Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik ist eine stationäre und axialsymmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen. Sie beschreibt ungeladene, rotierende Schwarze Löcher und ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat.^[1] Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik, die auch im Außenbereich eines nichtrotierenden und sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt die Kerr-Metrik ausschließlich das Feld eines Schwarzen Lochs, denn schnell rotierende Sterne haben oftmals ein nicht zu vernachlässigendes Multipolmoment und unterschiedliche Dichtegradienten,^[2] sodass sich deren Raumzeit-Geometrie erst in einem gewissen Abstand von der Oberfläche des Sterns an die Kerr-Metrik annähert.^[3]

Linienelement

Boyer-Lindquist Koordinaten

Mit den kovarianten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{t t} = \zeta-1 , \ g_{r r} = \frac{\Sigma}{\Delta}, \ g_{\theta \theta} = \Sigma, \ g_{\phi \phi} = \frac{\chi \sin^2 \theta}{\Sigma}, \ g_{t \phi} = -a \zeta \sin^2\theta

und den durch Matrixinvertierung erhaltenen kontravarianten

$ g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \Sigma }},g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }},g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},g^{\phi \phi }={\frac {\Delta -a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Delta \Sigma \sin ^{2}\theta }},\ g^{t\phi }=-{\frac {a\zeta }{\Delta }} $

metrischen Koeffizienten^[4][5][6] lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G=c=1 :^[4][7]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\mathrm d s}^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x^{\nu} = g_{t t} \mathrm d t^2 + g_{r r} \mathrm dr^{2} + g_{\theta \theta} \mathrm d\theta^2 + g_{\phi \phi} \mathrm d\phi^2 + 2 g_{t \phi} \mathrm d t \mathrm d \phi,

oder ausgeschrieben

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}s^2 = ( \zeta-1 ) \mathrm{d} t^2 + \frac{\Sigma}{\Delta} \mathrm{d} r^2 + \Sigma \mathrm{d} \theta^2 + \frac{\chi \sin^{2} \theta}{\Sigma} \mathrm{d} \phi^2 - 2 a \zeta \sin^2 \theta \mathrm{d} t \mathrm{d} \phi

Der D’Alembert-Operator lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial^{\mu} \partial_{\mu} = g^{\mu \nu} \left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}\right) \frac{\partial }{\partial x^{\nu}} = g^{tt} \left( \frac{\partial }{\partial t} \right)^{2} + g^{rr} \left(\frac{\partial}{\partial r}\right)^{2} + g^{\theta \theta} \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^{2} + g^{\phi \phi} \left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right)^{2} + 2 g^{t \phi} \,\frac{\partial}{\partial \phi} \frac{\partial}{\partial t}

Dabei gilt:

$ r_{\mathrm {s} }=2M,\quad a=J/M,\quad \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,\quad \Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }\ r+a^{2},\quad \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \Delta ,\quad \zeta =r_{\mathrm {s} }r/\Sigma $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M ist die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie. Wird einem Schwarzen Loch, beispielsweise mithilfe eines Penrose-Prozess,^[8][9] seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich seine gravitierende Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M auf die irreduzible Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_\mathrm{irr} . Für diese gilt^[10][11]:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_\mathrm{irr} = \sqrt{\,\frac{M^2 + \sqrt{M^4 - a^2 M^2}}{2}}

Nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M aufgelöst gilt auch:

$ M=2{\sqrt {\frac {M_{\mathrm {irr} }^{4}}{4M_{\mathrm {irr} }^{2}-a^{2}}}} $

Der Rotationsenergie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\mathrm{rot} = M - M_\mathrm{irr} entspricht also in Übereinstimmung mit der Äquivalenz von Masse und Energie einer Masse. Für den Fall, dass der Körper mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=M rotiert, ergibt sich ein um den Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{2} höheres Massenäquivalent als für einen statischen Körper mit der gleichen irreduziblen Masse.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_\mathrm{s} ist der Schwarzschild-Radius. Der Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a wird auch Kerrparameter genannt. Er ist proportional zum Drehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J des Schwarzen Loches. Ein positiver Drehimpuls beschreibt vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn. Ein negativer Drehimpuls beschreibt die entgegengesetzte Richtung.

