Divergenz eines Vektorfeldes

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, das an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung des Punktes auseinanderstreben (lateinisch divergere). Interpretiert man das Vektorfeld als Strömungsfeld einer Größe, für die die Kontinuitätsgleichung gilt, dann ist die Divergenz die Quelldichte. Senken haben negative Divergenz. Ist die Divergenz überall gleich null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei.

Die Divergenz ergibt sich aus dem Vektorfeld durch Anwendung eines Differentialoperators. Verwandte Differentialoperatoren liefern die Rotation eines Vektorfeldes und den Gradienten eines Skalarfeldes. Das mathematische Gebiet ist die Vektoranalysis.

In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen oder der verschiedenen Kontinuitätsgleichungen verwendet. Im Ricci-Kalkül wird die mit Hilfe der kovarianten Ableitung gebildete Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla _k T^{ik} manchmal etwas ungenau als Divergenz eines Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T^{ik} bezeichnet (für diese Größe gilt auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten zum Beispiel nicht der Gaußsche Integralsatz).

Beispiel aus der Physik

Man betrachtet zum Beispiel eine ruhige Wasseroberfläche, auf die ein dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden: An jedem Punkt ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Fließgeschwindigkeit des Öls in Form eines Vektors gegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft, ist eine „Ölquelle“, da von dort Öl wegfließt, ohne dass es einen Zufluss auf der Oberfläche geben würde. Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv. Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Stelle, an der das Öl beispielsweise am Rand aus dem Wasserbecken abfließt, als Senke. Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F \colon \R^n\to\R^n,(x_1,\dots,x_n)\mapsto (F^1,\dots,F^n) ein differenzierbares Vektorfeld. Dann ist die Divergenz von $ {\vec {F}} $ definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div} \vec F :=\nabla\cdot\vec F = (\tfrac{\partial}{\partial x_1},\dotsc,\tfrac{\partial}{\partial x_n}) \cdot \left(F^1,\dotsc,F^n\right) = \tfrac{\partial}{\partial x_1} F^1 + \dotsb + \tfrac{\partial}{\partial x_n} F^n

Die Divergenz ist das Skalarprodukt des Nabla-Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla mit dem Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F .

Bei der Divergenz handelt es sich um einen Operator auf einem Vektorfeld, der in einem skalaren Feld resultiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}[\cdot]\ \colon C^1\left(\R^n,\R^n\right) \to C^0\left(\R^n,\R\right)

Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F(x_1,x_2,x_3) ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

$ {\begin{matrix}\operatorname {div} \colon &C^{1}\left(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3}\right)&\to &C^{0}\left(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} \right)\\&{\vec {F}}=\left(F^{1},F^{2},F^{3}\right)&\mapsto &{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}F^{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}F^{2}+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}F^{3}\end{matrix}} $.

Bei der Schreibweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\cdot\vec F ist es wichtig, den Multiplikationspunkt zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla und dem Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F zu schreiben, da der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla -Operator sonst als Gradient der Vektorkomponenten (geschrieben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla \vec F ) zu verstehen wäre.

Die Divergenz als „Quellendichte“

Interpretiert man ein Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F}\colon\R^n\to\R^n als Strömungsfeld, so beschreibt dessen totales Differenzial Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): DF\colon\R^n\to\R^{n\times n} ein Beschleunigungsfeld. Ist in einem Punkt $ x_{0}\in \mathbb {R} ^{n} $ die Beschleunigungsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): DF(x_0) diagonalisierbar, so beschreibt jeder Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_i(x_0) die Beschleunigung in Richtung des zugehörigen Eigenvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u_i(x_0) . Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensität einer gerichteten Quelle und jeder negative Eigenwert die gerichtete Intensität einer Senke. Addiert man diese Eigenwerte, so erhält man die resultierende Intensität einer Quelle bzw. Senke. Da die Summe der Eigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_i(x_0) gerade die Spur der Beschleunigungsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): DF(x_0) ist, wird die Quellenintensität durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Spur}(DF) = \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F^i = \operatorname{div}\,\vec{F}

gemessen.

