Rotation eines Vektorfeldes

Als Rotation oder Rotor^[1][2] bezeichnet man in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einen bestimmten Differentialoperator, der einem Vektorfeld im dreidimensionalen euklidischen Raum mit Hilfe der Differentiation ein neues Vektorfeld zuordnet.

Die Rotation eines Strömungsfeldes gibt für jeden Ort das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit an, mit der sich ein mitschwimmender Körper dreht („rotiert“). Dieser Zusammenhang ist namensgebend.

Es muss sich aber nicht immer um ein Geschwindigkeitsfeld und eine Drehbewegung handeln; beispielsweise betrifft das Induktionsgesetz die Rotation des elektrischen Feldes.

Ein Vektorfeld, dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich null ist, nennt man wirbelfrei oder, insbesondere bei Kraftfeldern, konservativ. Ist das Gebiet einfach zusammenhängend, so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient einer Funktion, wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet gleich null ist.

Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist gleich null. Umgekehrt ist in einfach zusammenhängenden Gebieten ein Feld, dessen Divergenz gleich null ist, die Rotation eines anderen Vektorfeldes.

Beispiele:

• Das Vektorfeld, das an jedem Ort die Windrichtung und -geschwindigkeit eines Wirbelsturms angibt, hat in der Umgebung des Auges (der Rotationsachse) eine von null verschiedene Rotation.
• Das Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(x, y, z) = \omega\cdot(x\,\hat{e}_y-y\,\hat{e}_x)\,, das an jedem Punkt einer rotierenden Scheibe die Geschwindigkeit angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von null verschiedene Rotation. Die Rotation beträgt das Zweifache der Winkelgeschwindigkeit, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\,\vec{v}(x,y,z) = 2\,\omega \,\hat{e}_z\,. Siehe Abbildung
• Das Kraftfeld, das an jedem Punkt die Gravitationskraft der Sonne auf ein Testteilchen angibt, ist wirbelfrei. Das Kraftfeld ist der negative Gradient der potentiellen Energie des Teilchens.

Definition der Rotation

Definition in kartesischen Koordinaten

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x,y,z) die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raumes und $ {\hat {e}}_{x} $, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_y und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_z die auf Einheitslänge normierten, zueinander senkrechten Basisvektoren, die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen.

Die Rotation eines dreidimensionalen, differenzierbaren Vektorfeldes

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F(x,y,z)=F_x(x,y,z)\, \hat{e}_x + F_y(x,y,z)\,\hat{e}_y + F_z(x,y,z)\,\hat{e}_z

ist das dreidimensionale Vektorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\,\vec F(x,y,z) = \left (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right )\hat{e}_x + \left (\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right )\hat{e}_y + \left (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right )\hat{e}_z \,.

Man kann $ \operatorname {rot} \,{\vec {F}} $ wie das Kreuzprodukt als formale Determinante einer Matrix auffassen, deren erste Spalte die kartesischen Basisvektoren enthält, die zweite die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten und die dritte die zu differenzierenden Komponentenfunktionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\,\vec F =\operatorname{det}\, \begin{pmatrix} \hat{e}_x & \frac{\partial}{\partial x} & F_x\\ \hat{e}_y & \frac{\partial}{\partial y} & F_y\\ \hat{e}_z & \frac{\partial}{\partial z} & F_z \end{pmatrix}\,=\operatorname{det}\, \begin{pmatrix} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix}\,.

Allerdings sind hier die verschiedenen Spalten nicht Vektoren desselben Vektorraumes.

Gibt man die Vektoren als Spaltenvektoren ihrer kartesischen Komponenten an, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\,\vec F das formale Kreuzprodukt des Spaltenvektors der partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten, des Nabla-Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla , mit dem Spaltenvektor der kartesischen Komponentenfunktionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\,\vec F(x,y,z) = \nabla\times\vec F =\sum_{i=1}^3\hat e_i\times\frac{\partial\vec F}{\partial x_i} =\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} F_x\\ F_y\\ F_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{pmatrix}

wo die Koordinaten nach dem üblichen Schema x → 1, y → 2 und z → 3 durchnummeriert wurden.

