Mittlere Bewegung

Mittlere Bewegung

Version vom 9. August 2019, 16:32 Uhr von imported>PerfektesChaos (tk k)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)

Die mittlere Bewegung oder mittlere tägliche Bewegung n ist die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit eines Objekts auf einer elliptischen Umlaufbahn und wird häufig als eines der Bahnelemente oder Satellitenbahnelemente angegeben.

Objekte im Sonnensystem und Künstliche Satelliten im Erdorbit bewegen sich auf einer elliptischen Umlaufbahn um das Schwerezentrum z. B. der Erde. Während eines Umlaufes variiert wegen der Erhaltung des Drehimpulses die Geschwindigkeit.

Die mittlere Bewegung ist die Winkelgeschwindigkeit eines theoretischen Objektes auf dem Hilfskreis der Satellitenellipse, entspricht aber nicht der mittleren Anomalie nach Kepler, die auf den Perizentrumsdurchgang bezogen ist, sondern bezieht sich auf einen Beobachter auf dem Äquator, also die Uhrzeit. Sie wird in d−1 beziehungsweise rad/d angeben.

Herleitung

Um die mittlere Bewegung zu erhalten, misst man die Zeit, die der Satellit für eine Umrundung der Erde benötigt.

Es gilt:

$ n={\frac {2\pi }{T}} $
mitT = Umlaufzeit

Berechnung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n = \sqrt{\frac{G \cdot M}{a^3}}\,\!

Die Einheit ist rad/s.

G = Gravitationskonstante
M = Masse des umkreisten Objekts
a = große Halbachse

Umrechnungen

Ist n gegeben, kennt man T und die große Halbachse a. Wenn auch die numerische Exzentrizität ε bekannt ist, folgt:

Umlaufzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T=\frac{2\pi}{n} (1)
große Halbachse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=\sqrt[3]{\mu\cdot\frac{T^2}{4\pi^2}} (2)
kleine Halbachse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b=\sqrt{a^2-(\varepsilon\cdot a)^2} (3)
Abstand des Perigäums $ r_{\mathrm {Peri} }=a\cdot (1-\varepsilon ) $ (4)
Abstand des Apogäums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r_\mathrm{Apo} = a\cdot(1+\varepsilon) (5)

Beispiel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n = \frac{2 \pi}{T}

Die Internationale Raumstation ISS hat eine Umlaufzeit von rund 91 Minuten.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n = \frac{2 \pi}{91\,\mathrm{min}} \approx 1{,}15 \cdot 10^{-3}\, \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

oder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \!\ n = \sqrt{\frac{G \cdot M}{a^3}}

Die große Halbachse der ISS-Bahn hat eine Länge von rund 6.720 km (Erdradius + Orbithöhe).

$ \!\ G\cdot M=398200\,\mathrm {km} ^{3}/\mathrm {s} ^{2} $ (Gravitationskonstante × Masse der Erde)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n = \sqrt {\frac{398200\, \frac{\mathrm{km}^3}{\mathrm{s}^2}}{(6720\,\mathrm{km})^3}} \approx 1{,}15 \cdot 10^{-3} \,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

Siehe auch

Literatur

  • Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2000, ISBN 3-8274-0574-2, S. 143, 183.