Die Divergenz kann in diesem Sinne als „Quellendichte“ interpretiert werden.

Koordinatenfreie Darstellung

Für die Interpretation der Divergenz als „Quellendichte“ ist die folgende koordinatenfreie Definition in der Form einer Volumenableitung wichtig (hier für den Fall n=3)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\vec{F} = \lim_{|\Delta V|\to 0}\left(\frac{1}{|\Delta V|}\oint_{\partial (\Delta V)} \vec F\;\cdot\vec n\,\mathrm{d}S \right)\,.

Dabei ist $ \Delta V $ ein beliebiges Volumen, zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\Delta V| ist sein Inhalt. Es wird über den Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial (\Delta V) dieses Volumenelements integriert, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n} ist die nach außen gerichtete Normale und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}S das zugehörige Flächenelement. Man findet hierzu auch die Schreibweise mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec S := \vec n \cdot \mathrm{d}S .

Für n > 3 kann diese Aussage leicht verallgemeinert werden, indem man n-dimensionale Volumina und ihre (n-1)-dimensionalen Randflächen betrachtet. Bei Spezialisierung auf infinitesimale Würfel oder Quader erhält man die bekannte Darstellung in kartesischen Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\, \vec{F} = \sum_{i=1}^n\,\frac{\partial F_i}{\partial x_i}\,.

In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, zum Beispiel Kugelkoordinaten oder elliptischen Koordinaten, (also für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \mathrm{d}\vec{r} = \sum_{i=1}^n a_i(u_1, \dots, u_n) \cdot \mathrm{d}u_i\,\hat e_i(u_1, \dots, u_n)\, , mit $ {\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{k}=\delta _{i,k}\, $), wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \vec{F} = \sum_{i=1}^n\,F_i(u_1, \dots, u_n)\,\hat e_i ist, wobei also nicht die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}u_i , sondern die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_i\cdot\mathrm{d}u_i die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, gilt dagegen etwas allgemeiner

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\, \vec{F} = (a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n)^{-1}\,\left\{ \frac{\partial}{\partial u_1}[(a_2 \cdot a_3\cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n)\,F_1] + \dots \right\},

wobei die Punkte am Ende weitere Terme beinhalten, die durch fortgesetzte zyklische Permutationen, erzeugt nach dem Schema Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 \to 2, 2 \to 3, \dots, (n-1) \to n, n \to 1 usw., aus dem angeschriebenen folgen.

Herleitung der kartesischen Darstellung

Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien Darstellung betrachte man einen infinitesimalen Würfel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [x_{1},x_{1}+\Delta x_{1}],\ldots,[x_{n},x_{n}+\Delta x_{n}] .

$ {\begin{aligned}{\frac {1}{|\Delta V|}}\int \limits _{\partial (\Delta V)}{\vec {F}}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S&={\frac {1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots \Delta x_{n}}}\left[\int \limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\ldots \int \limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\left({\vec {F}}(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})-{\vec {F}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\right)\cdot {\hat {e}}_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\ldots \mathrm {d} x_{n}\right]+\ldots \\&+{\frac {1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots \Delta x_{n}}}\left[\int \limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\ldots \int \limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\left({\vec {F}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-{\vec {F}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})\right)\cdot {\hat {e}}_{n}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n-1}\right]\end{aligned}} $

Nun wendet man den Mittelwertsatz der Integralrechnung an, wobei die gestrichenen Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x'_{i} aus dem Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [x_{i},x_{i}+\Delta x_{i}] sind.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S & =\frac{\left(\vec{F}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})-\vec{F}(x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})\right)\cdot\hat{e}_{1}}{\Delta x_{1}}\underbrace{\left[\frac{1}{\Delta x_{2}}\int\limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\mathrm{d}x_{2}\right.}_{=1}\ldots\underbrace{\left.\frac{1}{\Delta x_{n}}\int\limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\mathrm{d}x_{n}\right]}_{=1}+\ldots\\ & +\frac{\left(\vec{F}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-\vec{F}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{n}}{\Delta x_{n}}\left[\frac{1}{\Delta x_{1}}\int\limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\mathrm{d}x_{1}\ldots\frac{1}{\Delta x_{n-1}}\int\limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\mathrm{d}x_{n-1}\right]\end{align}

