Als Satz von König (nach Johann Samuel König) bezeichnet man in der Mechanik zwei miteinander verwandte Aussagen über den Drehimpuls (1. Satz von König) bzw. die kinetische Energie (2. Satz von König) eines Systems von Massenpunkten, die diese beiden Größen auf eine physikalisch leicht interpretierbare Art ausdrücken.
In beiden Aussagen macht man sich ein spezielles Bezugssystem zunutze: das Schwerpunktsystem, das wir mit (R*) bezeichnen. Dagegen sei mit (R) das Koordinatensystem unserer Wahl bezeichnet, von dem wir ausgehen. (R) kann ein Inertialsystem sein oder auch nicht.
Nach Definition ist (R*) das Koordinatensystem, das aus (R) durch eine Translation hervorgeht, so dass der Gesamtimpuls $ {\vec {P^{*}}} $ des betrachteten Systems von Massenpunkten in (R*) verschwindet. Dies ist die allgemeine Definition, die auch im relativistischen Fall gültig bleibt.
In der Newtonschen Mechanik lässt sich der Gesamtimpuls $ {\vec {P}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v_{M_{i}}}} $ bekanntlich leicht mit Hilfe der Bewegung des Schwerpunktes G ausdrücken: $ {\vec {P}}=M{\vec {v_{G}}} $ mit der Gesamtmasse $ M\equiv \sum _{i}m_{i} $. Im Schwerpunktsystem ist also $ {\vec {v_{G}^{*}}}={\vec {0}} $, und hieraus ergibt sich die andere übliche Definition von (R*): (R*) ist das Koordinatensystem, in dem der Schwerpunkt G ruht und das aus (R) durch eine Translationsbewegung hervorgeht.
Bemerkung: (R*) ist ein Inertialsystem genau dann, wenn bereits (R) ein Inertialsystem ist.
Sei $ {\vec {L_{O}}} $ der Drehimpuls bezüglich des Punktes O und $ {\vec {L_{O'}}} $ der Drehimpuls bezüglich des Punktes O'. Dann gilt ganz allgemein: $ {\vec {L_{O}}}={\vec {L_{O'}}}+{\vec {OO'}}\times {\vec {P}} $. Da aber nach Definition in (R*) $ {\vec {P^{*}}}={\vec {0}} $, ist der Drehimpuls des Systems in (R*) unabhängig vom Bezugspunkt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L_{O}^{*}}=\vec{L_{O'}^{*}}=\vec{L^{*}}
.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L^{*}}
wird auch Eigendrehimpuls oder innerer Drehimpuls des Systems genannt.
Andererseits gilt nach der allgemeinen Formel für den Gesamtdrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L_{G}}=\sum_{i} \left (\vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}}\right )
, aber (Addition der Geschwindigkeiten) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}
, weshalb:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L_{G}}=\left (\sum_{i} m_{i}\vec{GM_{i}}\right )\times \vec{v_{G}}+\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )
.
Aber nach der Definition des Schwerpunktes: $ \left(\sum _{i}m_{i}{\vec {GM_{i}}}\right)={\vec {0}} $, und da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\equiv \vec{L^{*}}
, erhält man die folgende fundamentale Eigenschaft:
.
Schließlich kann man in (R*) die innere kinetische Energie des Systems definieren: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{k}^{*}\equiv \frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2} .
Aussage: Mit den obigen Bezeichnungen gilt:
Physikalische Interpretation: Der Drehimpuls des Systems bezüglich eines Punktes O ist die Summe zweier Terme:
Beweis: Aus dem allgemeinen Ausdruck für den Drehimpuls bezüglich des Punktes O im Bezugssystem (R): Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}}\right ) und aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}} (Addition der Geschwindigkeiten) folgt:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\times m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}\right )\right )=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )\times \vec{v_{G}} . Nun ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L^{*}}\equiv \sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right ) und nach Definition des Schwerpunktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )=M\vec{OG} , also folgt (1).
Aussage: Mit den obigen Bezeichnungen gilt:
Physikalische Interpretation: Die kinetische Energie des Systems ist die Summe zweier Terme:
Beweis: Wie eben: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}} . Wenn man das in den allgemeinen Ausdruck für die kinetische Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{k} = \sum_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2} eines Systems einsetzt, erhält man:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{k}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}\right )^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\cdot\vec{v_{G}}+\frac{1}{2}\left (\sum_{i} m_{i}\right )v_{G}^{2}
,
Der erste Term der rechten Seite ist nichts anderes als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{k}^{*}
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M\equiv \sum_{i} m_{i}
ist die Gesamtmasse, und nach Definition von (R*) ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{P^{*}}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}=\vec{0}
, also folgt (2).
Die beiden Sätze von König gelten, egal ob das System deformierbar ist oder nicht. Sie werden häufig im besonders wichtigen Fall des starren Körpers angewendet.