cdot1})]\mathbf1 \\&-[\mathbf{A^\top\cdot1}+\mathbf{1\cdot A^\top} -\operatorname{Sp}(\mathbf{A}^\top)\mathbf1 -\operatorname{Sp}(\mathbf1)\mathbf{A}^\top]^\top \\=& \operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf1+\mathbf{A} \end{align}

Kommutativität

Das äußere Tensorprodukt ist kommutativ:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}\#\mathbf{B}=\mathbf{B}\#\mathbf{A}

wie aus der koordinatenfreien Darstellung ablesbar ist.

Distributivgesetz

Das äußere Tensorprodukt ist distributiv über der Addition und Substraktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{A}\#(\mathbf{B+C})=&\mathbf{A}\#\mathbf{B}+\mathbf{A}\#\mathbf{C} \\ \mathbf{(A+B)}\#\mathbf{C}=&\mathbf{A}\#\mathbf{C}+\mathbf{B}\#\mathbf{C} \end{align}

was in der koordinatenfreien Darstellung nachweisbar ist.

Zusammenhang mit dem doppelten Kreuzprodukt von Tensoren

H. Altenbach^[2] definiert das doppelte Kreuzprodukt von Dyaden als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\otimes\vec{g})\times\times(\vec{b}\otimes\vec{h}) :=(\vec{g}\times\vec{b})\otimes(\vec{a}\times\vec{h}) = (\vec{g}\otimes\vec{a})\#(\vec{b}\otimes\vec{h})\,,

das sich also nur durch die Transposition des ersten Faktors vom äußeren Tensorprodukt unterscheidet.

Isotropie

Das äußere Tensorprodukt zweier Tensoren kann als Funktion dieser Tensoren aufgefasst werden:

$ \mathbf {f} (\mathbf {A,B} ):=\mathbf {A} \#\mathbf {B} $

Gegeben sei ein beliebiger orthogonaler Tensor Q, bei dem also die Identität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q^\top\cdot Q}=\mathbf1 zutrifft. Dann gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} &&\mathbf{f}(\mathbf{Q\cdot A\cdot Q^\top, Q\cdot B\cdot Q^\top}) \\&=& (\mathbf{Q\cdot A\cdot Q^\top})\#(\mathbf{Q\cdot B\cdot Q^\top}) \\ &=& [\operatorname{Sp}(\mathbf{Q\cdot A\cdot Q^\top})\operatorname{Sp}(\mathbf{Q\cdot B\cdot Q^\top}) -\operatorname{Sp}((\mathbf{Q\cdot A\cdot Q^\top})\cdot (\mathbf{Q\cdot B\cdot Q^\top}))]\mathbf1 \\&& + (\mathbf{Q\cdot A\cdot Q^\top})^\top\cdot (\mathbf{Q\cdot B\cdot Q^\top})^\top + (\mathbf{Q\cdot B\cdot Q^\top})^\top\cdot (\mathbf{Q\cdot A\cdot Q^\top})^\top \\&& -\operatorname{Sp}(\mathbf{Q\cdot A\cdot Q^\top}) (\mathbf{Q\cdot B\cdot Q^\top})^\top -\operatorname{Sp}(\mathbf{Q\cdot B\cdot Q^\top}) (\mathbf{Q\cdot A\cdot Q^\top})^\top \\ &=& \mathbf{Q}\cdot\bigl\{[\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\operatorname{Sp}(\mathbf{B}) -\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B})]\mathbf1 +\mathbf{A^\top\cdot B^\top} +\mathbf{B^\top\cdot A^\top} \\&&\quad\quad\quad -\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{B}^\top -\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\mathbf{A}^\top\bigr\}\cdot\mathbf{Q}^\top \\ &=& \mathbf{Q}\cdot\mathbf{f}(\mathbf{A, B})\cdot\mathbf{Q}^\top \end{array}

Das äußere Tensorprodukt ist mithin eine isotrope Tensorfunktion.

Skalarprodukt mit einem dritten Tensor

Bildung des Frobenius-Skalarproduktes „:“ des äußeren Tensorproduktes A#B mit einem dritten Tensor C liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} (\mathbf{A}\#\mathbf{B}):\mathbf{C} &=& [\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\mathbf1 +\mathbf{A^\top\cdot B^\top} +\mathbf{B^\top\cdot A^\top} \\&& -\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{B}^\top -\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B})\mathbf1 -\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\mathbf{A}^\top]:\mathbf{C} \\ &=& \operatorname{Sp}(\mathbf{A})\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\operatorname{Sp}(\mathbf{C}) +\operatorname{Sp}(\mathbf{B\cdot A\cdot C}) +\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B\cdot C}) \\&& -\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\operatorname{Sp}(\mathbf{B\cdot C}) -\operatorname{Sp}(\mathbf{C})\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B}) -\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\operatorname{Sp}(\mathbf{C\cdot A}) \end{array}

Daraus ist die zyklische Vertauschbarkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\#\mathbf{B}):\mathbf{C} = (\mathbf{B}\#\mathbf{C}):\mathbf{A} =(\mathbf{C}\#\mathbf{A}):\mathbf{B}

ablesbar.