Somit bleibt nur die Summe der Differenzenquotienten übrig

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S=\frac{F_{1}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})-F_{1}(x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})}{\Delta x_{1}}+\ldots+\frac{F_{n}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-F_{n}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n})}{\Delta x_{n}} ,

die im Grenzübergang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta x_{i}\to 0 zu partiellen Ableitungen werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\vec{F}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})+\ldots+\frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}(x_{1},x_{2},\ldots,x{}_{n})

Kovariantes Verhalten bei Drehungen und Verschiebungen

Der Divergenz-Operator kommutiert mit räumlichen Drehungen und Verschiebungen eines Vektorfeldes, d. h. die Reihenfolge dieser Operationen macht keinen Unterschied.

Begründung: Wenn das Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F} im Raum gedreht oder (parallel)verschoben wird, braucht man in der oben gegebenen koordinatenunabhängigen Darstellung nur die Flächen- und Volumenelemente in derselben Weise zu drehen, um wieder auf denselben skalaren Ausdruck zu kommen. Das Skalarfeld $ \operatorname {div} \,{\vec {F}} $ dreht und verschiebt sich also in gleicher Weise wie das Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F} .

Ein „Zerlegungs-Theorem“

Für n=3-dimensionale Vektorfelder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F}(\vec{r}) , die im ganzen Raum mindestens zweimal stetig differenzierbar sind und im Unendlichen hinreichend rasch gegen null gehen, gilt, dass sie in einen wirbelfreien Teil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E} und einen quellenfreien Teil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B} zerfallen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F} = \vec{E} + \vec{B} . Für den wirbelfreien Teil gilt, dass er durch seine Quellendichte wie folgt dargestellt werden kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E}(\vec{r}) = -\nabla \Phi(\vec{r}) , mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi (\vec{r}) = \int_{\mathbb R^3}\,\mathrm{d}^{(3)}r'\,\,\frac{\mathrm{div}\,\vec{E}(\vec r')}{4\pi|\vec{r} -\vec r'|} .

Für den quellenfreien Teil, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B}(\vec{r}) , gilt analoges, wenn man das skalare Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi durch ein sog. Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A} ersetzt und zugleich die Ausdrücke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\nabla\,\Phi bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\vec{E} (=Quellendichte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E} ) durch die Operationen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla \times\,\vec A bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times\vec B (=Wirbeldichte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B} ) substituiert.

Dieses Verfahren ist Bestandteil des Helmholtz-Theorems.

Eigenschaften

Im n-dimensionalen Raum

Sei $ c\in \mathbb {R} $ eine Konstante, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega \subset \R^n eine offene Teilmenge, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u \colon \Omega \to \R ein skalares Feld und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F}, \vec{G} \colon \Omega \to \R^n zwei Vektorfelder. Dann gelten folgende Regeln:

• Die Divergenz ist linear, das heißt, es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,(c\cdot\vec{F}) = c\cdot\operatorname{div}\,\vec{F} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,(\vec{F}+\vec{G}) = \operatorname{div}\,\vec{F} + \operatorname{div}\,\vec{G}.

• Für die Divergenz gilt die Produktregel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}(u\vec{F})=\operatorname{grad}(u)\cdot\vec{F} + u\operatorname{div}\vec{F}

• Die Divergenz des Vektorfeldes $ {\vec {F}} $ entspricht in beliebigen Koordinaten der Spur der kovarianten Ableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla \vec{F} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F} , das heißt, es gilt
  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\vec{F} = \operatorname{Spur}( \nabla \vec{F}) .
  Diese Darstellung ist koordinateninvariant, da die Spur einer linearen Abbildung invariant gegenüber einem Basiswechsel ist.

Im dreidimensionalen Raum

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n = 3 , so gibt es auch eine Produktregel für das Kreuzprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \times , diese lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) = \vec{G}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{F} - \vec{F}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{G} \,,

wobei mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{rot} die Rotation gemeint ist. Wegen $ \operatorname {rot(grad} (f))=0 $ für alle differenzierbaren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f folgt daraus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div(grad}f_1\times\operatorname{grad}f_2) = 0

für beliebige differenzierbare Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_1,\,f_2 .

