Helmholtz-Gleichung

Die Helmholtz-Gleichung (nach Hermann von Helmholtz)^[1] ist eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet:

$ \Delta \varphi =\lambda \cdot \varphi $

in einem Gebiet $ \Omega $ mit vorgegebenen Randbedingungen auf dem Rand $ \partial \Omega $. Dabei ist $ \Delta $ der Laplace-Operator, $ \varphi $ die Lösungsfunktion (Eigenfunktion) und $ \lambda $ der Eigenwert. Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten Eigenwertproblem. In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehörigen Eigenfunktionen gelöst. Im Spezialfall kartesischer Koordinaten $ x_{k} $ mit dem Index $ k=1,2,\dotsc ,n $ und der Anzahl der (räumlichen) Dimensionen $ n $ besitzt der Laplace-Operator die Gestalt

$ \Delta =\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}} $.

Die Helmholtz-Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung (PDGL) zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL. Sie ergibt sich auch z. B. aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen und Annahme harmonischer Zeitabhängigkeit. Im eindimensionalen Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n = 1 ist die Gleichung vom Typ einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

In Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda=0 reduziert sich die Gleichung zur Laplace-Gleichung. Wird die rechte Seite der Gleichung durch eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta ersetzt, so wird die resultierende Gleichung, eine Poisson-Gleichung, inhomogen.

Beispiel: Partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen mit Strömen und Ladungen). Aus diesen folgen in Gaußschen Einheiten mit der Lorenz-Eichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t}=0

die inhomogenen Wellengleichungen für das elektrische Skalarpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi sowie für das magnetische Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A} :

$ \Delta \Phi ({\vec {r}},t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}=-4\pi \varrho ({\vec {r}},t) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta A_i(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_i(\vec{r},t)}{\partial t^2}=-\frac{4\pi}{c} j_i(\vec{r},t)

(hier für die einzelnen Komponenten mit: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A}=\sum_{i=1}^3 A_i\hat{e}_i )

Exemplarisch wird nun die Lösung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi durchgeführt, die Herleitung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A} geht analog.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi = \Phi_\mathrm{hom.} + \Phi_\mathrm{part.}

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung.

Um die Wellengleichung auf die Helmholtz-Gleichung zurückzuführen, betrachten wir die Fourier-Transformation von $ \Phi $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varrho bezüglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}

$ \varrho ({\vec {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int d\omega \,\varrho _{\omega }({\vec {r}})e^{-i\omega t} $

Einsetzen in die Wellengleichung liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\int d\omega\,\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial^2 t}\right)\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\int d\omega\,\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}

Beide Integranden müssen gleich sein, da die Fourier-Transformation bijektiv ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=-4\pi\varrho_\omega(\vec{r})

Für die homogene Wellengleichung $ \left(\varrho ({\vec {r}},t)=0\right) $ erkennen wir mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=0 die Helmholtz-Gleichung wieder.

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\varrho(\vec{r},t) \neq 0\right) kann eine Greensche Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(\vec{r},\vec{r}') verwendet werden, welche die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)G(\vec{r},\vec{r}')=-4\pi\delta(\vec{r}-\vec{r}')

erfüllt.

Diese lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(\vec{r},\vec{r}')=\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

Physikalisch beschreibt diese Funktion eine Kugelwelle.

Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_\omega(\vec{r})=\int d^3r'\,\varrho_\omega(\vec{r}')G(\vec{r},\vec{r}')=\int d^3r'\,\varrho_\omega(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fourierdarstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec{r},t) ein und erhalten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \Phi(\vec{r},t) & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \varrho_\omega(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}e^{-i\omega t} \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \frac{\varrho_\omega(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\exp\left(-i\omega (\mp|\vec{r}-\vec{r}'|/c+ t)\right) \end{align}

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t':= t \mp |\vec{r}-\vec{r}'|/c folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \frac{\varrho_\omega(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\exp(-i\omega t') =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d^3r'\,\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}')e^{-i\omega t'}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\Phi(\vec{r},t)=\int d^3r'\,\frac{\varrho(\vec{r}',t')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_i folgt analog:

$ A_{i}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c}}\int d^{3}r'\,{\frac {j_{i}({\vec {r}}',t')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{1}{c}\int d^3r'\,\frac{\vec{j}(\vec{r}',t')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}

Die physikalische Bedeutung ist, dass das zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r} beobachtete Potential von Ladungen bzw. Strömen zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t' am Ort $ {\vec {r}}' $ verursacht wurde.

Diskussion: Retardierte und avancierte Lösung

Noch steht das Vorzeichen im Argument Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c nicht fest. Physikalisch scheint aber plausibel, dass die zeitliche Änderung einer Ladungsverteilung bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}' erst zu einem späteren Zeitpunkt bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r} beobachtet werden kann, da sich elektromagnetische Wellen mit der (konstanten) Lichtgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c ausbreiten. Daher wählen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Lösung:

$ \Phi ({\vec {r}},t)_{\mathrm {ret.} }=\int d^{3}r'\,{\frac {\varrho ({\vec {r}}',t-|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|/c)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}} $

Man nennt das Potential bei Wahl des Minuszeichens auch retardiertes Potential. Wählt man das Pluszeichen, so spricht man vom avancierten Potential.

Siehe auch

• Bessel-Strahl

Literatur

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik I (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band XII). Julius Springer, Berlin 1924 (450 S., online).  Siehe Kapitel V Schwingungen und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik ab S. 221. Der hier behandelte Gleichungstyp wird explizit u. a. im Abschnitt § 7 dieses Kapitels unter der Überschrift Die schwingende Membran ab S. 245 behandelt. Der Name Helmholtz-Gleichung tritt nicht auf.

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik II (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band XLVIII). Julius Springer, Berlin 1937 (549 S., online).  In diesem Band werden praktische Lösungsmethoden von Gleichungen auch dieses Typs erläutert. Insbesondere sei auf das Kapitel VII Lösungen der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung ab S. 471 verwiesen.

Weblinks

• Helmholtzgleichung bei Wolfram MathWorld (engl.)

Anmerkung