Eine lorentzsche Mannigfaltigkeit oder Lorentz-Mannigfaltigkeit (nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz) ist eine Mannigfaltigkeit mit einer Lorentzmetrik. Sie ist ein Spezialfall einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit mit der Metrik-Signatur (-,+,+,+,...). Lorentzmannigfaltigkeiten sind für die allgemeine Relativitätstheorie von entscheidender Bedeutung, da dort die Raumzeit als vierdimensionale lorentzsche Mannigfaltigkeit modelliert wird.
Da die lorentzsche Metrik $ g|_{p}\colon T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R} $ im Gegensatz zur riemannschen nicht positiv definit ist, treten drei verschiedene Arten von Tangentialvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v an die Mannigfaltigkeit auf:
Nicht-raumartige Vektoren (also solche mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g(v,v) \leq 0 ) werden auch kausale Vektoren genannt. Kurven in der Mannigfaltigkeit werden als zeitartig, raumartig, lichtartig, kausal bezeichnet, wenn die Tangentialvektoren an die Kurve auf gesamter Länge der Kurve der entsprechenden Kategorien angehören.
Man kann nun Punktpaaren in der Mannigfaltigkeit ihre Relation zuordnen. Wenn eine stückweise glatte zeitartige Kurve zwischen den Punkten existiert liegt ein Punkt in der Zukunft des anderen. Die zeitartige Zukunft bzw. der Inhalt des Lichtkegels eines Punktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p ist die Menge aller Punkte $ q $ die von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p aus mit einer zukunftsgerichteten stückweise glatten zeitartigen Kurve erreicht werden. Sie wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I^+(p) bezeichnet. Die kausale Zukunft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J^+(p) ist analog die Menge aller Punkte die mit stückweise glatten kausalen Kurven erreicht werden. Entsprechend definiert man die zeitartige und kausale Vergangenheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I^-(p) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J^-(p) .
Die lorentzsche Länge einer glatten kausalen Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda \colon [a,b]\to M ist
t ist ein beliebiger Kurvenparameter, nicht notwendig die Zeit.
Im Unterschied zur riemannschen Geometrie ist das Infimum der lorentzschen Länge aller glatten Kurven zwischen zwei zeitartig auseinanderliegenden Punkten immer null. Jedoch die zeitartige Geodäte zwischen diesen zwei Punkten hat, wenn sie existiert, die größte lorentzsche Länge unter allen kausalen Kurven zwischen diesen beiden Punkten.
Als lorentzscher Abstand $ d(p,q) $ zwischen zwei Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q wird nun das Supremum der lorentzschen Länge über alle kausalen Kurven von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q gewählt, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q in $ J^{+}(p) $ liegt, ansonsten definiert man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d(p,q)=0 .