In kartesischen Koordinaten mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x = \sqrt{r^2 + a^2} \sin \theta \cos\phi, \quad y = \sqrt{r^2 + a^2} \;\sin \theta \sin\phi, \quad z = r \cos \theta

ergibt sich aus dem obigen Linienelement:^[5]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}x = \frac{r \cos \phi \sin \theta}{\sqrt{a^2+r^2}}\mathrm{d}r + \sqrt{a^2+r^2} \cos \phi \cos \theta\mathrm{d}\theta - \sqrt{a^2+r^2} \sin \phi \sin \theta\mathrm{d}\phi

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}y = \frac{ r \sin \phi \sin \theta}{\sqrt{a^2+r^2}}\mathrm{d}r + \sqrt{a^2+r^2} \sin \phi \cos \theta\mathrm{d}\theta - \sqrt{a^2+r^2} \cos \phi \sin \theta\mathrm{d}\phi

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}z = \cos \theta\mathrm{d}r - r \sin \theta\mathrm{d}\theta

Für den Fall der verschwindenden Rotation $ a=0 $ reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten, und für den Fall der verschwindenden Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M=0 auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.^[5]

Kerr-Schild Koordinaten

Um die Koordinatensingularität am Ereignishorizont zu vermeiden,^[8] kann in Kerr-Schild-Koordinaten^[7][12] transformiert werden. In diesen lautet das Linienelement

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2 - \mathrm{d}\hat t^2 + \frac{r_\mathrm{s} \ r^3}{ r^4+a^2 \ z^2} \ \left(\mathrm{d}\hat t+\frac{ r \ (x \ \mathrm{d}x+y \ \mathrm{d}y)}{ r^2+a^2} + \frac{a \ (y \ \mathrm{d}x - x \ \mathrm{d}y)}{ r^2+a^2} + \frac{z \ \mathrm{d}z}{ r}\right)^2 .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r wird dabei durch die folgende Gleichung festgelegt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + a^2\left(1-\frac{z^2}{r^2}\right).

Mit der Koordinatenzeit

$ {\hat {t}}=t+r_{\mathrm {s} }\int {\frac {r\ \mathrm {d} r}{\Delta }}\ ,\ \ \mathrm {d} {\hat {t}}=\mathrm {d} t+r_{\mathrm {s} }\ \mathrm {d} r\ r/\Delta , $

dem Azimuthalwinkel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \varphi = \phi + a \ \int \frac{\mathrm{d} r}{\Delta} \ , \ \ \mathrm{d} \hat \varphi = \mathrm{d} \phi + \mathrm{d} r \ a/ \Delta

und der Transformation zwischen Kugel- und kartesischen Hintergrundkoordinaten^[12]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x = (r \ \cos \hat \varphi + a \ \sin \ \hat \varphi) \ \sin \theta \ , \ \ y = (r \ \sin \hat \varphi - a \ \cos \ \hat \varphi) \ \sin \theta \ , \ \ z = r \cos\theta

lauten die nichtverschwindenden kovarianten metrischen Komponenten in Kugelkoordinaten^[13][5]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{\hat t \hat t} = \zeta-1 ,\ g_{\hat t r} = \zeta ,\ g_{\hat t \hat \varphi} = -\zeta a \sin ^2 \theta ,\ g_{r r} = \zeta+1 ,\ g_{r \hat \varphi} = -(\zeta+1) a \sin ^2 \theta ,\ g_{\theta \theta} = \Sigma ,\ g_{\hat \varphi \hat \varphi} = \frac{\chi \sin ^2 \theta }{\Sigma }

und die kontravarianten Komponenten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} g^{\hat t \hat t} &= -\zeta-1 ,\\ g^{\hat t r} &= \zeta ,\\ g^{r r} &= -\frac{ \zeta^2 a^2 \Sigma \sin ^2 \theta -\zeta \chi +\chi }{ (\zeta+1) a^2 \Sigma \sin ^2 \theta -\chi } ,\\ g^{r \hat \varphi} &= -\frac{ a \Sigma }{ (\zeta+1) a^2 \Sigma \sin ^2 \theta -\chi } ,\\ g^{\theta \theta} &= \frac{1}{\Sigma } ,\\ g^{\hat \varphi \hat \varphi} &= -\frac{\Sigma \csc ^4 \theta }{ (\zeta+1) a^2 \Sigma -\chi \csc ^2 \theta }. \end{align}

