Multipolentwicklung

Als Multipolentwicklung versteht man die Reihenentwicklung eines Potentials, bei der verschiedene Multipol-Momente auftreten. Man unterscheidet zwischen kartesischer und sphärischer Multipolentwicklung. Multipolentwicklungen spielen insbesondere in der Elektrostatik und der Magnetostatik eine große Rolle, können aber auch auf andere Felder – z. B. bei der Inversion des Schwerefeldes – angewandt werden.

Kartesische Multipolentwicklung

Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird $1/|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|$ in eine Taylorreihe von ${\mathbf{r}}^{\prime }$ um ${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{0}$ entwickelt. Die Multipolentwicklung trennt bei den einzelnen Summanden der Entwicklung den Ort $\mathbf{r}$ und die von der Ladungsverteilung $\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })$ abhängigen Größen (Momente) voneinander.

$\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{({\mathbf{r}}^{\prime }\cdot {\mathrm{\nabla }}_{\overline{\mathbf{r}}})}^n{\frac{1}{|\mathbf{r}-\overline{\mathbf{r}}|}|}_{\overline{\mathbf{r}}=0}$

Dabei bedeutet ${\mathrm{\nabla }}_{\overline{\mathbf{r}}}$, dass der Nablaoperator nur auf $\overline{\mathbf{r}}$ und nicht auf $\mathbf{r}$ wirkt. Nach Bilden der Ableitung ${\mathrm{\nabla }}_{\overline{\mathbf{r}}}^n(1/|\mathbf{r}-\overline{\mathbf{r}}|)$ wird diese an der Stelle $\overline{\mathbf{r}}=0$ ausgewertet. Die Taylorentwicklung lässt sich umformen mittels Substitution $\mathbf{u}=\mathbf{r}-\overline{\mathbf{r}}$ und damit ${\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{u}}=-{\mathrm{\nabla }}_{\overline{\mathbf{r}}}$:

${\mathrm{\nabla }}_{\overline{\mathbf{r}}}^n{\frac{1}{|\mathbf{r}-\overline{\mathbf{r}}|}|}_{\overline{\mathbf{r}}=0}=(-{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{u}}{)}^n{\frac{1}{\left|\mathbf{u}\right|}|}_{\mathbf{u}=\mathbf{r}}=(-{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{r}}{)}^n\frac{1}{\left|\mathbf{r}\right|}=(-\mathrm{\nabla }{)}^n\frac{1}{r}$

Somit vereinfacht sich die Entwicklung zu:

$\begin{array}{rl}\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{(-{\mathbf{r}}^{\prime }\cdot \mathrm{\nabla })}^n\frac{1}{r}\\ & =\frac{1}{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\cdot \mathrm{\nabla }\frac{1}{r}+\frac{1}{2}{\mathbf{r}}^{\prime }\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\nabla }\frac{1}{r}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }+O(r^{\prime 3})\end{array}$

In Komponentenschreibweise lauten die ersten Glieder der Entwicklung (es wird Summenkonvention verwendet):

$\begin{array}{rl}\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}& =\frac{1}{\sqrt{(x_k-x_k^{\prime })(x_k-x_k^{\prime })}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{x_k{x}_k}}-x_i^{\prime }\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{1}{\sqrt{x_k{x}_k}}+\frac{1}{2}{x}_i^{\prime }{x}_j^{\prime }\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}\frac{1}{\sqrt{x_k{x}_k}}+O(x_i^{\prime 3})\end{array}$

Bei der zugrundeliegenden Taylorentwicklung muss beim Summanden n-ter Ordnung ein Tensor n-ter Stufe, nämlich ${\mathrm{\nabla }}^n(1/r)$, berechnet werden. Hierbei ist in erster Ordnung

$\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{1}{\sqrt{x_k{x}_k}}=-\frac{1}{2}\frac{2x_i}{{\sqrt{x_k{x}_k}}^3}=-\frac{x_i}{{\sqrt{x_k{x}_k}}^3}=-\frac{x_i}{r^3}$