Beispiele

In kartesischen Koordinaten findet man unmittelbar

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\vec r = \operatorname{div}\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right) = 3

Für das Coulomb-Feld findet man, wenn in der ersten Produktregel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u \!\, = 1/r^3 ,   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{grad}\,u = -3\hat{e}_r/r^4 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F = \vec r gesetzt wird

$ \operatorname {div} \,{\frac {{\hat {e}}_{r}}{r^{2}}}=\operatorname {div} \,{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}=-{\frac {3{\hat {e}}_{r}}{r^{4}}}\cdot {\vec {r}}+{\frac {3}{r^{3}}}=0\qquad r=|{\vec {r}}|\neq 0,\quad {\vec {r}}=r{\hat {e}}_{r}\,. $

Mit der Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten ist dieses Ergebnis ebenfalls zu erhalten.

Nach dem Korollar sind Felder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{f} des folgenden Typs quellenfrei:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{f}=\frac{\vec{c}\times\vec{r}}{r^3} \quad \vec{c} = \text{const}\,, \quad \vec{f}=\vec{r}\times\operatorname{grad}\,Y_{lm}(\vartheta,\varphi)

Gaußscher Integralsatz

Aussage

Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz in der Aussage des Gaußschen Integralsatzes. Er besagt, dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist, und erlaubt damit die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Oberflächenintegral:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \iiint\limits_V \operatorname{div} \vec F\; \mathrm{d}V = \iint\limits_{\partial V} \vec F\;\cdot\vec n\,\mathrm{d}S\,,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{n} der Normalenvektor der Oberfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial V ist. Anschaulich beschreibt er damit für den Fall einer Strömung den Zusammenhang zwischen dem Durchfluss durch diese Fläche und den Strömungsquellen und -senken innerhalb des zugehörigen Volumens.

Punktförmige Quelle

Setzt man im Gaußschen Integralsatz das coulombartige Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F_C = \hat{e}_r/r^2 ein und wählt man als Integrationsfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial V eine Kugelfläche mit Radius $ r\!\, $ um den Ursprung, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec n = \hat{e}_r und der Integrand wird konstant gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/\!\,r^2 . Weil die Oberfläche der Kugel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 4\pi \!\, r^2 ist, folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \iint\limits_{\partial K} \vec F_C \cdot \vec n\,\mathrm{d}S = \frac{1}{r^2} \iint\limits_{\partial K} \mathrm{d}S = 4\pi

Somit liefert der Integralsatz eine Information über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\vec F_C , die im Gegensatz zu den Ableitungsausdrücken (Produktregel oder Kugelkoordinaten) auch den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r = 0 einschließt: Das Volumenintegral von $ \operatorname {div} \,{\vec {F}}_{C} $ ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 4 \pi . Dies lässt sich mit dem Ergebnis der Ableitungsrechnung zu einer Distributionsgleichung zusammenfassen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\frac{\hat{e}_r}{r^2} = 4\pi \delta(\vec{r})

Zylinder- und Kugelkoordinaten

In Zylinderkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F}(\rho,\varphi,z) :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 \rho \frac \partial {\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac 1 \rho \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

In Kugelkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F}(r, \theta,\varphi) :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} (r^2 F_r) + \frac 1 {r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( F_\theta \sin \theta) + \frac 1{r \sin \theta } \frac {\partial F_\varphi}{\partial \varphi}

Letztere Formel kann ohne Differentiation von Basisvektoren hergeleitet werden: Man führt eine Testfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g ein und schreibt ein Volumenintegral einmal in kartesischen und einmal in Kugelkoordinaten. Mit bekannten Ausdrücken für Gradient und Volumenelement ergibt das nach Ausmultiplizieren der Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \int \vec{F}\cdot\operatorname{grad}\,g \, \mathrm{d}V &= \int \left(F_x \frac{\partial g}{\partial x} + F_y \frac{\partial g}{\partial y} + F_z \frac{\partial g}{\partial z}\right) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\ &= \int \left( F_r \frac{\partial g}{\partial r} + \frac{F_\theta }{r}\,\frac{\partial g}{\partial\theta} + \frac{F_\varphi}{r\sin\theta}\,\frac{\partial g}{\partial\varphi}\right) r^2 \mathrm{d}r \, \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \end{align}

