Die frei bewegliche Kette (englisch freely jointed chain oder ideal chain, auch Gaußkette oder ideales Knäuel) ist das einfachste Modell, womit ein Polymer beschrieben werden kann.[1][2] Das Modell vernachlässigt Wechselwirkungen zwischen den Monomeren, sodass diese beliebig um ihre beiden Enden rotieren können, was mathematisch einem Random Walk entspricht.[3] Eine Verbesserung stellt das Modell der wurmartigen Kette dar, bei dem die Monomere Einschränkungen in ihrer Beweglichkeit unterliegen, so dass auch Polymere mit Steifigkeit beschrieben werden können.
Ein Polymer wird in diesem Modell als eine Kette von $ N $ steifen Stücken der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l , der sogenannten Kuhn-Länge, dargestellt – die maximale Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L ist somit durch
gegeben. Die Teilstücke sind frei beweglich, vergleichbar mit einem Scharnier (hier allerdings dreidimensional). Es ergibt sich dadurch ein Random Walk mit der Schrittlänge $ l $ und der Schrittzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N . Für große Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N gilt der zentrale Grenzwertsatz.
In diesem Ansatz werden keine Wechselwirkungen zwischen den Monomeren angenommen, die Energie des Polymers wird als unabhängig von seiner Form angenommen. Das bedeutet, im thermodynamischen Gleichgewicht sind alle denkbaren Konfigurationen gleich wahrscheinlich, das Polymer durchläuft sie alle im Laufe der Zeit – die Fluktuationen werden durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschrieben.
Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec R der End-zu-End-Vektor der idealen Kette und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r_1,\ldots ,\vec r_N die Vektoren zu einzelnen Monomeren. Diese zufallsverteilten Vektoren haben drei Komponenten in x-, y- und z-Richtung. Wir nehmen an, die Zahl der Monomere N sei groß, so dass der Zentrale Grenzwertsatz gilt. Die Abbildung unten zeigt die Skizze einer kurzen idealen Kette:
Die Enden der Kette fallen nicht zusammen, aber da sie frei fluktuieren gilt natürlich für den Mittelwert (Erwartungswert):
Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r_1,\ldots ,\vec r_N statistisch unabhängig sind, folgt aus dem Zentralen Grenzwertsatz, dass $ {\vec {R}} $ normalverteilt sind: genauer gesagt folgen in 3D Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_x, R_y, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_z gemäß einer Normalverteilung des Mittelwertes 0 mit Varianz:
Zur Charakterisierung einer Frei beweglichen Kette wird häufig das mittlere Quadrat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle R^2 \rangle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec R verwendet:
Die Kraft-Abstandskurve der frei beweglichen Kette ist:
wobei f die Kraft ist, l die Bindungslänge, N die Zahl der Monomere in der Kette (mit N-1 Bindungen), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L}^{-1} die inverse Langevin-Funktion, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_{B} die Boltzmann-Konstante, T die Temperatur und R der Ende-zu-Ende-Abstand.