Die radiale Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r und der Polwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta sind identisch mit ihren Boyer-Lindquist-Pendants. Der lokale Beobachter befindet sich jedoch nicht auf einer festen Radialkoordinate, sondern fällt radial mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d} r / \mathrm{d} t = -r_\mathrm{s} \ r \ \Delta / \chi

auf die zentrale Masse zu, während er wie der lokale Boyer-Lindquist-Beobachter (in der Literatur auch ZAMO^[14][15] für „zero angular momentum observer“ genannt) mit der Winkelgeschwindigkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d} \phi / \mathrm{d} t = r_\mathrm{s} \ r \ a / \chi

um die Symmetrieachse rotiert.^[13]

Diese Koordinaten wurden von Roy Kerr in seiner originalen Arbeit von 1963^[1] verwendet. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=0 reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in erweiterten Eddington-Finkelstein-Koordinaten.^[12]

Besondere Flächen

Horizonte

Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in kartesischen Hintergrundkoordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R=a. ^[16]

Größenvergleich des Schattens (schwarz) und der besonderen Flächen (weiß) eines Schwarzen Lochs. Der Spinparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a läuft von 0 bis $ M, $ wobei die linke Seite des Schwarzen Lochs auf den Beobachter zu rotiert.^[17]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entartet die Kerr-Metrik auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{rr} gleich Null werden, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta = 0 gesetzt und nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r aufgelöst wird. Die Ereignishorizonte liegen damit auf

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_{\text{H}}^{\pm}\ =\ M\ \pm\ \sqrt{M^2\ -\ a^2}.

Bei maximaler Rotation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=M fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius $ r_{G}=M $ zusammen. Bei minimaler Rotation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=0 fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_s=2 r_{G} zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen.^[18] Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\leq M gilt.^[19] Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.^[16]

Ergosphären

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{tt} . Die Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{tt}=0 führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_{\text{E}}^{\pm} = M \pm \sqrt{M^2 - a^2 \cos^2\theta}.

Diese zwei Flächen können wegen des Terms Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos^2\theta unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0 bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pi . Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig^[20] aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zukonvergiert und bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=M mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r = r_{\text{H}}^\text{+} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r = r_{\text{E}}^\text{+} wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}s^2 entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{tt} der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega mit der inneren Masse $ M $ mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_\mathrm{zamo} = \Omega \ \bar{R} \ \varsigma ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c ist.^[21][22]

Schatten

Beim Schatten eines Schwarzen Lochs handelt es sich um den schwarzen Bereich, den ein Beobachter an der Stelle, wo sich das Schwarze Loch befindet, sieht. Es handelt sich also um die scheinbare Ausdehnung des Schwarzen Lochs, die aufgrund der starken Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Schwarzen Loches immer größer als der äußere Ereignishorizont ist.

Der Umriss des Schattens kann entweder mit numerischer Integration der lichtartigen Geodäten oder auch durch fouriertransformierte Limaçons berechnet werden.^{[23][24][25][26][27]}

Der Beobachter wird im Folgenden als in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta bezeichnet den Polarwinkel der Position des Beobachters. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta=0 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta=\pi entspricht also einer Position auf der Symmetrieachse der betrachteten Raumzeit. $ \theta =\pi /2 $ entspricht dagegen einer Position in der äquatorialen Ebene. Die Wellenlänge des Lichts wird im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Konturlinien sind gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0 = (x^2+z^2-x \ A)^2-B^2 \ (x^2+z^2)

mit den beiden Parametern

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A = \alpha \sin \theta+\bar a \sin^3 \theta \cos^2 \theta/5