Die Ableitungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g werden partiell integriert, wobei Randterme verschwinden. Auf der rechten Seite muss das Volumenelement mitdifferenziert und danach in zwei Termen wiederhergestellt werden (Erweitern). Das ergibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int g \, \left( \operatorname{div}\,\vec{F}\right)_\mathrm{kartesisch} \mathrm{d}V = \int g \, \left( \operatorname{div}\,\vec{F}\right)_\mathrm{Kugelkoordinaten} \mathrm{d}V

Aus der Gleichheit der Integrale für alle Testfunktionen folgt, dass die Ausdrücke für die Divergenz gleich sind.

Inverse

Nach dem Poincaré-Lemma existiert zu jedem Skalarfeld ein Vektorfeld, dessen Divergenz es ist. Dieses Vektorfeld ist nicht eindeutig bestimmt, denn es kann ein örtlich konstanter Vektor hinzuaddiert werden, ohne die Divergenz und damit das Skalarfeld zu verändern.

Unter gewissen Voraussetzungen existiert ein Rechts- oder Linksinverses der Divergenz. So gibt es für ein offenes und beschränktes Gebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega\subset\R^n mit lipschitzstetigem Rand einen Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B \colon W^{m,p}(\Omega) \rightarrow W^{m,p}(\Omega) , so dass für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f\in W^{m,p}(\Omega) mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \int_\Omega f \,\mathrm d\lambda=0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}(Bf)=f

gilt, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W^{m,p}(\Omega) den entsprechenden Sobolew-Raum für $ m\in \mathbb {N} $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1< p<\infty bezeichnet. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B heißt Bogowskii-Operator.^{[L 1]}

Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten

Im Abschnitt Eigenschaften wurde bereits gesagt, dass die Divergenz mit Hilfe der Spur der Jacobimatrix ausgedrückt werden kann und dass diese Darstellung koordinateninvariant ist. Aus diesem Grund verwendet man diese Eigenschaft, um die Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten zu definieren. Mit Hilfe dieser Definition kann man zum Beispiel den Laplace-Operator auf riemannschen Mannigfaltigkeiten koordinatenfrei definieren. Dieser heißt dann Laplace-Beltrami-Operator.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M eine riemannsche Mannigfaltigkeit und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F \in \Gamma(TM) ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C^k -Vektorfeld mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k \geq 1 . Dann ist die Divergenz durch

$ \operatorname {div} (F):=\operatorname {Spur} (\xi \mapsto \nabla _{\xi }F) $

definiert. Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \xi \in \Gamma(TM) ein Vektorfeld und der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der den Nabla-Operator verallgemeinert. Wertet man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla_\xi F an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p \in M aus, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \xi|_p \mapsto \nabla_{\xi|_p} F|_p \in \operatorname{End}(T_pM) und man kann für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p die aus der linearen Algebra bekannte Spur bilden.^{[L 2]}

Transportsatz und geometrische Interpretation

Für den Fluss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi \colon U\subseteq \R\times M\to M,\;(t,x)\mapsto\varphi_t(x) eines Vektorfeldes $ F $ gilt der Transportsatz^{[L 3]}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_{\varphi_t(\Omega)} \varrho(t,x) \mathrm d\lambda(x) = \int_{\varphi_t(\Omega)} (\partial_t\varrho(t,x) + \operatorname{div}(\varrho(t,x)F(x))) \mathrm d\lambda(x).