Koordinatenunabhängige Definition mit dem Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist auch in anderen Koordinatensystemen definiert und so kann mit ihm die Rotation koordinatenunabhängig durch

$ \mathrm {rot} {\vec {F}}:=\nabla \times {\vec {F}} $

definiert werden. Mit dem Nabla-Operator können auch der Gradient- sowie die Divergenz eines Vektorfeldes dargestellt und Produktregeln hergeleitet werden.

Definition in Kugelkoordinaten

Schreibt man das Vektorfeld in Kugelkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (r, \theta, \varphi) als Linearkombination

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F(r,\theta,\varphi)=F_r(r,\theta,\varphi)\, \hat{e}_r + F_{\theta}(r,\theta,\varphi)\,\hat{e}_\theta + F_\varphi(r,\theta,\varphi)\,\hat{e}_\varphi

der auf Einheitslänge normierten Vektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \hat{e}_r &=\begin{pmatrix} \sin(\vartheta)\cos(\varphi)\\ \sin(\vartheta)\sin(\varphi)\\ \cos(\vartheta) \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \,,\\ \hat{e}_\theta &=\begin{pmatrix} \cos(\vartheta)\cos(\varphi)\\ \cos(\vartheta)\sin(\varphi)\\ -\sin(\vartheta) \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2)}} \begin{pmatrix} z\,x\\z\,y\\-x^2-y^2 \end{pmatrix}\,,\\ \hat{e}_\varphi &=\begin{pmatrix} -\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi)\\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \begin{pmatrix} -y\\x\\0 \end{pmatrix} \,, \end{align}

die an jedem Punkt in Richtung zunehmender Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r,\theta,\varphi -Koordinaten zeigen, so ist die Rotation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \operatorname{rot}\,\vec F = \, &\frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( F_\varphi \sin \theta \right) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \varphi }\right]\hat{e}_r + \left [ \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \varphi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\varphi \right)\right]\hat{e}_\theta \,+\, \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\theta \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right] \hat{e}_\varphi \,. \end{align}

Definition in Zylinderkoordinaten

Gibt man das Vektorfeld in Zylinderkoordinaten $ (r,\varphi ,z) $ als Linearkombination

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F(r,\varphi,z)=F_r(r,\varphi,z)\, \hat{e}_r +F_\varphi(r,\varphi,z)\,\hat{e}_\varphi +F_{z}(r,\varphi,z)\,\hat{e}_z

der Vektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \hat{e}_r &=\begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ 0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} \,,\\ \hat{e}_\varphi&=\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi)\\0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \begin{pmatrix} -y\\x\\0 \end{pmatrix}\,,\\ \hat{e}_z &= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \,, \end{align}

an, die auf Einheitslänge normiert an jedem Punkt in Richtung zunehmender Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r,\varphi,z -Koordinaten zeigen, so ist die Rotation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \operatorname{rot}\,\vec F = \left[ \frac 1 r \frac {\partial F_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial F_\varphi}{\partial z} \right]\hat{e}_r +\left [ \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r} \right ]\hat{e}_\varphi \,+ \, \frac 1 r \left[ \frac \partial {\partial r} \left( r \cdot F_\varphi \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right]\hat{e}_z\,. \end{align}

Rotation in zwei Dimensionen

Ein Vektorfeld im zweidimensionalen, euklidischen Raum kann als Vektorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F(x,y,z)=F_x(x,y)\, \hat{e}_x + F_y(x,y)\,\hat{e}_y

in drei Dimensionen aufgefasst werden, das nicht von der dritten Koordinate abhängt und dessen dritte Komponente verschwindet. Seine Rotation ist kein Vektorfeld dieser Art, sondern besteht gemäß

$ \operatorname {rot} \,{\vec {F}}(x,y,z)=\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {e}}_{z} $

aus einer Komponente, die senkrecht zum Vektorfeld in drei Dimensionen ist. Definiert man in zwei Dimensionen die Rotation als den Differentialoperator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}:\ \vec F \mapsto \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \,,

dann ist das Ergebnis ein Skalarfeld und kein Vektorfeld.

Eigenschaften

Koordinatenfreie Darstellung der Rotation als Volumenableitung

Mit Hilfe des Satzes von Stokes kann die Rotation, ähnlich wie die Divergenz (Quellendichte), als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird die Rotation im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert.

