Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die beiden Zustandsgleichungen nach Murnaghan und nach Birch (benannt nach Francis Murnaghan und Albert Francis Birch) beschreiben die Beziehung zwischen dem Volumen $ V $ eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck $ p $.

Zustandsgleichung nach Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Murnaghan lautet:

$ p={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{K_{0}'}-1\right] $

$ \Leftrightarrow V=V_{0}\cdot \left[{\frac {K_{0}'}{K_{0}}}p+1\right]^{-{\frac {1}{K_{0}'}}} $

mit

• dem Volumen $ V_{0} $ des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa
• dem Kompressionsmodul $ K_{0} $ bei einem Druck von 0 GPa:

$ K_{0}=-V\left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} } $

• der ersten Ableitung $ K_{0}' $ des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa:

$ K_{0}'=\left.{\frac {\partial K}{\partial p}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} } $.

Man erhält diese Zustandsgleichung, wenn man Murnaghans folgende Annahmen integriert:

• der Kompressionsmodul eines Festkörpers nimmt linear zu mit dem auf ihn wirkenden Druck:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K(p)= K_0 + p \, K_0'

• die Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K_0' hängt nicht vom Druck ab.

Zustandsgleichung nach Birch(-Murnaghan)

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p und der freien Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F besteht:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)_T

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

$ F=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\epsilon ^{n} $

Hier sind

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_n druckabhängige Koeffizienten
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon^n ist die Eulersche Dehnung.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon = \frac{1}{2} \left[ 1 - \left( \frac V {V_0} \right)^{-\frac 2 3} \right]

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man die Zustandsgleichung nach Birch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 4\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right]

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

• F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
• B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)