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B = \beta+0{,}23 \cos^4 \theta \ (1-\sqrt{1-\bar a^4}),

die noch vom Kerrparameter und der Position des Beobachters abhängen. Ferner gilt noch die folgende Reihenentwicklung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \alpha = & -8892{,}68 \bar a^{10}+30413{,}2 \bar a^{9}-46107{,}4 \bar a^{8}+ \\ & +37064{,}7 \bar a^{7}-18685{,}4 \bar a^{6}+4666{,}5 \bar a^{5}-3894{,}54 \bar a^{4}+ \\ & +49{,}5645 \bar a^{3}-9672{,}25 \bar a^{2}+2{,}27392 \bar a+9669{,}01 \bar a \ \tan (\bar a)\end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta = 5{,}19058-0{,}343743 \bar a \ \tan (\bar a)+0{,}0284803 \bar a-0{,}0470795 \bar a^{ \ 27{,}5224} \tan (\bar a)

mit $ {\bar {a}}=a/M $, wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in Einheiten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G M/c^2 betrachtet werden. Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_\mathrm{obs} = A \cos \vartheta + B . Aus der polaren Ansicht bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta=0 rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn und aus dem Blickwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta=\pi im Uhrzeigersinn. Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit knapp über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 5 G M/c^2 . Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je weiter die Position des Beobachters in der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung. Auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt und auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.

Umfangs- und Flächenformeln

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht $ U=2\pi \ r $, sondern in axialer Richtung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U_{\phi} = \int_0^{2 \pi } \sqrt{|g_{\phi \phi}|} \ \mathrm{d}\phi = 2 \pi \bar R

und in polodialer Richtung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U_{\theta} = \int_0^{2 \pi } \sqrt{|g_{\theta \theta}|} \ \mathrm{d}\theta = 4 \sqrt{a^2+r^2} \ \xi \left(\frac{a^2}{a^2+r^2}\right) .

wobei die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \xi das elliptische Integral 2. Art bezeichnet. Deshalb ist auch die Oberfläche des Ereignishorizonts nicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 4 \pi r_{\text{H}}^2 , sondern^[28]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_\mathrm{H} = \int_0^{\pi } 2 \pi \bar{R} \ \sqrt{ \Sigma } \, \mathrm{d} \theta = 8 \pi M r_{\text{H}}

mit dem axialen Radius der Gyration^[21][6]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \bar R = \sqrt{|g_{\phi \phi}|} = \sqrt{\frac{\chi}{\Sigma}} \ \sin \theta,

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a mit dem Schwarzschildradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_\mathrm{s} zusammenfällt.

Spin

Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a > M, \ r = r_{\text{H}}^{+} würde eine nackte Singularität auftreten, da bei derartig hohen Drehimpulswerten kein Ereignishorizont existieren kann.^[19] Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben, dass Schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Spin von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a \approx 0{,}998 M )^[29]. Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen^[30] zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a = 0{,}95 M ), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.

Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic Censorship Hypothese).^[31] Diese Begrenzung für Schwarze Löcher gilt jedoch nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Diese müssen, bevor sie zu einem Schwarzen Loch kollabieren, einen Teil ihres überschüssigen Drehimpulses nach außen abwerfen, sodass der Spin des resultierenden Schwarzen Lochs letztendlich bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a<M liegt.^[32][33][34]

Bei einem Spinparameter von $ a=M $ würde der Ereignishorizont zudem mit Lichtgeschwindigkeit rotieren. Dieser Grenzwert wird in der Natur zwar nicht erreicht, jedoch kommen manche Schwarze Löcher wie z. B. jenes im Kern der Spiralgalaxie NGC 1365 oder Markarian 335 sehr nah an dieses Limit heran.^{[35][36][37][38]}

Wie bei der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, in Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Bahn von Testkörpern

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=0{,}9 \ M

Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=0{,}95 \ M

Die Gleichung für die Bewegung eines Testkörpers in der Kerr-Raumzeit kann über geeignete Hamilton-Jacobi-Gleichungen erhalten werden. Eine für die numerische Integration geeignete Form dieser Gleichungen in Boyer-Lindquist-Koordinaten lautet^[27][39][40] in den natürlichen Einheiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G=M=c=1 , wobei Längen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): GM/c^2 , Zeiten in $ GM/c^{3} $ und der Spinparameter in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=J c/(GM^2) gemessen werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot t = \frac{2 \ E \ r \ \left(a^2+r^2\right)-2 \ a \ L_z \ r}{\Delta \ \Sigma }+E = \frac{\varsigma}{\sqrt{1-v^2}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot r = \frac{\Delta \ p_r }{\Sigma }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot p_r = \frac{(r-1) \left(\mu \ \left(a^2+r^2\right)-k\right)+2 \ E^2 \ r \left(a^2+r^2\right)-2 \ a \ E \ L_z +\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }-\frac{2 \ p_r ^2 \ (r-1)}{\Sigma }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_r = \frac{v^{r}}{\sqrt{1+\mu \ v^2}} \sqrt{\frac{\Sigma}{\Delta}}