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{V} ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \mathcal{V} und dem Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V , dann kann die Rotation des Vektorfelds Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F} \colon \mathcal{V} \to \R^3 im Punkt $ p\in {\mathcal {V}} $ mittels der Volumenableitung durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}\,\vec F(p)=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{\oint_{\partial \mathcal{V}} \hat n\times\vec F\,\mathrm{d}A}{V}

berechnet werden. Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat n\mathrm{d}A=\mathrm{d}\vec{A} das äußere vektorielle Flächenelement von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \mathcal{V}, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat n der nach außen zeigende Normaleneinheitsvektor und $ \mathrm {d} A $ das skalare Flächenelement ist. Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{V} auf den Punkt p zusammengezogen, sodass sein Inhalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V gegen null geht, siehe auch #Integralsatz von Stokes weiter unten.^[3]

Ersetzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F durch eine Strömungsgeschwindigkeit, erscheint die Rotation als Wirbeldichte. Ähnlich gebildete Synonyme existieren auch für die Divergenz (Quellendichte) und den Gradienten (Kraftdichte). Die Koordinatendarstellungen des vorigen Abschnitts ergeben sich aus der Volumenableitung, wenn man das jeweilige Volumenelement als Raumgebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{V} wählt.

Axialvektorfeld

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Pseudovektorfeld. Ein Vektorfeld geht bei Spiegelung am Ursprung in sein Negatives am gespiegelten Ort über, die Rotation des Vektorfeldes ändert bei dieser Spiegelung ihr Vorzeichen nicht,

$ {\begin{aligned}{\vec {F}}^{\prime }({\vec {x}})&=-{\vec {F}}(-{\vec {x}})\,,\\{\bigl (}\operatorname {rot} \,{\vec {F}}^{\prime }{\bigr )}({\vec {x}})&={\bigl (}\operatorname {rot} \,{\vec {F}}{\bigr )}(-{\vec {x}})\,.\end{aligned}} $

Rechenregeln

Die Rotation ist linear. Für alle Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c\in\R und differenzierbaren Vektorfelder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{G} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\,(c \,\vec{F}+\vec G) = c\,\operatorname{rot}\,\vec{F} + \operatorname{rot}\,\vec{G}\,.

Die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet genau dann, wenn es lokal ein Gradientenfeld ist und die Divergenz eines Vektorfeldes verschwindet genau dann, wenn es lokal die Rotation eines anderen Feldes ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot~grad}\,f= 0\,,\ \operatorname{div~rot}\,\vec F= 0

Für differenzierbare Funktionen $ f\, $ und Vektorfelder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{G} gelten die Produktregeln

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \operatorname{rot}\,(f\,\vec{F}) =& f\,\operatorname{rot}\,\vec{F} + (\operatorname{grad}\,f)\,\times \vec{F} \\ \operatorname{rot}\,(\vec{F}\times\vec{G}) =& \left(\vec{G}\cdot\nabla\right)\vec{F} - \left(\vec{F}\cdot\nabla\right)\vec{G} + \vec{F}\,(\nabla\cdot\vec{G}) - \vec{G}\,(\nabla\cdot\vec{F}) \\=& \left(\operatorname{grad}\vec{F}\right)\cdot\vec{G} - \left(\operatorname{grad}\vec{G}\right)\cdot\vec{F} + \vec{F}\,(\operatorname{div}\,\vec{G}) - \vec{G}\,(\operatorname{div}\,\vec{F}) \,.\end{align}

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla der Nabla-Operator und in der letzten Formel bildet grad den Vektorgradient. Für die zweifache Anwendung der Rotation gilt

$ \operatorname {rot} \,\operatorname {rot} \,{\vec {F}}=\operatorname {grad\,div} \,{\vec {F}}-\operatorname {div\,grad} \,{\vec {F}}=\operatorname {grad\,div} \,{\vec {F}}-\Delta \,{\vec {F}} $

wo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta der Laplace-Operator ist. Für einen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} , der von einem Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s\!\, abhängt, und dieser in 3D vom Ort, gilt die Kettenregel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\, \vec{v} ( s ) = \operatorname{grad}\,s \times \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}s}.