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda das Riemann-Lebesguesche Volumenmaß auf der Mannigfaltigkeit, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega eine relativ-kompakte messbare Teilmenge und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varrho eine glatte Funktion. Interpretiert man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varrho als Dichte einer Erhaltungsgröße, dann folgt daraus die Kontinuitätsgleichung. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varrho=1 erhält man

$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\lambda (\varphi _{t}(\Omega ))=\int _{\varphi _{t}(\Omega )}\operatorname {div} F(x)d\lambda (x). $

Die Divergenz ist also die Dichte der Volumenänderungsrate bezüglich des Flusses. Die Divergenz in einem Punkt gibt an, wie schnell sich der Inhalt eines infinitesimalen Volumenelements in diesem Punkt ändert, wenn es sich mit dem Fluss bewegt. Als Folgerung ergibt sich, dass ein Vektorfeld genau dann divergenzfrei ist, wenn der erzeugte Fluss volumenerhaltend ist.

Divergenz von Tensoren zweiter Stufe

In den Ingenieurwissenschaften wird die Divergenz auch für Tensoren zweiter Stufe eingeführt und liefert dann Vektorfelder.^{[L 4]} Zum Beispiel geht die Divergenz des Spannungstensors in die lokale Impulsbilanz der Kontinuumsmechanik, das erste Cauchy-Eulersche Bewegungsgesetz, ein.

Definition

Tensoren zweiter Stufe bilden Vektoren auf Vektoren ab. Indem die vektorielle Divergenz mit der Divergenz des Tensors in Zusammenhang gebracht wird, kann die Divergenz auf Tensoren T verallgemeinert werden:^{[L 5]}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\mathbf{T})\cdot\vec c =\mathrm{div}(\mathbf{T}^\top\cdot\vec c)\quad\forall\quad\vec c

Darin bildet das Superskript ^⊤ den transponierten Tensor. Mit dem Nabla-Operator berechnet sich diese Divergenz mittels

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\mathbf{T})=\nabla\cdot\left(\mathbf T^\top\right)

In der Literatur insbesondere der Strömungsmechanik wird auch die transponierte Version Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\cdot\mathbf{T} benutzt.^{[L 6]}

Komponenten der Divergenz eines Tensors

Divergenz eines Tensors in kartesischen Koordinaten

Für einen Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle\mathbf{T} =\sum_{i,j=1}^3T_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j ergibt sich bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 eines kartesischen Koordinatensystems mit x-, y- und z-Koordinaten, die gemäß dem Schema x → 1, y → 2 und z → 3 nummeriert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\mathbf{T} =\sum_{k=1}^3 \frac{\part\mathbf T}{\part x_k}\cdot\hat e_k =\sum_{i,k=1}^3\frac{\part T_{ik}}{\part x_k}\hat e_i =\begin{pmatrix} \frac{\partial T_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial T_{xy}}{\partial y} +\frac{\partial T_{xz}}{\partial z}\\ \frac{\partial T_{yx}}{\partial x} +\frac{\partial T_{yy}}{\partial y} +\frac{\partial T_{yz}}{\partial z}\\ \frac{\partial T_{zx}}{\partial x} +\frac{\partial T_{zy}}{\partial y} +\frac{\partial T_{zz}}{\partial z} \end{pmatrix}

Die transponierte Version Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\cdot\mathbf{T}=\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\right) ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Divergenz eines Tensors in Zylinderkoordinaten

In Zylinderkoordinaten mit Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_\rho=\begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ 0\end{pmatrix}, \quad \hat{e}_\varphi=\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi)\\0\end{pmatrix}, \quad \hat{e}_z=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}

ergibt sich die Divergenz für Tensoren zweiter Stufe zu

$ {\begin{aligned}\mathrm {div} (\mathbf {T} )=&\left(T_{\rho \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\rho \varphi ,\varphi }+T_{\rho \rho }-T_{\varphi \varphi })+T_{\rho z,z}\right){\hat {e}}_{\rho }\\&+\left(T_{\varphi \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\varphi \varphi ,\varphi }+T_{\rho \varphi }+T_{\varphi \rho })+T_{\varphi z,z}\right){\hat {e}}_{\varphi }\\&+\left(T_{z\rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{z\varphi ,\varphi }+T_{z\rho })+T_{zz,z}\right){\hat {e}}_{z}\end{aligned}} $