$ {\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot p_{\theta} = \frac{\sin \theta \ \cos \theta \left(L_z^2/\sin ^4 \theta -a^2 \left(E ^2+\mu \right)\right)}{\Sigma }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{\theta} = \frac{v^{\theta} \ \sqrt{\Sigma}}{\sqrt{1+\mu \ v^2}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot \phi = \frac{2 \ a \ E \ r+ L_z \ \csc ^2 \theta \ (\Sigma -2 r)}{\Delta \ \Sigma }

Dabei steht der Punkt über den Variablen im Fall eines massebehafteten Testkörpers für das Differenzieren nach der Eigenzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter, der anstatt der Eigenzeit die im System der ZAMOs lokal aufintegrierte Strecke des Photons bezeichnet. Im Fall eines massebehafteten Testpartikels erhält man die insgesamt zurückgelegte physikalische Wegstrecke mit dem Integral der Eigenzeit über die lokale 3er-Geschwindigkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d} \bar s = \mathrm{d} \tau \ \mathrm{d} v \ \gamma \ , \ \ \bar s = \int_0^{\tau} v(\tau') \ \gamma \, \mathrm{d}\tau' mit dem Lorentzfaktor $ \gamma =1/{\sqrt {(1-v^{2})}}={\dot {t}}/\varsigma $.

Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v^r , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v^{\theta} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v^{\phi} die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit^[41]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v=\sqrt{(v^r)^2+(v^{\theta})^2+(v^{\phi})^2}=\sqrt{(v^x)^2+(v^y)^2+(v^z)^2}

entlang der jeweiligen Achsen, und es ergibt sich^[21]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v = \sqrt{\frac{ \chi (E -L_z \ \Omega )^2-\Delta \Sigma}{\chi (E -L_z \ \Omega )^2}} = \frac{\sqrt{\dot t^2-\varsigma^2}}{\dot t} .

$ E $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L_z sind die erhaltene spezifische Energie und die Komponente des spezifischen Drehimpulses entlang der Symmetrieachse der Raumzeit. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter-Konstante:^{[42][27][8][39]}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \left( a^{2}(\mu^{2} - E^{2}) + \frac{L_z^2}{ \sin^2\theta}\right) = a^2 \ (\mu^{2}-E^2) \ \sin^2 I + L_z^2 \ \tan^2 I

Diese gehen mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k = a^2 \left(E ^2+\mu \right)+ L_z ^2+C

in die Bewegungsgleichungen ein. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{\theta} ist die polare $ \theta $-, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_r die radiale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r - und das konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{\phi} = L_z die azimutale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi -Komponente des Bahndrehimpulses, die sich aus den kanonischen spezifischen Impulskomponenten^[43]

$ p_{\mu }=g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\nu } $

ergeben. Der Zeitimpuls ist proportional zur Energie: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{t}=-E . Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.^[4][8] Für massebehaftete Testteilchen ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu=-1 während für masselose Teilchen wie Photonen $ \mu =0 $ gilt.

Die 4 Konstanten der Bewegung sind daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E, L_z, C und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu .^[27] Energie und Drehimpuls können aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:^[21]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = \ -\ g_{t t}\ \dot t \ -\ g_{t \phi}\ \dot\phi = \sqrt{\frac{(\Sigma - 2 \ r) \left(\dot{\theta}^2 \ \Delta \ \Sigma +\dot{r}^2 \ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }+\dot{\phi}^2 \ \Delta \ \sin ^2 \theta } \ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): = \sqrt{\frac{\Delta \ \Sigma}{(1+\mu \ v^2) \ \chi}} + \Omega \ L_z

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L_z = g_{\phi \phi} \ \dot \phi\ +\ g_{t \phi} \ \dot t = \frac{\sin ^2 \theta \ (\dot{\phi} \ \Delta \ \Sigma - 2 \ a \ E \ r)}{\Sigma -2 \ r} = \frac{v^{\phi} \ \bar R}{\sqrt{1+\mu \ v^2}}

