Hamilton-Funktion

Die Hamilton-Funktion $\mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$ (auch Hamiltonian, nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion, die, wenn keine rheonomen, also zeitabhängigen, Zwangsbedingungen vorliegen, mit der Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen korrespondiert. Einfach ausgedrückt:

Die Hamilton-Funktion $\mathcal{H}(q,p,t)$ eines Systems von Teilchen ist i. d. R. ihre Energie als Funktion des Phasenraumes. Sie hängt also von den (verallgemeinerten) Ortskoordinaten $q=(q_1,q_2,\dots ,q_n)$ und von den (verallgemeinerten) Impulskoordinaten $p=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ der Teilchen ab und kann auch von der Zeit $t$ abhängen.

Definition

Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

$\mathcal{H}(q,p,t):=\left\{\sum _{i=1}^n{\dot{q}}_i{p}_i\right\}-\mathcal{L}(q,\dot{q},t),\text{ mit }\dot{q}=\dot{q}(q,p,t)$

und hängt ab von

• der Zeit $t$,
• den generalisierten Koordinaten $q=(q_1,q_2,\dots ,q_n)$ und
• den generalisierten Impulsen $p=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$.

Sie geht hervor aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion $\mathcal{L}(t,q,\dot{q})$ bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten $\dot{q}=({\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n)$ abhängt:

$\mathcal{H}(t,q,p)=\left\{\sum _{i=1}^n{\dot{q}}_i{p}_i\right\}-\mathcal{L}(t,q,\dot{q})$

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten $\dot{q}$ diejenigen Funktionen

$\dot{q}(t,q,p)$

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

$p_i:=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{q}}_i}$

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Eigenschaften

Ableitung

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

$\mathrm{d}\mathcal{H}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i+\sum _{i=1}^n\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}\mathrm{d}{p}_i+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}\mathrm{d}t$

Aufgrund der Produktregel erhält man

$\mathrm{d}\mathcal{H}=\sum _{i=1}^n(p_i\mathrm{d}{\dot{q}}_i+{\dot{q}}_i\mathrm{d}{p}_i-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{q}}_i}\mathrm{d}{\dot{q}}_i)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t,$

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{q}}_i}=p_i$ die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

$\mathrm{d}\mathcal{H}=\sum _{i=1}^n({\dot{q}}_i\mathrm{d}{p}_i-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t$

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}={\dot{q}}_i$

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=-{\dot{p}}_i$

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}$

Erhaltungsgröße

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathcal{H}}{\mathrm{d}t}& =\sum _{i=1}^f(\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}{\dot{p}}_i+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}{\dot{q}}_i)+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}\\ & =\sum _{i=1}^f({\dot{q}}_i{\dot{p}}_i-{\dot{p}}_i{\dot{q}}_i)+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}\\ & =\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}\end{array}$

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit $t$ abhängt, ist ihr Wert eine Erhaltungsgröße:

$\mathcal{H}\ne \mathcal{H}(t)\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathcal{H}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0\Rightarrow \mathcal{H}=konst.$

Implikationen

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und -impulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

${\dot{q}}_k=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}$

${\dot{p}}_k=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}$

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für $\mathcal{H}(t,q,p)$ als Funktion von Operatoren $q$ und $p$ liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Beispiele

Massenpunkt

Bei einem Teilchen der Masse $m$, das sich nichtrelativistisch in einem Potential $V$ bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

$\mathcal{H}(t,\mathbf{q},\mathbf{p})=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\mathbf{q})$

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

$E^2-{\mathbf{p}}^2{c}^2=m^2{c}^4$

gilt für die Hamilton-Funktion

$\mathcal{H}(t,\mathbf{q},\mathbf{p})=\sqrt{m^2{c}^4+{\mathbf{p}}^2{c}^2}.$

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

$\mathcal{L}=-m{c}^2\sqrt{1-{\dot{\mathbf{q}}}^2/c^2}$

hängt der generalisierte Impuls $p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}$ gemäß

$\mathbf{p}=\frac{m\dot{\mathbf{q}}}{\sqrt{1-{\dot{\mathbf{q}}}^2/c^2}}$

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

$\dot{\mathbf{q}}=\frac{\mathbf{p}{c}^2}{\sqrt{m^2{c}^4+{\mathbf{p}}^2{c}^2}}$

des Impulses.

Harmonischer Oszillator

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch:

$\mathcal{H}(x,p)=\dot{x}p-\mathcal{L}(x,\dot{x})=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}{\omega }_0^2{x}^2=T+V=E$

Literatur

• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5. 

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2. Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.