Zusammenhang mit den Hauptinvarianten

Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T}\#\mathbf1=\operatorname{Sp}(\mathbf{T})\mathbf1-\mathbf{T}^\top und der zyklischen Vertauschbarkeit der Faktoren im Produkt $ (\mathbf {A} \#\mathbf {B} ):\mathbf {C} $ folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} (\mathbf{T}\#\mathbf1):\mathbf1 &=& 3\operatorname{Sp}(\mathbf{T})-\operatorname{Sp}(\mathbf{T}) &=& 2\operatorname{I}_1(\mathbf{T}) \\ (\mathbf{T}\#\mathbf{T}):\mathbf1 &=& (\mathbf{T}\#\mathbf1):\mathbf{T} =\operatorname{Sp}(\mathbf{T})^2 -\operatorname{Sp}(\mathbf{T\cdot T}) &=& 2\operatorname{I}_2(\mathbf{T}) \\ (\mathbf{T}\#\mathbf{T}):\mathbf{T} &=& \operatorname{Sp}(\mathbf{T})^3 +2\operatorname{Sp}(\mathbf{T}^3) -3\operatorname{Sp}(\mathbf{T})\operatorname{Sp}(\mathbf{T}^2) &=& 6\operatorname{I}_3(\mathbf{T}) \end{array}

Die Funktionen I_1,2,3 sind die drei Hauptinvarianten des Tensors T.

Berechnung des Kofaktors und der Adjunkten

Der Kofaktor eines invertierbaren Tensors ist der Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{cof}(\mathbf{T}) =\operatorname{det}(\mathbf{T})\mathbf{T}^{\top-1} , der nach dem Satz von Cayley-Hamilton

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{cof}(\mathbf{T}) =\mathbf{T^\top\cdot T^\top}-\operatorname{Sp}(\mathbf{T})\mathbf{T}^\top +\operatorname{I}_2(\mathbf{T})\mathbf1

lautet. Letztere Identität gilt auch für nicht invertierbare Tensoren. Das äußere Tensorprodukt eines Tensors mit sich selbst liefert den doppelten Kofaktor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{T}\#\mathbf{T} =& [\operatorname{Sp}(\mathbf{T})^2 -\operatorname{Sp}(\mathbf{T\cdot T})]\mathbf1 +2\mathbf{T^\top\cdot T^\top} -\operatorname{Sp}(\mathbf{T})\mathbf{T}^\top -\operatorname{Sp}(\mathbf{T})\mathbf{T}^\top \\=& 2\operatorname{cof}(\mathbf{T}) \end{align}

Die Adjunkte ist der transponierte Kofaktor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{adj}(\mathbf{T}) = \operatorname{cof}(\mathbf{T})^\top = \frac{1}{2}(\mathbf{T}\#\mathbf{T})^\top = \frac{1}{2}\left(\mathbf{T}^\top\right)\#\left(\mathbf{T}^\top\right)

Tensorprodukt zweier äußerer Produkte

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{pqu}\varepsilon_{stu}=\varepsilon_{upq}\varepsilon_{ust} =\delta_{ps}\delta_{qt}-\delta_{pt}\delta_{qs}

kann

$ {\begin{array}{rcl}(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \#\mathbf {D} )&=&\varepsilon _{ikm}\varepsilon _{pqu}A_{ip}B_{kq}{\hat {e}}_{m}\otimes {\hat {e}}_{u}\cdot \varepsilon _{stv}\varepsilon _{jln}C_{sj}D_{tl}{\hat {e}}_{v}\otimes {\hat {e}}_{n}\\&=&\varepsilon _{ikm}\varepsilon _{pqu}\varepsilon _{stu}\varepsilon _{jln}A_{ip}B_{kq}C_{sj}D_{tl}{\hat {e}}_{m}\otimes {\hat {e}}_{n}\\&=&\varepsilon _{ikm}(\delta _{ps}\delta _{qt}-\delta _{qs}\delta _{pt})\varepsilon _{jln}A_{ip}B_{kq}C_{sj}D_{tl}{\hat {e}}_{m}\otimes {\hat {e}}_{n}\\&=&\varepsilon _{ikm}\varepsilon _{jln}A_{ip}C_{pj}B_{kq}D_{ql}{\hat {e}}_{m}\otimes {\hat {e}}_{n}+\varepsilon _{ikm}\varepsilon _{ljn}A_{ip}D_{pl}B_{kq}C_{qj}{\hat {e}}_{m}\otimes {\hat {e}}_{n}\\\rightarrow (\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \#\mathbf {D} )&=&(\mathbf {A\cdot C} )\#(\mathbf {B\cdot D} )+(\mathbf {A\cdot D} )\#(\mathbf {B\cdot C} )\end{array}} $

ausgerechnet werden.