Ein Index hinter einem Komma bezeichnet hier die Ableitung nach der Koordinate: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_{\rho\varphi,\varphi}=\tfrac{\partial T_{\rho\varphi}}{\partial\varphi} . Die transponierte Version Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\cdot\mathbf{T}=\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\right) ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Divergenz eines Tensors in Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten mit Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_r=\begin{pmatrix} \sin(\vartheta)\cos(\varphi)\\ \sin(\vartheta)\sin(\varphi)\\ \cos(\vartheta) \end{pmatrix}, \quad \hat{e}_\vartheta=\begin{pmatrix} \cos(\vartheta)\cos(\varphi)\\ \cos(\vartheta)\sin(\varphi)\\ -\sin(\vartheta) \end{pmatrix}, \quad \hat{e}_\varphi=\begin{pmatrix} -\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi)\\ 0 \end{pmatrix}

ergibt sich die Divergenz für Tensoren zweiter Stufe zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{div}(\mathbf{T}) =& \left( T_{rr,r}+\frac{2T_{rr}-T_{\vartheta\vartheta}-T_{\varphi\varphi} +T_{r\vartheta,\vartheta}}{r} +\frac{T_{r\varphi,\varphi}+T_{r\vartheta}\cos(\vartheta)}{r\sin(\vartheta)} \right)\hat{e}_r \\& \left( T_{\vartheta r,r}+\frac{2T_{\vartheta r}+T_{r\vartheta}+T_{\vartheta\vartheta,\vartheta}}{r}+\frac{(T_{\vartheta\vartheta}-T_{\varphi\varphi})\cos(\vartheta)+T_{\vartheta\varphi,\varphi}}{r\sin(\vartheta)} \right)\hat{e}_\vartheta \\& \left( T_{\varphi r,r}+\frac{2T_{\varphi r}+T_{r\varphi}+T_{\varphi\vartheta,\vartheta}}{r}+\frac{(T_{\vartheta\varphi}+T_{\varphi\vartheta})\cos(\vartheta)+T_{\varphi\varphi,\varphi}}{r\sin(\vartheta)} \right)\hat{e}_\varphi \end{align}

Ein Index hinter einem Komma bezeichnet hier die Ableitung nach der Koordinate: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_{\varphi r,r}=\tfrac{\partial T_{\varphi r}}{\partial r} . Die transponierte Version Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\cdot\mathbf{T}=\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\right) ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Eigenschaften

Im n-dimensionalen Raum

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c \in \R eine Konstante, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Omega \subset \R^n eine offene Teilmenge, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u \colon \Omega \to \R ein skalares Feld, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F}, \vec{G} \colon \Omega \to \R^n zwei Vektorfelder und T ein tensorielles Feld. Dann gelten folgende Regeln:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \operatorname{div}(u\mathbf{T}) &=& (u_{,i}\mathbf{T}+u\mathbf{T}_{,i})\cdot\hat{e}_i &=&\mathbf{T}\cdot\operatorname{grad}(u) + u\operatorname{div}\mathbf{T} \\ \operatorname{div}(\mathbf{T}\cdot\vec{F}) &=& \left(\mathbf{T}_{,i}\cdot\vec{F}+\mathbf{T}\cdot\vec{F}_{,i}\right)\cdot\hat{e}_i &=& \operatorname{div}(\mathbf{T}^\top)\cdot\vec{F}+\mathbf{T}^\top:\operatorname{grad}\vec{F} \\ \operatorname{div}(\vec{F}\otimes\vec{G}) &=& \left(\vec{F}_{,i}\otimes\vec{G}+\vec{F}\otimes\vec{G}_{,i}\right)\cdot\hat{e}_i &=& \operatorname{grad}(\vec{F})\cdot\vec{G}+\operatorname{div}(\vec{G})\vec{F} \end{array}

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot, : das Frobenius-Skalarprodukt für Vektoren bzw. Tensoren und eine Ableitung nach der Koordinate x_i in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_i wird mit einem Index _,i abgekürzt, über den des Weiteren oben von eins bis drei zu summieren ist (Einsteinsche Summenkonvention).

