Reluktanzkraft

Die Reluktanzkraft oder auch Maxwellsche Kraft entsteht aufgrund der Änderung des magnetischen Widerstands, der auch als Reluktanz bezeichnet wird. Sie wirkt immer so, dass sich der magnetische Widerstand verringert und die Induktivität steigt und ist der Magnetostatik zuzurechnen. Diese Eigenschaft wird bei einigen Typen von elektrischen Maschinen benutzt, zum Beispiel bei geschalteten Reluktanzmaschinen, Transversalflussmaschinen, dem Synchron-Reluktanzmotor oder elektromagnetischen Lagern.

Eine verwandte Kraft ist die Lorentzkraft, welche die Kraftwirkung auf eine bewegte elektrische Ladung in einem äußeren elektromagnetischen Feld beschreibt.

Beweglicher Kern

Die Kraft kann aus der Energieänderung, die sich aus einer infinitesimalen Verschiebung ergibt, hergeleitet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_R = \frac{dW}{dx} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W = \frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot L \Rightarrow F_R = \frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot \frac{d L(x)}{dx} .

Die Induktivität eines magnetischen Kreises mit Luftspalt ist gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L= \frac{N^2}{R_{m,\text{Kern}}+R_{m,\text{Luft}}}\approx \frac{N^2}{R_{m,\text{Luft}}} = N^2 \cdot \frac {\mu_0\cdot A}{l_\text{Luft}}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N die Anzahl der Windungen, wobei für die Näherung der magnetische Widerstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{m} des Kerns gegenüber dem Luftspalt vernachlässigt wird. Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l_\text{Luft} die Summe der Breite beider Spalten.

Die (idealisierte) Fläche, die für den magnetischen Kreis zur Verfügung steht, ergibt sich zu

$ A=(x_{0}-|x|)\cdot y_{0}\ =x_{0}\cdot y_{0}-|x|\cdot y_{0}\ ;\ {\frac {dA}{d|x|}}=\left\{{\begin{matrix}-y_{0},\quad {\text{wenn }}|x|>0\\0,\quad {\text{wenn }}x=0\end{matrix}}\right. $

Dabei ist die Richtung der Auslenkung x unerheblich, daher die Betragsstriche. Die Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y_0 bezeichnet die Tiefe.

Einsetzen liefert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{dL}{d|x|}= N^2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{1}{l_\text{Luft}} \frac{dA}{d|x|}=- N^2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{ y_0}{l_\text{Luft}}

so dass auf den beweglichen Teil des ausgelenkten Kerns eine Kraft

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_R = - \frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot N^2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{y_0}{ l_\text{Luft}}

wirkt, die ihn zur Mitte hin zieht. Diese ist unabhängig von der Größe der Auslenkung, außer natürlich, wenn die obige Ableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{dA}{d|x|} = - y_0 ihre Gültigkeit verliert. Dies ist der Fall, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x| zu groß wird.

Luftspalt

Analog zu oben gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_R = \frac{dW}{dl_\text{Luft}}=\frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot \frac{dL(l_\text{Luft})}{dl_\text{Luft}} .

Für die Induktivität gilt auch hier näherungsweise

$ L\approx {\frac {N^{2}}{R_{m,{\text{Luft}}}}}=N^{2}\cdot A\cdot \mu _{0}\cdot {\frac {1}{l_{\text{Luft}}}} $.

Mit der Potenzregel erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{dL}{dl_\text{Luft}} = N^2 \cdot A \cdot \mu_0 \cdot \frac{-1}{{l_\text{Luft}}^2} .

Einsetzen in die Formel für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_R liefert das Ergebnis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_R = -\frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot N^2 \cdot A \cdot \mu_0 \cdot \frac{1}{{l_\text{Luft}}^2} .

Da bei einer Verkleinerung des Luftspalts die Induktivität steigt, wirkt die Reluktanzkraft in diese Richtung. Die Kraft nimmt mit der Breite des Luftspalts ab. Das Maximum der Reluktanzkraft ist erreicht, wenn der Luftspalt gegen null geht. Allerdings gilt bei sehr kleinem Luftspalt die Näherungsformel für die Induktivität nicht mehr, da dann der magnetische Widerstand des Kerns nicht mehr vernachlässigt werden kann.

Literatur

• Hans-Dieter Stölting, Eberhard Kallenbach (Hrsg.): Handbuch Elektrische Kleinantriebe. 3. Auflage. Hanser, ISBN 3-446-40019-2, S. 460. 

Weblinks

• Maxwellkraft auf www.energie.ch