Transformationseigenschaften

Kreuzprodukt

Mit Hilfe des äußeren Tensorprodukts lassen sich Tensoren aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren „ausklammern“:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\cdot\vec{u})\times (\mathbf{A}\cdot\vec{v}) =\frac{1}{2}\mathbf{A}\#\mathbf{A}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) =\operatorname{cof}(\mathbf{A})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})

Dieses Ergebnis wird bei der Berechnung der Inhalte verformter Flächen gebraucht.

Zum Nachweis wird das Kreuzprodukt zweier Vektoren mit Komponenten bezüglich der Standardbasis mittels des Levi-Civita-Symbols dargestellt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}\times\vec{v}=u_p\hat{e}_p\times v_q\hat{e}_q =\varepsilon_{pqr}u_p v_q\hat{e}_r

Anwendung des äußeren Tensorprodukts zweier Tensoren auf dieses Produkt liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\#\mathbf{B})\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) =\varepsilon_{ikm}\varepsilon_{jln} A_{ij} B_{kl} (\hat{e}_m\otimes\hat{e}_n) \cdot\varepsilon_{pqr}u_p v_q\hat{e}_r = \varepsilon_{ikm}\varepsilon_{pqn}\varepsilon_{jln} A_{ij} B_{kl} u_p v_q\hat{e}_m

Nun ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} (\mathbf{A}\cdot\vec{u})\times (\mathbf{B}\cdot\vec{v}) -(\mathbf{A}\cdot\vec{v})\times(\mathbf{B}\cdot\vec{u}) &=& A_{ij} u_j\hat{e}_i\times B_{kl}v_l\hat{e}_k -A_{ij} v_j\hat{e}_i\times B_{kl} u_l\hat{e}_k \\ &=& \varepsilon_{ikm} A_{ij} B_{kl} u_j v_l\hat{e}_m -\varepsilon_{ikm} A_{ij} B_{kl} u_l v_j\hat{e}_m \\ &=& \varepsilon_{ikm}(\delta_{jp}\delta_{lq}-\delta_{lp}\delta_{jq}) A_{ij} B_{kl} u_p v_q\hat{e}_m \\ &=& \varepsilon_{ikm}\varepsilon_{pqn}\varepsilon_{jln} A_{ij} B_{kl} u_p v_q\hat{e}_m \\ \rightarrow (\mathbf{A}\cdot\vec{u})\times (\mathbf{B}\cdot\vec{v}) -(\mathbf{A}\cdot\vec{v})\times(\mathbf{B}\cdot\vec{u}) &=& (\mathbf{A}\#\mathbf{B})\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) \end{array}

In der Gleichungskette wurde Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{pqn}\varepsilon_{jln} =\varepsilon_{npq}\varepsilon_{njl}=\delta_{jp}\delta_{lq}-\delta_{lp}\delta_{jq} ausgenutzt. Speziell berechnet sich mit B=A der eingangs aufgeführte Zusammenhang.

Spatprodukt

In Komponenten bezüglich der Standardbasis berechnet sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} (\mathbf{A}\#\mathbf{B}):\mathbf{C} &=& (A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\# (B_{kl}\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l):C_{pq}\hat{e}_p\otimes\hat{e}_q =\varepsilon_{ikm}\varepsilon_{jln} A_{ij} B_{kl} C_{mn} \\ &=& \varepsilon_{jln} (A_{ij}\hat{e}_i\times B_{kl}\hat{e}_k)\cdot C_{mn}\hat{e}_m = \varepsilon_{jln} [(\mathbf{A}\cdot\hat{e}_j)\times(\mathbf{B}\cdot\hat{e}_l)]\cdot(\mathbf{C}\cdot\hat{e}_n) \\ \rightarrow (\mathbf{A}\#\mathbf{B}):\mathbf{C} &=& \;\;\;[(\mathbf{A}\cdot\hat{e}_1)\times(\mathbf{B}\cdot\hat{e}_2)]\cdot(\mathbf{C}\cdot\hat{e}_3) +[(\mathbf{A}\cdot\hat{e}_2)\times(\mathbf{B}\cdot\hat{e}_3)]\cdot(\mathbf{C}\cdot\hat{e}_1) +[(\mathbf{A}\cdot\hat{e}_3)\times(\mathbf{B}\cdot\hat{e}_1)]\cdot(\mathbf{C}\cdot\hat{e}_2) \\&& -[(\mathbf{A}\cdot\hat{e}_2)\times(\mathbf{B}\cdot\hat{e}_1)]\cdot(\mathbf{C}\cdot\hat{e}_3) -[(\mathbf{A}\cdot\hat{e}_3)\times(\mathbf{B}\cdot\hat{e}_2)]\cdot(\mathbf{C}\cdot\hat{e}_1) -[(\mathbf{A}\cdot\hat{e}_1)\times(\mathbf{B}\cdot\hat{e}_3)]\cdot(\mathbf{C}\cdot\hat{e}_2) \end{array}

Anstatt der Standardbasis kann hier auch jede andere Orthonormalbasis eingesetzt werden.

Siehe auch

Formelsammlung Tensoralgebra

Einzelnachweise