Im dreidimensionalen Raum

Für die Herleitung des zweiten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetzes, das die Erhaltung des Drehimpulses in einem Kontinuum sicherstellt, wird die Produktregel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{div}(\vec{f}\times\mathbf{T})=& (\vec{f}_{,i}\times\mathbf{T}+\vec{f}\times\mathbf{T}_{,i})\cdot\hat e_i = \vec{\mathrm i}\left(\mathrm{grad}(\vec{f})\cdot\mathbf{T}^\top\right) +\vec{f}\times\mathrm{div}(\mathbf{T}) \end{align}

gebraucht. Darin sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F} ein vektorielles und T ein tensorielles, differenzierbares Feld und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm i} bildet die Vektorinvariante.

Gaußscher Integralsatz

Dieser Integralsatz wird in der Kontinuumsmechanik auch für Tensorfelder, z. B. von Spannungstensoren $ {\boldsymbol {\sigma }} $, benötigt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \iiint\limits_V \operatorname{div} \boldsymbol{\sigma}\; \mathrm{d}V = \iint\limits_{\partial V} \boldsymbol{\sigma}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S = \iint\limits_{\partial V} \vec{t}\,\mathrm{d}S\,.

Der vom symmetrischen Spannungstensor transformierte Normalenvektor an die Fläche ist nach dem Cauchy’schen Fundamentaltheorem der auf der Fläche wirkende Spannungsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{t} (ein Vektor mit der Dimension Kraft pro Fläche). Diese Gleichung ist im Fall ihres Verschwindens bereits die Impulsbilanz deformierbarer Körper im statischen Fall in Abwesenheit einer Volumenkraft.

Expansionsrate

Die Divergenz eines Vektorfeldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} lautet in diesem Formalismus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\,\vec{v} = \operatorname{Sp}(\operatorname{grad}\,\vec{v}) \quad\leftrightarrow\quad \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}v_i}{\mathrm{d}x_i} = \operatorname{Sp}\left(\sum_{i,j=1}^n\frac{\mathrm{d}v_i}{\mathrm{d}x_j}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\right) \,.

Ist speziell Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v(\vec{x},t)=\dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) das Geschwindigkeitsfeld einer Bewegung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\chi}(\vec{X},t)=\vec{x}\in v (Bildraum) von Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}\in V aus einem zeitunabhängigen Volumen V (Urbildraum), siehe Bild, dann ist der Gradient des Vektorfeldes der Geschwindigkeitsgradient l

$ \operatorname {div} \,{\vec {v}}=\operatorname {Sp} (\operatorname {grad} \,{\vec {v}})=\operatorname {Sp} (\mathbf {l} )=\operatorname {Sp} ({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1})\,, $

der mit der Zeitableitung des Deformationsgradienten F und seiner Inversen zusammenhängt. Die Determinante des Deformationsgradienten transformiert die Volumenformen (rot im Bild) ineinander:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}v = \operatorname{det}(\mathbf{F})\,\mathrm{d}V\,.

Zeitableitung dieser Gleichung ergibt mit dem Frobenius-Skalarprodukt „:“ (siehe Ableitungen der Hauptinvarianten)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathrm{d}v)\dot{} = \operatorname{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{\top-1}:\dot{\mathbf{F}}\,\mathrm{d}V = \operatorname{Sp}(\mathbf{F}^{-1}\cdot\dot{\mathbf{F}})\,\mathrm{d}v = \operatorname{Sp}(\mathbf{l})\,\mathrm{d}v = \operatorname{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}v\,,

denn die Volumenform im Urbildraum ist nicht von der Zeit abhängig. Wenn die Divergenz verschwindet, dann ist die Bewegung lokal volumenerhaltend. Eine positive Divergenz bedeutet Expansion, was in der Realität mit einer Abnahme der Dichte einhergeht.

Weblinks

• Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? – Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten. In: matheplanet.com.

Siehe auch

• Formelsammlung Tensoranalysis mit Formeln zur Divergenz von Vektoren und Tensoren.

Einzelnachweise

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5
• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• L. P. Kuptsov: Divergence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).