Anwendungen

Zusammenhang zur Winkelgeschwindigkeit

Bei der Drehung eines starren Körpers um die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega wächst der Drehwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi gleichmäßig mit der Zeit an, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi = \omega\,t\,, und jeder Punkt durchläuft eine Bahn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\omega\,t)\,x(0) -\sin(\omega\,t)\,y(0)\\ \sin(\omega\,t)\,x(0) +\cos(\omega\,t)\,y(0)\\ z(0) \end{pmatrix}\,.

Die Geschwindigkeit beträgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm d}{\mathrm d\,t} \begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t) \end{pmatrix} =\omega\, \begin{pmatrix} -\sin(\omega\,t)\,x(0) -\cos(\omega\,t)\,y(0)\\ \ \cos(\omega\,t)\,x(0) -\sin(\omega\,t)\,y(0)\\ 0 \end{pmatrix}= \omega\, \begin{pmatrix} -y(t)\\x(t)\\0 \end{pmatrix} \,.

Das Geschwindigkeitsfeld einer starren Drehung um die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Achse ist also, wie oben im Beispiel angegeben,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(x,y,z) = \omega\,(-y\,\hat{e}_x + x \, \hat{e}_y)\,.

Seine Rotation ist die doppelte Winkelgeschwindigkeit

$ \operatorname {rot} \,{\vec {v}}=2\,\omega \,{\hat {e}}_{z}\,. $

Veranschaulichung durch Drehmoment

In einem Flächenkraftdichte-Feld^[4] Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec f , das jedem Körperoberflächenelement mit dem Inhalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}A unabhängig von seiner Ausrichtung die Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec f \mathrm{d}A einprägt, erfährt eine Kugel mit dem Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R (und dem zugehörigen Volumeninhalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V ) das Drehmoment

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec M= RV\mathrm{rot}\,\vec f.

Vorausgesetzt ist, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}\,\vec f im Bereich der Kugel konstant ist. Die Gleichung folgt aus dem #Integralsatz von Stokes

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_\mathcal{V}\mathrm{rot}\,\vec f\mathrm{d}V = \oint_\mathcal{A}\hat n\times\vec f\,\mathrm{d}A

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \int_\mathcal{V}\mathrm{rot}\,\vec f\,\mathrm{d}V = V\mathrm{rot}\,\vec f und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \vec M:=\oint_\mathcal{A}R\hat n\times\vec f\,\mathrm{d}A .

Sätze, in denen die Rotation eine Rolle spielt

Zerlegung in quellen- und wirbelfreien Teil

Zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec r) , die mit ihren Ableitungen für große Abstände hinreichend rasch gegen null gehen, kann man eindeutig in einen wirbelfreien Teil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E}\,,\ \textsf{mit}\ \operatorname{rot}\,\vec{E} = \vec{0}\,, und einen quellenfreien Teil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B}\,,\ \textsf{mit}\ \operatorname{div}\,\vec{B} = 0\,, zerlegen,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lll} \vec{v} &= \vec{E} +\vec{B}\,,& \vec{E} = -\operatorname{grad}\,\phi\,,\ \vec{B} = \operatorname{rot}\,\vec{A}\,, \\ \phi (\vec{x}) &= \frac{1}{4\,\pi}\int\!\mathrm{d}^{3}y\,\, \frac{\operatorname{div}\,\vec{v}(\vec{y})}{|\vec{x} -\vec{y}|}\,,\ &\vec{A}(\vec{x}) =\frac{1}{4\,\pi}\int\!{\mathrm d}^{3}y\,\, \frac{\operatorname{rot}\,\vec{v}(\vec{y})}{|\vec{x} -\vec{y}|} \,. \end{array}

Dabei bezeichnen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad} den Divergenz- bzw. Gradient-Operator, wobei die Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = -\operatorname{grad}\,\phi\, die in der Physik übliche Konvention ist. Mathematisch ist: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = \operatorname{grad}\,\phi\,

Diese Zerlegung ist Bestandteil des Helmholtz-Theorems.