$\mathrm{\nabla }\frac{1}{r}=-\frac{\mathbf{r}}{r^3}$

und in zweiter Ordnung

$\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}\frac{1}{\sqrt{x_k{x}_k}}=-\frac{\partial }{\partial x_i}(\frac{1}{{\sqrt{x_k{x}_k}}^3}{x}_j)=-(-\frac{3}{2})\frac{2x_i}{{\sqrt{x_k{x}_k}}^5}{x}_j-\frac{{\delta }_{ij}}{{\sqrt{x_k{x}_k}}^3}=\frac{3x_i{x}_j-x_l{x}_l{\delta }_{ij}}{{\sqrt{x_k{x}_k}}^5}=\frac{3x_i{x}_j-x_l{x}_l{\delta }_{ij}}{r^5}$

$\mathrm{\nabla }\mathrm{\nabla }\frac{1}{r}=-\mathrm{\nabla }\frac{\mathbf{r}}{r^3}=-(\mathbf{r}\mathrm{\nabla }\frac{1}{r^3}+\frac{1}{r^3}\mathrm{\nabla }\mathbf{r})=-\left(-3\frac{\mathbf{r}}{r^5}\right)\mathbf{r}-\frac{1}{r^3}E=3\frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^5}-\frac{r^2}{r^5}E$,

wobei $E$ die Einheitsmatrix und $\mathbf{r}\mathbf{r}$ ein dyadisches Produkt ist.

Damit lassen sich die ersten drei Glieder der Entwicklung schreiben als

$\frac{1}{r}+x_i^{\prime }\frac{x_i}{r^3}+\frac{1}{2}{x}_i^{\prime }{x}_j^{\prime }\frac{3x_i{x}_j-x_l{x}_l{\delta }_{ij}}{r^5}=\frac{1}{r}+\frac{x_i}{r^3}{x}_i^{\prime }+\frac{1}{2}\frac{x_i{x}_j}{r^5}(3x_i^{\prime }{x}_j^{\prime }-x_l^{\prime }{x}_l^{\prime }{\delta }_{ij})$

$\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}}{r^3}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }+\frac{1}{2}{\mathbf{r}}^{\prime }\cdot \left(3\frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^5}-\frac{r^2}{r^5}E\right)\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }=\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}}{r^3}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }+\frac{1}{2}\frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^5}:\left(3{\mathbf{r}}^{\prime }{\mathbf{r}}^{\prime }-r^{\prime 2}E\right)$,

wobei $:$ ein doppeltes inneres Produkt bezeichnet. Zudem wurde $x_i^{\prime }{x}_j^{\prime }{x}_l{x}_l{\delta }_{ij}=x_i^{\prime }{x}_i^{\prime }{x}_l{x}_l=x_l^{\prime }{x}_l^{\prime }{x}_i{x}_i=x_l^{\prime }{x}_l^{\prime }{x}_i{x}_j{\delta }_{ij}=r^{\prime 2}{x}_i{x}_j{\delta }_{ij}$ verwendet.

Einsetzen liefert das Potential (hier das elektrische Potential), wo die Momente direkt abgelesen werden können.

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }\left(\mathbf{r}\right)& =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}[\frac{1}{r}\underset{\text{Monopol-}}{\underbrace{\int \rho ({\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }}}+\frac{x_i}{r^3}\underset{\text{Dipol-}}{\underbrace{\int x_i^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }}}+\frac{1}{2}\frac{x_i{x}_j}{r^5}\underset{\text{Quadrupolmoment}}{\underbrace{\int (3x_i^{\prime }{x}_j^{\prime }-r^{\prime 2}{\delta }_{ij})\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }}}+\dots ]\\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}[\frac{1}{r}\overbrace{\int \rho ({\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }}+\frac{\mathbf{r}}{r^3}\cdot \overbrace{\int {\mathbf{r}}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }}+\frac{1}{2}\frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^5}\overbrace{\int (3{\mathbf{r}}^{\prime }{\mathbf{r}}^{\prime }-r^{\prime 2}E)\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }}+\dots ]\end{array}$

Elektrostatik

Das Elektrostatische Potential lässt sich mit der Ladungsverteilung $\rho (\overrightarrow{r})$ an jedem Ort $\overrightarrow{r}$ über folgende Formel beschreiben:

$\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \int \frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },$

für n einzelne Punktladungen auch durch die Summe der Beiträge der einzelnen Punktladungen:

$\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \sum _i\frac{q_i}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_i|},$

jeweils mit der elektrischen Feldkonstante ${\epsilon }_0.$

Anstatt das Potential durch n einzelne Ladungen $q_i$ und Koordinaten $\overrightarrow{r}$ zu beschreiben, kann man die Multipolentwicklung durchführen:

$\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{Q}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}}{r^3}+\frac{1}{2}\sum _{k,l}{Q}_{kl}\frac{r_k\cdot r_l}{r^5}+\dots ).$

Aus mathematischer Sicht ist diese eine Taylorentwicklung des Faktors $1/|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|$ um ${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{0}$ nach kartesischen Koordinaten (x,y,z).

Ihre Entwicklungskoeffizienten, die Multipolmomente Q, p und $Q_{kl}$, lassen sich auch physikalisch deuten:

• Das Monopolmoment $Q=\sum _{i=1}^n{q}_i$ bzw. $=\int \rho ({\mathbf{r}}^{\prime })\cdot d^3{r}^{\prime }$ für kontinuierliche Ladungsverteilungen

ist ein Skalar und entspricht der Gesamtladung der Ladungsverteilung. Sein Potential

${\mathrm{\Phi }}_{\text{Monopol}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r}$ fällt über dem Abstand am schwächsten (linear) ab und ist daher für große Abstände $\overrightarrow{r}\gg {\overrightarrow{r}}_i$ dominierend.

• Das Dipolmoment $\mathbf{p}=\sum _{i=1}^n{q}_i{\mathbf{r}}_i$ bzw. $=\int \rho ({\mathbf{r}}^{\prime })\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }\cdot d^3{r}^{\prime }$ für kontinuierliche Ladungsverteilungen

ist ein Vektor und tritt auf, wenn Ladungsschwerpunkte nicht mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen (eindrückliches Beispiel: zwei getrennte Ladungen +q und -q). Das Dipolpotential

${\mathrm{\Phi }}_{\text{Dipol}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{r}}{r^3}$ ist schwächer als das Monopolpotential, da es mit dem Abstand quadratisch abfällt.

• Das Quadrupolmoment $Q_{kl}=\sum _{i=1}^n{q}_i(3r_{ik}{r}_{il}-(r_i{)}^2{\delta }_{kl})$ bzw. $Q_{kl}=\int \rho ({\mathbf{r}}^{\prime })\cdot (3r_k^{\prime }{r}_l^{\prime }-(r^{\prime }{)}^2{\delta }_{kl})\cdot d^3{r}^{\prime }$ für kontinuierliche Ladungsverteilungen

ist ein spurfreier symmetrischer Tensor zweiter Stufe (eine Matrix), wobei

• $r_{ik}=\overrightarrow{r}(i)\cdot {\overrightarrow{e}}_k$ mit dem Einheitsvektor ${\overrightarrow{e}}_k$
• ${\delta }_{kl}$ das Kronecker-Delta ist.

• und höhere Multipolmomente (Oktupolmomente usw.).

Sphärische Multipolentwicklung

Das elektrostatische Potential lautet

$\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int d^3{r}^{\prime }\frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$.

Der Abstand lässt sich mittels Skalarprodukt im Nenner umformen zu:

$\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}=\frac{1}{\sqrt{{\mathbf{r}}^2+{\mathbf{r}}^{\prime 2}-2\mathbf{r}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }}}=\frac{1}{\sqrt{r^2+{r^{\prime }}^2-2r{r}^{\prime }\cos \alpha }}=\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{r^{\prime }}{r}\right)}^2-2\frac{r^{\prime }}{r}\cos \alpha }}=\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2yx}}$

Es wurden die Abkürzungen $x=\frac{r^{\prime }}{r}$ und $y=\cos \alpha$ eingeführt. Nun entwickelt man obige Gleichung in eine Taylorreihe um $x=0$:

$\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2yx}}=\frac{1}{r}[\underset{P_0(y)}{\underbrace{1}}+\underset{P_1(y)}{\underbrace{y}}x+\underset{P_2(y)}{\underbrace{(\frac{3}{2}{y}^2-\frac{1}{2})}}{x}^2+\underset{P_3(y)}{\underbrace{(\frac{5}{2}{y}^3-\frac{3}{2}y)}}{x}^3+\dots ]=\frac{1}{r}\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_l(y)x^l$

