Das Lawson-Kriterium (nach John Lawson) ist eine physikalische Bedingung dafür, dass eine in einem Plasma ablaufende Kernfusionsreaktion sich selbst trägt, d. h. sich in einer makroskopischen Brennstoffmenge selbsttätig aufrechterhält. Vereinfacht gesagt muss der im Plasma bleibende Anteil der freigesetzten Fusionsleistung mindestens so groß sein wie die Verlustleistung des Plasmas.
Das Kriterium wurde ursprünglich für die Fusion von Deuterium und Tritium (DT) formuliert, kann aber grundsätzlich auch auf andere Fusionsbrennstoffe verallgemeinert werden. Die Art des Plasmaeinschlusses, etwa Fusion mittels magnetischen Einschlusses oder Trägheitsfusion, spielt dafür keine Rolle.[1]
Alle Versuche, das Lawson-Kriterium in einer kontrollierten Reaktion zu erreichen, scheiterten bisher (2016) daran, dass die Plasmavolumina zu klein waren und zu schnell abkühlten, um einen dauerhaft ablaufenden Fusionsprozess zu ermöglichen. Erreicht werden sollte es mit dem Ursprungsentwurf für ITER, der in dieser Größe jedoch nicht bewilligt wurde. Bei seinem Nachfolger DEMO soll es möglich werden. Auch bei Trägheitsfusionsexperimenten wurde die Erfüllung des Kriteriums, die Zündung, noch nicht erreicht.
Das Kriterium ergibt sich aus einem Gleichgewicht. In einem DT-Plasma muss der von den entstehenden Alphateilchen getragene Anteil $ P_{f,\alpha } $ der Fusionsleistung gleich der Verlustleistung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_v des Plasmas sein.
Die bei der Fusionsreaktion freigesetzten Neutronen verlassen, da sie elektrisch neutral sind, das Plasma sofort und ihre kinetische Energie von 14,1 MeV dient dann der Energiegewinnung. Die elektrisch geladenen Alphateilchen geben dagegen durch Stöße ihre Bewegungsenergie von 3,5 MeV noch im Plasma ab, sie heizen also das Plasma mit einer Leistung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_{f,\alpha} . Gleichzeitig verliert das Plasma Energie durch Bremsstrahlung und Transport; dies ist die Verlustleistung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_v . Im Gleichgewicht ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_{f,\alpha} = P_v . Erfüllt ein DT-Plasma diese Bedingung, „zündet“ es, „brennt“ dann ohne Energiezufuhr weiter und liefert seinerseits Energie als kinetische Neutronenenergie. In Kernwaffen und auch in Trägheitsfusions-Reaktoren muss das Kriterium erfüllt sein. In Magneteinschluss-Fusionsreaktoren muss es dagegen nicht vollständig erfüllt werden; eine gewisse ständig nötige Fremdheizung (mit z. B. einigen Prozent der gewonnenen Neutronenenergie) hätte sogar den Vorteil, eine zusätzliche Steuermöglichkeit der Reaktion zu bieten.[2]
Die Alphateilchen-Leistung beträgt bei einem DT-Plasma
mit den Teilchendichten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_i der beiden Reaktionspartner, der über die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen gemittelten Kernreaktionsrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \sigma v \rangle (Teilchengeschwindigkeit multipliziert mit dem geschwindigkeitsabhängigen Wirkungsquerschnitt), dem auf das Alphateilchen entfallenden Teil der freiwerdenden Energie pro Fusion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon und dem Plasmavolumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V .
Die im Plasma enthaltene thermische Energie ist
mit der Elektronendichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_e , der Boltzmannkonstante $ k_{\mathrm {B} } $ und der Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T .
Strahlungs- und Teilchentransportvorgänge bewirken eine Verlustleistung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_v . Der Quotient aus der thermischen Energie und der Verlustleistung hat die Dimension einer Zeit und wird als Energieeinschlusszeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau_E bezeichnet:
Zum Erreichen des selbsttätigen Brennens muss gelten:
Mit der Annahme, dass beide Reaktionspartner in gleichen Mengen vorhanden sind, also die gleiche Teilchendichte haben und quasi vollständig ionisiert sind
folgt das Lawson-Kriterium:
Bei vorgegebener Temperatur ergibt sich also der Mindestwert des Produkts aus Teilchendichte n und Energieeinschlusszeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau_E für die selbsttätig brennende Fusionsreaktion. Dieses Produkt ist eine Funktion der Temperatur, die für jede Fusionsreaktion etwas anders verläuft, aber immer ein absolutes Minimum hat. Für die DT-Reaktion beispielsweise erhält man
wobei das Minimum bei einer Temperatur von ungefähr 25 keV liegt.
Anstelle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_e\tau_E wird meistens das sogenannte Tripelprodukt $ n_{e}\tau _{E}T $ als Maß für das Erreichen der Zündbedingung verwendet. Das Lawson-Kriterium lautet dann
Dieses hat den Vorteil, dass das Minimum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_e\tau_E T als Funktion der Temperatur bei ca. 14 keV liegt (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_e\tau_E T = 2{,}8 \cdot 10^{21} \mathrm{\,m^{-3}\, s\, keV} ), dem Wert, der ungefähr notwendig ist, um einen Fusionsreaktor zu betreiben.
Insbesondere hoch ionisierte Verunreinigungen im Plasma (z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{C}^{6+}, \mathrm{Fe}^{20+} ) führen zu einem Energieverlust durch Bremsstrahlung. Der für eine Zündung notwendige Wert des Tripelproduktes liegt dadurch höher.
Die Bremsstrahlungsverluste sind gegeben durch
mit der Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_1 = 1{,}59 \cdot 10^{-40} \mathrm{\,W\,m^{3}\,K^{-\frac{1}{2}}} und der effektiven Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_\mathrm{eff} = \frac{1}{n_e} \sum_s Z_s^2 n_s (die Summe läuft über alle Ionenspezies des Plasmas).
Für eine selbstständig ablaufende Fusionsreaktion ergibt sich damit aus der Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_{f,\alpha} \ge P_v + P_B (wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_v hier nur den Verlust durch Transportvorgänge beschreibt) das Kriterium
Ohne Verunreinigungen, d. h. $ Z_{\mathrm {eff} }=1 $, ergibt sich damit am Minimum der Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_e\tau_E T =3 \cdot 10^{21} \mathrm{\,m^{-3}\, s\, keV} . Enthält das Plasma z. B. 0,5 % Verunreinigung durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Fe}^{20+} , d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_\mathrm{eff} = 2{,}9 , so erhöht sich der Wert des Tripelproduktes am Minimum auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_e\tau_E T = 3{,}3 \cdot 10^{21} \mathrm{\,m^{-3}\, s\, keV} . Es wird also schwieriger, die für eine Zündung notwendigen Bedingungen zu erreichen.