Mitbewegte Inertialsysteme

Aufgrund des Frame-dragging-Effekts korotiert selbst das Inertialsystem eines drehimpulsfreien und lokal ruhenden Beobachters mit der Winkelgeschwindigkeit^[36]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega = -\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}} = \frac{r_\mathrm{s} \ a \ r}{\chi}

mit der sich drehenden zentralen Masse mit, wobei die Winkelgeschwindigkeit nach der Koordinatenzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t des relativ zu den Fixsternen stationären und sich in ausreichend großer Entfernung von der Masse befindenden Beobachters beschrieben wird.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht, nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an.^[44][41] So ist z. B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (v) bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega mitbewegten und auf fixem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r sitzenden Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varsigma = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = \sqrt{g^{t t}} .

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_\mathrm{esc} ergibt sich damit über

$ \varsigma ={\frac {1}{\sqrt {1-v_{\mathrm {esc} }^{2}}}}\ \to \ v_{\mathrm {esc} }={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }} $.

Für einen Testkörper mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E=1 \ , \ L=0 ergibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v^r=v_\mathrm{esc} , d. h., er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

Kreisbahnen

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r

Die pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) ergibt sich, indem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot p_r = v^r = v^{\theta} = 0 \ , \ \ \theta=\pi/2 \ , \ \ v=v^{\phi} \ , \ \ \bar a=a/M \ , \ \ \bar r=r/M

gesetzt und nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v^{\phi} aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v^{\circ}_{\pm}=\frac{\bar a^2 \mp 2 \bar a \sqrt{\bar r}+\bar r^2}{\sqrt{\bar a^2+(\bar r-2) r} \left(\bar a \pm \bar r^{3/2}\right)}

für die prograde (+) und retrograde (−) Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v=1, \ \mu=0 ergibt sich daher

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r^{\circ}_{\pm} = r_\mathrm{s} \ \left(\cos \left(\frac{2}{3} \cos ^{-1}( \mp \bar a)\right)+1\right)

für den pro- und retrograden Photonenkreisradius in Boyer-Lindquist-Koordinaten. Für ein Photon mit verschwindendem axialen Drehimpuls, also einem lokalen Inkliniationswinkel von 90°, ergibt sich ein geschlossener Orbit auf^[45]

$ r_{\perp }^{\circ }=r_{\mathrm {s} }\ {\sqrt {1-{\frac {{\bar {a}}^{3}}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\frac {1-{\bar {a}}^{2}}{\left(1-{\frac {{\bar {a}}^{2}}{3}}\right)^{3/2}}}\right)\right)+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{2}}. $

Zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r^{\circ}_{+} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r^{\circ}_{-} sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben,^[46] kann der zum jeweiligen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r passende Inklinationswinkel gefunden werden, indem die radiale Impulsableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot p_r wie oben auf 0, der initiale Breitengrad $ \theta _{0} $ auf den Äquator gesetzt und nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v^{\phi} aufgelöst wird.

Für Photonenorbits auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r=3M ergibt sich außerdem für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a ein aus der Ferne beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel von 90°. Der lokale Inklinationswinkel relativ zu einem mitrotierenden Beobachter vor Ort (ZAMO) ist höher (der axiale Drehimpuls ist dann negativ), wird aber aufgrund des Frame-Dragging-Effekts kompensiert. Im Schwarzschild-Limit mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=0 fallen die Photonenobits aller Bahnneigungswinkel auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r^{\circ}=3M und bilden die kugelschalenförmige Photonensphäre.

Im extremen Fall von $ a=M $ würden sich auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r=M sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v^{\circ}_{+}=1 als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v^{\circ}_{+}=1/2 ergeben. Der Grund dafür ist, dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate denselben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können, wenn sie wie im Fall von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=M den gleichen lokalen Umfang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2 \pi \bar R einnehmen.^[41]

Literatur

• Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193.
• Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
• David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott (Hrsg.): The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6.
• Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. In: Wiltshire, Visser, Scott: The Kerr Spacetime. Cambridge UP, 2009, S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109).

Weblinks

• Andreas Müller: Schwarze Löcher: Kerr-Metrik. Wissenschaft-Online, August 2007.
• Hendrik van Hees: Gravitation im Universum: Die Kerr-Lösung. GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung

Einzelnachweise

fr:Trou noir de Kerr#Métrique de Kerr