Dabei wurden die Legendre-Polynome $P_l(y)=P_l(\cos \alpha )$ benutzt. Diese sind für $|x|<1$ definiert als die Entwicklungskoeffizienten der Taylorreihe von $(1+x^2-2yx{)}^{-1/2}$ um $x=0$:

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2yx}}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_l(y)x^l$

Die Entwicklung lautet also:

$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}{}^{\prime }|}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_l(\cos \alpha )\frac{r^{\prime l}}{r^{l+1}}$

Da $\alpha$ der Winkel zwischen $\mathbf{r}=\mathbf{r}(r,\theta ,\phi )$ und ${\mathbf{r}}^{\prime }={\mathbf{r}}^{\prime }(r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$ ist, kann man nun das Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen benutzen, welches durch

$P_l(\cos \alpha )=\frac{4\pi }{2l+1}\sum _{m=-l}^l{Y}_{lm}^{\ast }({\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })Y_{lm}(\theta ,\phi )$

gegeben ist. Eingesetzt ergibt sich für das elektrostatische Potential

$\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l\sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}}{Y}_{lm}(\theta ,\phi )\frac{1}{r^{l+1}}\int d^3{r}^{\prime }\sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}}\rho ({\mathbf{r}}^{\prime }){r^{\prime }}^l{Y}_{lm}^{\ast }({\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$.

Nun wird das sphärische Multipolmoment $q_{lm}$ definiert als

$q_{lm}=\sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}}\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime }){r^{\prime }}^l{Y}_{lm}^{\ast }({\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })=\sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}d{r}^{\prime }{\int }_0^{\pi }d{\theta }^{\prime }{\int }_0^{2\pi }d{\phi }^{\prime }\rho (r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })\sin ({\theta }^{\prime }){r^{\prime }}^{l+2}{Y}_{lm}^{\ast }({\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })$.

Damit ergibt sich für das elektrostatische Potential die sphärische Multipolentwicklung

$\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{\frac{4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^l{Y}_{lm}(\theta ,\phi )\frac{q_{lm}}{r^{l+1}}$.

Elektrostatik

Für die nullte und erste Ordnung der sphärischen Multipolmomente der Elektrostatik werden explizit angegeben ($p_{x,y,z}$ bezeichnet die Komponenten des Dipolmoments, siehe dafür weiter oben, und $Q$ die Gesamtladung der Ladungsverteilung):

$q_{0,0}=\sqrt{\frac{4\pi }{1}}\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })\sqrt{\frac{1}{4\pi }}=\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })=Q$

$q_{1,1}=\sqrt{\frac{4\pi }{3}}\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })r^{\prime }(-\sqrt{\frac{3}{8\pi }})\sin {\theta }^{\prime }{e}^{-i{\phi }^{\prime }}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })r^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }{e}^{-i{\phi }^{\prime }}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(p_x-i{p}_y)$

$q_{1,0}=\sqrt{\frac{4\pi }{3}}\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })r^{\prime }\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos {\theta }^{\prime }=\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })r^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }=p_z$

$q_{1,-1}=\sqrt{\frac{4\pi }{3}}\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })r^{\prime }\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin {\theta }^{\prime }{e}^{i{\phi }^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })r^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }{e}^{i{\phi }^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2}}(p_x+i{p}_y)$

Umrechnung

Man sieht, dass für das kartesische Monopolmoment gilt:

$Q=q_{0,0}.$

Für das kartesische Dipolmoment $\mathbf{p}$ gilt dann jedoch

$p_z=q_{1,0},$

$p_x=\frac{1}{\sqrt{2}}(-q_{1,+1}+q_{1,-1}),$

$p_y=\frac{1}{\sqrt{2}i}(q_{1,+1}+q_{1,-1}).$

Magnetostatik

Das Vektorpotential

$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\mathbf{j}({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$

mit der magnetischen Feldkonstante ${\mu }_0$ hat kein Monopolmoment.

Literatur

• T. Fließbach: Elektrodynamik. Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-2021-0. 
• J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter Verlag, ISBN 3-11-018970-4.