Integralsatz von Stokes

Das Integral über eine Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{F} über die Rotation eines Vektorfeldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A} ist nach dem klassischen Integralsatz von Stokes gleich dem Kurvenintegral über die Randkurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial \mathcal{F} über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A}\,,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \iint_{\mathcal{F}}\!\!(\operatorname{rot}\,\vec {A})\cdot\mathrm{d}\vec f= \oint_{\partial \mathcal{F}}\!\!\vec {A}\cdot\mathrm{d}\vec{x}\,.

Durch das Doppelintegral wird links betont, dass man von einer zweidimensionalen Integration ausgeht. Auf der rechten Seite soll das Kreissymbol im Integralzeichen unterstreichen, dass es sich um ein Integral über einen geschlossenen Weg handelt. Die Orientierung entspricht dabei der Drei-Finger-Regel, siehe Abbildung rechts: die folgenden drei Vektoren, nämlich erstens der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm d\vec f in Richtung der Flächennormalen, zweitens der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm d\vec{x} in Tangentialrichtung der Kurve und drittens der vom Rand in die Fläche zeigenden Vektor, entsprechen Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, das heißt, sie bilden ein Rechtssystem. Oft schreibt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{f}=\vec{n}\,\mathrm{d}f\, indem man mit dem Normalenvektor $ {\vec {n}} $ die Richtung der Größe hervorhebt.

Der allgemeinere Satz von Stokes beinhaltet auch das Rotations-Theorem^[5]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_V\mathrm{rot}\vec F\,\mathrm{d}V =\int_A\vec n\times\vec F\,\mathrm{d}A

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F ein stetig differenzierbares Vektorfeld, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec n der nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor auf der geschlossenen Oberfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A des Volumens $ V $. Wenn das Volumen so klein wird, dass die Rotation in ihm näherungsweise konstant wird, folgt hieraus die #Koordinatenfreie Darstellung der Rotation als Volumenableitung.

Rotation von Tensoren zweiter Stufe

Die Rotation von Tensorfeldern zweiter Stufe wird mit der Identität^[6]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\mathbf{T})\cdot\vec c =\mathrm{rot}\left(\mathbf{T}^\top\cdot\vec c\right) \quad\forall\vec c

definiert. Aus ihr ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\mathbf{T})=\nabla\times\left(\mathbf{T}^\top\right) .

In kartesischen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1,2,3} bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 schreibt sich die Rotation für das Tensorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle\mathbf{T}=\sum_{i,j=1}^3T_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\mathbf{T}) =\sum_{i,j,k=1}^3\hat e_k\times\frac{\partial}{\partial x_k} T_{ij}\hat e_j\otimes\hat e_i =\sum_{i,j,k=1}^3\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_k} (\hat e_k\times\hat e_j)\otimes\hat e_i

Darin ist ⊗ das dyadische Produkt. Es wird aber auch die transponierte Version Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times\mathbf{T} benutzt^[7], die hieraus hervorgeht, indem die Komponenten gemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_{ij}\rightleftarrows T_{ji} vertauscht werden.

Im Zusammenhang mit Tensoren sind Klammern ein wichtiges Hilfsmittel, um die Reihenfolge der Anwendung und die Argumente der verschiedenen Operatoren klarzustellen, was auf das Ergebnis einen entscheidenden Einfluss hat. Meistens ist beispielsweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}(\mathbf{T}^\top) =\nabla\times\mathbf{T} \ne \left[\nabla\times\left(\mathbf{T}^\top\right)\right]^\top = \operatorname{rot}(\mathbf{T})^\top

weswegen die Ausdrücke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot}\mathbf{T}^\top und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times\mathbf{T}^\top mehrdeutig sind.

Symmetrische Tensoren

Wenn der Tensor symmetrisch ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \mathbf{T}=\mathbf{T}^\top=\sum_{i,j=1}^3 T_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_{ij}=T_{ji} , dann ist seine Rotation spurfrei:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Sp\big(rot}(\mathbf{T})\big) = \sum_{i,j,k=1}^3\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_k} (\hat e_k\times\hat e_j)\cdot\hat e_i = \sum_{i,j,k=1}^3\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_k} (\hat e_j\times\hat e_i)\cdot\hat e_k = 0

denn Terme mit vertauschten Indizes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j sind gleich groß, besitzen aber umgekehrtes Vorzeichen und heben sich daher in der Summe gegenseitig auf, oder verschwinden bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i=j , siehe auch Spatprodukt.

