Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung (mit englischer Transkription im Deutschen gelegentlich auch Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung genannt) beschreibt in der Elektrodynamik das Verhalten der magnetischen Momente eines ferromagnetischen Materials in einem effektiven magnetischen Feld $ {\textbf {H}}_{\mathrm {eff} } $. Benannt ist sie nach Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz^[1] und T. L. Gilbert. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung, aus der allerdings durch Berücksichtigung der nichtlokalen Natur dieses Effektivfeldes bezüglich der Wechselwirkung der Magnetisierungsdipole eine komplizierte Integro-Differentialgleichung entsteht.

Landau-Lifschitz-Gleichung

Die ursprüngliche Landau-Lifschitz-Gleichung wurde im Jahr 1935 aufgestellt. Sie beschreibt sowohl die Präzession der Magnetisierung $ {\textbf {M}} $ ^[2] als auch die auftretende Dissipation. $ \mathrm {M} _{S} $ ist der konstante Betrag des Vektors $ {\textbf {M}}\,, $ die sogenannte „Sättigungsmagnetisierung“.

$ {\frac {\partial {\textbf {M}}}{\partial t}}=-\gamma {\textbf {M}}\times {\textbf {H}}_{\mathrm {eff} }-{\frac {\lambda }{\mathrm {M} _{S}}}{\textbf {M}}\times ({\textbf {M}}\times {\textbf {H}}_{\mathrm {eff} }) $

mit dem gyromagnetischen Verhältnis $ \gamma $ und dem phänomenologischen Dämpfungsparameter $ \lambda $. Jedoch versagt diese Formel für den Fall großer Dämpfung ($ \lambda \rightarrow \infty $).

Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

1955 ersetzte Gilbert den Dämpfungsterm und führte eine Art zähflüssige Kraft ein. Es ergab sich die sog. Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung:

$ {\frac {\partial {\textbf {M}}}{\partial t}}=-{\frac {\gamma }{1+\alpha ^{2}}}{\textbf {M}}\times {\textbf {H}}_{\mathrm {eff} }-{\frac {\gamma \alpha }{(1+\alpha ^{2})\mathrm {M} _{S}}}{\textbf {M}}\times ({\textbf {M}}\times {\textbf {H}}_{\mathrm {eff} })\,, $

die sich in äquivalenter Form auch einfacher schreiben lässt (exakt!):

$ {\frac {\partial {\textbf {m}}}{\partial t}}\,=\,-\gamma _{G}\,{\textbf {m}}\times {\textbf {H}}_{\mathrm {eff} }\,+\,g\,{\textbf {m}}\times {\frac {\partial {\textbf {m}}}{\partial t}}\,, $

mit $ \gamma _{G}={\frac {\gamma }{1+\alpha ^{2}}} $, dem Gilbert-Dämpfungsparameter $ g=|\gamma _{G}|\alpha $ und der Identifikation $ {\textbf {m}}={\frac {\textbf {M}}{\mathrm {M} _{S}}} $ (Einheitsvektor). Man kann zeigen, dass die zuletzt resultierende Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung mit der im vorigen Unterkapitel zitierten originalen Landau-Lifschitz-Gleichung identisch ist, wenn man $ g|\gamma | $ mit λ identifiziert; der entscheidende Unterschied ist aber, außer der größeren formalen Einfachheit, dass in "fits" jetzt nicht $ \gamma $ und $ \lambda \,, $ sondern $ \gamma _{G} $ und $ \alpha $ benutzt werden. Formal wird nur $ \,\gamma {\textbf {H}}_{\mathrm {eff} } $ durch $ \gamma _{G}{\textbf {H}}_{\mathrm {eff} }-{g}\,{\frac {\partial {\textbf {m}}}{\partial t}} $ ersetzt; der letzte Term enthält alle Dämpfungsterme.

Im Gegensatz zur Landau-Lifschitz-Gleichung richtet sich das magnetische Moment nun asymptotisch für $ t\to \infty $ in Richtung des Feldes aus, wobei sich nun wie in der Mechanik beim „gedämpften Oszillator“ ^[3]  die Dämpfung auch auf die Präzessionsfrequenz auswirkt. Für den Fall kleiner Dämpfung geht die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifschitz-Gleichung über.

Das „effektive Feld“

Landau und Lifschitz haben 1935 noch angegeben, wie der Vektor $ {\textbf {H}}_{\mathrm {eff} } $ von allen vier beteiligten Wechselwirkungen (der „magnetischen Austauschenergie“, der „Dipol-Dipol-Energie“, der „Anisotropieenergie“ und der „Zeeman-Energie“) abhängt. Auf Einzelheiten kann hier nicht eingegangen werden.

Spinwellen u. ä.

Eine sog. Spinwelle in einem ferromagnetischen Festkörper

Mit den Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichungen können u.a. auch dynamische Zustände (z. B. Spinwellen, wie im nebenstehenden Bild) realistisch behandelt werden, wobei alle relevanten Geometrien (beispielsweise auch Dünnschicht-Geometrien) und Wechselwirkungen (u.a. auch die sehr langreichweitige magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung) voll berücksichtigt werden können, wenn man bei den Computersimulationen hohen Speicherbedarf und entsprechende Rechenzeiten in Kauf nimmt. ^[4]

Die Dispersionsrelationen in diesen Systemen – das sind die Beziehungen zwischen Frequenz und Wellenlänge der Anregungszustände – sind wegen der hohen Zahl der charakteristischen Längen des Systems und der beteiligten Winkel sehr komplex.

Einzelnachweise und Fußnoten