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Die Deviationsgleichung oder geodätische Abweichung ist eine Gleichung der Riemannschen Geometrie bzw. Allgemeinen Relativitätstheorie und beschreibt die Änderung des Abstandes zweier benachbarter Geodäten mit Hilfe des Riemannschen Krümmungstensors. Mittels dieser Gleichung kann festgestellt werden, ob und in welcher Art ein Raum gekrümmt ist, indem die Relativbeschleunigung zweier Probekörper auf benachbarten Geodäten gemessen wird. Wird keine Relativbeschleunigung zwischen zwei Geodäten gemessen, so ist der Raum flach. Die Relativbeschleunigung zwischen den Probekörpern rührt nur von der Krümmung des Raumes her, nicht von ihrer gegenseitigen gravitativen Anziehung, die bei einem realen Experiment noch zusätzlich wirken würde.
Formulierung der Gleichung
Die mathematische Formulierung der Deviationsgleichung lautet:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{D}^2V^\alpha}{\mathrm{D}\tau^2}=\frac{\partial x^\beta}{\partial \tau}\frac{\partial x^\mu}{\partial\tau}V^\nu R^\alpha_{\,\,\mu\beta\nu}+ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}\tau}\left(T_{\kappa\lambda}^\alpha\frac{\partial x^\kappa}{\partial \tau} V^\lambda\right)
und vereinfacht sich in einem torsionsfreien Raum[1] zu
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{D}^2V^\alpha}{\mathrm{D}\tau^2}=\frac{\partial x^\beta}{\partial \tau}\frac{\partial x^\mu}{\partial\tau}V^\nu R^\alpha_{\,\,\mu\beta\nu}
Die Symbole in den Gleichungen bedeuten dabei folgendes:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^\alpha(\tau)
bezeichnet die Geodäte und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \tfrac{\partial x^\alpha}{\partial \tau}
deren Tangentialvektor.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle V^\alpha \mbox{d}p=\tfrac{\partial x^\alpha}{\partial p}\mathrm{d}p
ist der Abstandsvektor zweier benachbarter Geodäten und damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \tfrac{\partial x^\alpha}{\partial p}
die lineare Änderung des Abstandes zweier infinitesimal benachbarter Geodäten.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_{\kappa\lambda}^\alpha
ist der Torsionstensor des Raumes, insbesondere ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_{\kappa\lambda}^\alpha A^\kappa B^\lambda
der Vektor, der das von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B
aufgespannte Parallelogramm schließt.[2] Dieser Vektor ist in torsionsfreien Räumen gleich Null.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R^\alpha_{\mu\beta\nu}
ist der Riemannsche Krümmungstensor.
- Außerdem wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, die griechischen Indizes laufen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0\dots 3
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^\alpha
sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V^\alpha
sind Tensoren 1. Stufe.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \tfrac{\mathrm{D} V^\alpha}{\mathrm{D}\tau}
bezeichnet die Kovariante Ableitung.
Im flachen Raum wächst der Abstand zweier sich schneidenden Geodäten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^\alpha(\tau,p_1)
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^\alpha(\tau,p_2)
proportional zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau
[3]. Ist dies nicht der Fall, so ist dies ein Symptom für die Krümmung des Raumes und entspricht der obigen Gleichung bei nichtverschwindendem Krümmungstensor.
Literatur
- Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Wiley-VCH, 1991, ISBN 3-326-00083-9
Einzelnachweise
- ↑ Hendrik van Hees: Physik und das Drumherum, Abschnitt Geraden (Memento des Originals vom 23. Juli 2013 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/theory.gsi.de
- ↑ Hendrik van Hees: Physik und das Drumherum, Abschnitt Torsion und Krümmung (Memento des Originals vom 5. Mai 2010 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/theory.gsi.de
- ↑ Geometrie der Raumzeit von Rainer Oloff, S. 141