Ableitungsregeln

Die Produktregel führt im Produkt mit einem Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f , Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{f}, \vec{g} und dem Tensor $ \mathbf {T} $ auf:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{rot}(\vec{f}\otimes\vec{g}) =& \mathrm{rot}(\vec{g})\otimes\vec{f}-\vec{g}\times\mathrm{grad}(\vec{f})^\top \\ \mathrm{rot}(f\mathbf{T}) =& \mathrm{grad}(f)\times(\mathbf{T}^\top) + f\mathrm{rot}(\mathbf{T}) \\ \mathrm{rot}(\mathbf{T}\cdot\vec{f}) =& \mathrm{rot}(\mathbf{T}^\top)\cdot\vec{f} -\vec{\mathrm i}\left(\mathbf{T}\cdot\mathrm{grad}(\vec{f})\right) \\ \mathrm{rot}(\vec{f}\times\mathbf{T}) =& -\mathrm{rot}(\mathbf{T})\times\vec{f} +\left(\mathbf{T}\#\mathrm{grad}(\vec{f})\right)^\top \end{align}

Darin bildet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm i} die Vektorinvariante, # das äußere Tensorprodukt und grad den Gradient. Ist T der Einheitstensor 1, dann liefert das bemerkenswerte Zusammenhänge:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{rot}(f\mathbf1) =& \mathrm{grad}(f)\times\mathbf1 \\ \mathrm{rot}(\vec{f}) =& -\vec{\mathrm i}\left(\mathrm{grad}(\vec{f})\right) \\ \mathrm{rot}(\vec{f}\times\mathbf1) =& \left(\mathbf1\#\mathrm{grad}(\vec{f})\right)^\top = \left(\mathrm{Sp}\big(\mathrm{grad}(\vec{f})\big)\mathbf1 -\mathrm{grad}(\vec{f})^\top\right)^\top \\=& \mathrm{div}(\vec{f})\mathbf1-\mathrm{grad}(\vec{f}) \end{align}

In divergenzfreien Feldern ist also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\vec{f}\times\mathbf1)=-\mathrm{grad}(\vec{f}) , was beim Poincaré-Lemma ausgenutzt wird.

Bei der Verknüpfung der Rotation mit anderen Differentialoperatoren entstehen unter Beteiligung eines Tensors teilweise ähnliche Formeln wie sie aus der Vektoranalysis bekannt sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \mathrm{div(rot}(\vec{f})) &=&\nabla\cdot(\nabla\times\vec{f}) &=& 0 \\ \mathrm{rot(grad}(f)) &=&\nabla\times\nabla f &=&\vec0 \\ \mathrm{div\big(rot}(\mathbf{T})^\top\big) &=&\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{T}) &=&\vec{0} \\ \mathrm{rot\big(grad}(\vec{f})\big) &=&\nabla\times(\nabla\otimes\vec{f}) &=&\mathbf{0} \end{array}

$ {\begin{aligned}\mathrm {rot{\big (}rot} ({\vec {f}}){\big )}=&\mathrm {grad{\big (}div} ({\vec {f}}){\big )}-\Delta {\vec {f}}\\\mathrm {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} )^{\top }{\big )}^{\top }=&\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {T} ){\big )}-\Delta \mathbf {T} \end{aligned}} $

oder mit den Nabla-Operator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \nabla\times(\nabla\times\vec f) =& \nabla(\nabla\cdot\vec{f})-\Delta\vec{f} \\ \left[\nabla\times\big(\nabla\times(\mathbf{T}^\top)\big)\right]^\top =& \big(\nabla\otimes\nabla\cdot\mathbf{T}^\top\big)^\top -\Delta\mathbf{T} \end{align}

Darin ist Δ = 𝜵² der Laplace-Operator.

Siehe auch

• Formelsammlung Tensoralgebra
• Formelsammlung Tensoranalysis

Einzelnachweise

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-42018-5. 
• Siegfried Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner-Verlag, 2012, ISBN 978-3-8351-0254-5, doi:10.1007/978-3-8348-8347-6. 
• Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 

Weblinks

• Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten, auf matheplanet.com.